正弦定理余弦定理老師版

授課日期及時(shí)段教學(xué)目標(biāo)1、解三角形是歷年來高考重點(diǎn)內(nèi)容之一,正余弦定理的考查，選擇題、填空題與解答題都有可能出現(xiàn),在考查正余弦定理知識(shí)的同時(shí)，又考查函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等解決問題的能力.2、2015年的高考將會(huì)繼續(xù)保持穩(wěn)定,堅(jiān)持考查正余弦定理及變形公式,命題形式會(huì)更加靈活.教學(xué)內(nèi)容一、錯(cuò)題講解二，知識(shí)點(diǎn)梳理〖知識(shí)梳理〗1、△ABC中：a＋b＞c；a＋c＞b；b＋c＞a；a－b＜c；。（三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊）2、△ABC中：（三角形的大角對大邊，大邊對大角）4、正弦定理：△ABC中：(為△ABC的外接圓的半徑)【注】已知邊邊角或角角邊，一般用正弦定理。5、余弦定理：△ABC中：；【注1】已知邊邊邊或邊角邊，一般用余弦定理?！咀?】如果的對邊是，則有：；；。6、S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.7、判斷三角形的形狀，一般是利用正余弦定理化角或角化邊。8、解三角形的一般規(guī)律：(1)必須知道三個(gè)幾何元素，至少一個(gè)為邊，對于不知道的邊或角可以放到其它三角形中去解；(2)如果出現(xiàn)多解，注意用三角形內(nèi)角和定理且邊角不等關(guān)系定理檢驗(yàn)?！挤治隹枷颉娇枷蛞唬豪谜叶ɡ斫馊切?1)應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷．(2)已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.【典型例題】(1)在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，解三角形；(2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求邊b和c。【遷移訓(xùn)練1】在△ABC中，若b＝5，∠B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，則sinA＝________；a＝________.【遷移訓(xùn)練2（1）】已知△ABC中，a＝1，b＝eq\r(2)，B＝45°，則角A等于()A．150°B．90°C．60°D．30°考向二：利用余弦定理解三角形(1)應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷．(2)已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.【典型例題】在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊長．已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，則∠A＝________，eq\f(bsinB,c)＝________.【遷移訓(xùn)練1】已知a、b、c分別是△ABC中角A、B、C的對邊，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大?。?2)若c＝3a，求tanA的值．【遷移訓(xùn)練2】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cosB＝eq\f(4,5)，b＝2.(1)當(dāng)A＝30°時(shí)，求a的值；(2)當(dāng)△ABC的面積為3時(shí)，求a＋c的值?？枷蛉喝切蚊娣e的相關(guān)問題1．利用正弦定理可以實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；2．除了常用兩邊及其夾角正弦值的乘積的一半面積公式外還有①S＝eq\r(pp－ap－bp－c)＝p·r(p是周長的一半，即p＝eq\f(a＋b＋c,2)，r為內(nèi)切圓半徑)；②S＝eq\f(abc,4R)(R為外接圓半徑)．【典型例題】在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.(Ⅰ)求tanC的值;(Ⅱ)若a=,求ABC的面積.【遷移訓(xùn)練1】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足coseq\f(A,2)＝eq\f(2\r(5),5)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3.(1)求△ABC的面積；(2)若b＋c＝6，求a的值．【遷移訓(xùn)練2】△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，則△ABC的面積為________．考向四：判斷三角形形狀依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法1．利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；2．利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．【典型例題】根據(jù)所給條件，判斷△ABC的形狀．(1)若acosA＝bcosB，則△ABC形狀為________．(2)若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC形狀為________．【遷移訓(xùn)練1】若a、b、c是△ABC的三邊，直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1相離，則△ABC一定是()A．直角三角形B．等邊三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形【遷移訓(xùn)練2】在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，試判斷△ABC的形狀．考向五：解三角形的綜合性問題(1)應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷．(2)已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.【典型例題】的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,已知,求.【遷移訓(xùn)練1】在中,已知.(1)求證:;(2)若求A的值.【遷移訓(xùn)練2】△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a.(1)求eq\f(b,a)；(2)若c2＝b2＋eq\r(3)a2，求B.〖考題回放〗2014年高考題組1．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（四川卷））如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度BC等于（）A．B．C．D．2．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（江西卷））在中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為，若，則的值為（）A.B.C.1D.3．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（江西卷））在中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為，若則的面積（）A.3B.C.D.4．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn).從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測得.已知山高，則山高_(dá)_______.5．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（福建卷））在中，,則等于__________.6．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷））若的內(nèi)角滿足，則的最小值是.7．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊，，且，則面積的最大值為____________．8．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（四川卷））如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度BC約等于.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：，，，，）9．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（廣東卷））在中，角、、所對應(yīng)的邊分別為、、，已知，則.10．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（福建卷））在中，,則的面積等于_________14．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（湖北卷））在中，角、、所對的邊分別為、、，已知，，，則________.11．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（北京卷））在中，，，，則；.12．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（天津卷））在中，內(nèi)角所對的邊分別是．已知，，則的值為_______．13．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（山東卷帶解析））△中，角所對的邊分別為，已知=3，=,,（1）求的值；（2）求△的面積.14．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（大綱卷帶解析））△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.15．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（上海卷帶解析））（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，某公司要在兩地連線上的定點(diǎn)處建造廣告牌，其中為頂端，長35米，長80米，設(shè)在同一水平面上，從和看的仰角分別為.（1）設(shè)計(jì)中是鉛垂方向，若要求，問的長至多為多少（結(jié)果精確到0.01米）？（2）施工完成后.與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測得求的長（結(jié)果精確到0.01米）？16．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（重慶卷帶解析））在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且（1）若，求的值;（2）若，且的面積，求和的值.2013年高考題組1.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）】在銳角中，角所對的邊長分別為.若（）A．B．C．D．【考點(diǎn)定位】本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.2.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試天津卷】在△ABC中,則=(A) (B) (C) (D)3.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷）】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,則△ABC的形狀為（） (A)銳角三角形 (B)直角三角形 (C)鈍角三角形 (D)不確定4.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）】在，內(nèi)角所對的邊長分別為A．B．C．D．5.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）】已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)邊分別為a、b、c，若，則角C的大小是_______________（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.6.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)浙江】中，,是的中點(diǎn)，若，則________.7.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試福建卷】如圖，在中，已知點(diǎn)在邊上，,,,則的長為_____.【考點(diǎn)定位】余弦定理及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于解斜三角形中容易題.8.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國】設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C.9.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試江蘇數(shù)學(xué)試題】處下山至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到，另一種從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為m/min，在甲出發(fā)2min后，乙從乘纜車到，在處停留1min后，再從勻速步行到.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min，山路長1260m，經(jīng)測量，，.（1）求索道的長；處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？10.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題新課標(biāo)Ⅱ數(shù)學(xué)卷】△ABC在內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值.11.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）】設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.12.