初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)案例

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《數(shù)學(xué)程準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)程"不要考數(shù)學(xué)自己的特色，更依據(jù)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的心理律，從學(xué)生已有的生活出

??數(shù)學(xué)講課活必建立在學(xué)生的知展水平易已有的生活

基之上"。①在以"例體"的教行教育中，我通折活學(xué)新手踐，自主研究與合作交流，豐富了學(xué)生的學(xué)方式和教的講課方式，在此程中，學(xué)生找到了學(xué)的趣，而教數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式也有了新的。

一、折活的背景。

三角形的中位"向來(lái)是各種版本的初中幾何教材中的典內(nèi)容，好多公開(kāi)都了個(gè)內(nèi)容。但在大批的聽(tīng)與講課中，我，三角形中位性的明，是一個(gè)講課點(diǎn)，只有少量秀學(xué)生

能在上獨(dú)立完成，大多數(shù)學(xué)生在明中面困。如何有效地解

決個(gè)講課點(diǎn)是我例研究的出點(diǎn)。眾所周知，用"操作"、"

察"、"猜想"、"剖析"的手段去感悟幾何形的性是學(xué)幾何的重要方法。由此，我想到了從學(xué)生已有的生活、數(shù)學(xué)基出

，重新"三角形的中位"的講課程。學(xué)生從研究"折中的形性"研究出三角形的中位性并加以明。

一方面，折活自己能起學(xué)生好多美好的回，如折機(jī)、帆船、千、寶葫蘆等。另一方面，折活又是一種有效的操作活，學(xué)生可以通自己手操作來(lái)感悟形的幾何性，運(yùn)用形運(yùn)去、剖析。并且折活自己也承著多重要的幾

何，可以提出更一般的幾何方法，它于培育學(xué)生的學(xué)趣、好奇心與研究精神，有重要的價(jià)。

二、講課目。

在折紙的情境中，能綜合運(yùn)用角均分線、線段垂線的性質(zhì)及與三角形、四邊形相關(guān)的一些性質(zhì)和判斷。

建立生活世界中的一些活動(dòng)(剪紙與折紙游戲)與幾何世界的多種聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)幾何的興趣。

建立幾何與現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的聯(lián)系，培育數(shù)學(xué)的思慮方式(聯(lián)想、類比、直覺(jué)思想)。

經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程：觀察一研究一猜想一考據(jù)，領(lǐng)悟科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律。

三、講課過(guò)程。

創(chuàng)辦情境。

師：同學(xué)們，你們做過(guò)折紙游戲嗎?折紙飛機(jī)、紙船、紙葫蘆、紙鶴等都很風(fēng)趣。我們?cè)谄匠Ｉ钪薪佑|最多的紙張是長(zhǎng)方形的，

如把這樣一張紙折起一個(gè)角，就獲取了一個(gè)直角三角形(教師演示)，那么如何用長(zhǎng)方形的紙片折出等腰三角形呢?請(qǐng)同學(xué)們折一下。

(學(xué)生聯(lián)想過(guò)去的折紙方式折紙。)

提出問(wèn)題。

導(dǎo)入問(wèn)題--把一個(gè)直角三角形折成長(zhǎng)方形。

師：我們已經(jīng)知道長(zhǎng)方形紙片能折出直角三角形。此刻考慮反方向的問(wèn)題，即直角三角形紙片能否折成長(zhǎng)方形?

(學(xué)生以小組為單位，進(jìn)行觀察、試一試、議論折紙，研究折法，表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)。)

師：(實(shí)物投影)我們張開(kāi)紙片，畫(huà)出折痕，并標(biāo)上字母(如圖1)?；叵胝奂堖^(guò)程，你有什么發(fā)現(xiàn)?(教師提示：注企圖中線段的地點(diǎn)與長(zhǎng)度的關(guān)系，圖中能否有等腰三角形?哪些三角形全等?)

A

BGC

圖1

生：(教師邊歸納邊板書(shū))①EF=GB=GC=BC/2.EG=AF=FC=AC/2所以.EF‖BC，EG‖AC。

②折痕將三角形ABC分成四個(gè)全等的直角三角形，兩個(gè)等腰三角形。

③連接EC，AE=BE=EC=AB/2，∠A+∠B=90°。

師：經(jīng)過(guò)觀察我們這張紙(圖1)，大家知道了E是AB的中點(diǎn)，并且獲取三點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，此中第三點(diǎn)中的兩條性質(zhì)我們以前證明過(guò)，今

天我們用折紙的方法又一次進(jìn)行了說(shuō)明。請(qǐng)大家過(guò)中點(diǎn)G、F作一條折痕，思慮這條折痕GF與斜邊AB有什么關(guān)系?它能不可以成為長(zhǎng)方形的一邊?

一般問(wèn)題--把一個(gè)任意三角形折成長(zhǎng)方形。

師：此刻，我們考慮更一般的問(wèn)題，即一般三角形的紙片能否折成長(zhǎng)方形?請(qǐng)同學(xué)們折一折。

(學(xué)生試一試用任意三角形折長(zhǎng)方形。教師巡視中指導(dǎo)：同學(xué)們可

以回想方才是如何折的?；顒?dòng)進(jìn)行得差不多時(shí)，學(xué)生在投影儀演出示：用高線轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)直角三角形的折疊過(guò)程。)

師：我們打開(kāi)紙片展平，畫(huà)出全部折痕，并標(biāo)上字母(如圖2)。從方才的折紙活動(dòng)中，你發(fā)現(xiàn)了這個(gè)圖形中線段、角和三角形之間

存在哪些地點(diǎn)、形狀、數(shù)目關(guān)系?請(qǐng)各小組的同學(xué)議論一下，宣布小組議論結(jié)果。

A

BGDHC

圖2

(教師邊歸納邊板書(shū)學(xué)生議論的結(jié)果。)

①關(guān)于中點(diǎn)：AE=BE=AB/2，

AF=CF=AC/2.BG=DG=BD/2.CH=DH=CD/2;②斜邊上中線：DE=AB/2，

DF=AC/2;③關(guān)于中位線：EF=BC/2，GE=AD/2。FH=AD/2。

提出猜想。

師：你以為在什么條件下才能獲取一條線段是另一條線段的一半

長(zhǎng)?

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：①線段的中點(diǎn);②直角三角形斜邊上的中線;③三角形兩邊的中點(diǎn)連線。

師：我們其實(shí)是找到了△ABC兩條邊上的中點(diǎn)E、F，我們把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。此刻你們猜想一下這此中位線與第三邊有什么樣的關(guān)系?

(學(xué)生提出猜想：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。)

說(shuō)明結(jié)論。

師：方才大家猜出了三角形中位線的性質(zhì)，此刻你能否能考據(jù)這個(gè)性質(zhì)并加以說(shuō)明。

(學(xué)生折紙，用折紙比較各條邊長(zhǎng)及各個(gè)角的大小。)

師：小組內(nèi)議論一下，如何考據(jù)?如何說(shuō)明?(教師巡視中指導(dǎo)：你的說(shuō)明要讓他人相信你是正確的。)哪位同學(xué)愿意來(lái)這里(講臺(tái))向大家說(shuō)明!你們還有什么疑問(wèn)提出來(lái)。

(學(xué)生互相說(shuō)明與爭(zhēng)辯。在實(shí)物投影儀上說(shuō)明①∠A+∠B+∠C=180。;②四邊形EFHG是長(zhǎng)方形。)

師：我們一起發(fā)現(xiàn)了三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半，并經(jīng)過(guò)折紙方法進(jìn)行了考據(jù)與說(shuō)明，今后我們還要進(jìn)一步證明與應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)。

交流體驗(yàn)。

：你知道了什么?學(xué)會(huì)了什么?有什么?有什么領(lǐng)悟?

有什么與誘惑?

生1：使我知道了折中也有數(shù)學(xué)道理，感覺(jué)生活中有數(shù)學(xué)，今后要多察，多思慮。

生2：我在用直角三角形折方形，與里其余同學(xué)的折法不一，比折的方形沒(méi)有其余同學(xué)的大。我又折了幾次拆(手如1方式的折)??面是最大的，是三角形面的一半。

生3：我得用折比段和角的關(guān)系很方便，比方可以同折兩個(gè)一的形比來(lái)比去??簡(jiǎn)單通做生出猜想，今后學(xué)幾何要多用種方法。

：同學(xué)，我在折操作中，通察，關(guān)系，形成猜想，并明我的猜想，得出。是人新知的重要方法。

部署作。

：今日后的作是用正方形的片折疊形，按工作行操作與研究，從中。

四、講課活后教研

從上述程可以看出，講課活的程了情境、提出、提出猜想、明、交流體與部署作6個(gè)。在隨后的教研活中教以下幾個(gè)行，引了我更多的思慮。

關(guān)于活式講課。

活講課方式，主要學(xué)生從已有生活出、在手操作的活程中學(xué)，而完成知的主建構(gòu)。但是數(shù)學(xué)研究活

的生又不一樣樣于科學(xué)研究活，詳盡物質(zhì)料的弄和操作(折活)但是"外在的活"，而性的數(shù)學(xué)研究常常生在學(xué)生的里--教的任就是使學(xué)生"直一感性一理性思慮"的

活動(dòng)過(guò)程，同時(shí)體驗(yàn)和感覺(jué)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程(從猜想到說(shuō)明/證明)的欣喜和挑戰(zhàn)。而"折紙中的圖形性質(zhì)"這一課例無(wú)疑關(guān)注了學(xué)生對(duì)過(guò)程性知識(shí)的學(xué)習(xí)并加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的感情體驗(yàn)。布魯納也

指出："我們教一門科目，其實(shí)不是希望學(xué)生成為該科目的一個(gè)小型書(shū)庫(kù)，而是要他們參加獲取悉識(shí)的過(guò)程。學(xué)習(xí)是一種過(guò)程，而不是結(jié)

果。"②可見(jiàn)，讓學(xué)生在活動(dòng)中"學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)"自己比"學(xué)會(huì)什么"更重要。

2。關(guān)于問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)。

杜威的"講課五步"③反響了他"做中學(xué)"的教育思想，詳盡地表現(xiàn)為教師在講課中要為學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)的真實(shí)情境--與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的情境;與此同時(shí)恩賜一些表示，使學(xué)生有興趣認(rèn)識(shí)某個(gè)問(wèn)題。本課例中"把三角形折成一個(gè)長(zhǎng)方形"是以折紙情境中產(chǎn)生的真實(shí)問(wèn)題作為思想的刺激物，來(lái)激發(fā)學(xué)生邁向幾何性質(zhì)的學(xué)

習(xí)。教師不是把現(xiàn)成的教材供應(yīng)給學(xué)生，而是要學(xué)生參加到活動(dòng)中

去，啟示與指引學(xué)生從自己的生活經(jīng)驗(yàn)以及折紙活動(dòng)中"自然"產(chǎn)生出方法(其實(shí)是學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)的有效運(yùn)用)，來(lái)對(duì)付折紙情境中所產(chǎn)生的問(wèn)題、考慮以前沒(méi)有認(rèn)識(shí)到的事物，使經(jīng)驗(yàn)有真實(shí)的增

長(zhǎng)，形成新性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)。并且在情境的實(shí)踐活動(dòng)中存在著大批的默會(huì)知識(shí)，所以實(shí)行有效的活動(dòng)式講課的要點(diǎn)在于辦理好顯性知識(shí)與

默會(huì)知識(shí)學(xué)習(xí)的四種關(guān)系--即言傳、內(nèi)化、外顯、領(lǐng)悟的有機(jī)整合;。④并在此基礎(chǔ)之上，有效地進(jìn)行知識(shí)的傳承與創(chuàng)新。⑤

關(guān)于培育學(xué)生數(shù)學(xué)地思想。

數(shù)學(xué)的特色之一是高度抽象。如抽象的看法、抽象的關(guān)系，但它們都有特別多的現(xiàn)實(shí)背景。該課例在講課方案中關(guān)注了這個(gè)特色，力爭(zhēng)表現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)的現(xiàn)實(shí)背景，并從中采用與學(xué)生生活世界親近相關(guān)的情境，使學(xué)生思想的抽象過(guò)程憂如"自然"發(fā)生。這樣，學(xué)生感覺(jué)到了鮮活的數(shù)學(xué)而不可以是是它冰冷的漂亮。數(shù)學(xué)的另一特色是嚴(yán)實(shí)性，表現(xiàn)為邏輯嚴(yán)格與計(jì)算精確，這類嚴(yán)實(shí)過(guò)程正表現(xiàn)了人類認(rèn)

識(shí)的逐漸深入。在課例中，我們也注意了學(xué)生的認(rèn)知特色，在"直觀幾何"到"證明幾何"的慎重化過(guò)程之中做一過(guò)渡，進(jìn)行幾何說(shuō)明，即要修業(yè)生做到"讓他人敬佩你是正確的"。以此啟示證明與辯駁的思想方式。同時(shí)，這反響了一個(gè)逐漸追求慎重的過(guò)

程。在課例設(shè)計(jì)的問(wèn)題解決活動(dòng)中，表現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)家常用的思

想方法：(1)思慮問(wèn)題的逆(反方向)問(wèn)題，以提出新問(wèn)題(如從"用常

見(jiàn)的長(zhǎng)方形紙折出三角形問(wèn)題"到反過(guò)來(lái)的"用三角形紙折長(zhǎng)方形問(wèn)

題");(2)從一般問(wèn)題的特例(直角三角形折為長(zhǎng)方形)人手，找尋問(wèn)題解決的思路;(3)把一個(gè)一般性問(wèn)題(一般三角形折為長(zhǎng)方形)轉(zhuǎn)變?yōu)榻鉀Q過(guò)的問(wèn)題(直角三角形折成長(zhǎng)方形)的轉(zhuǎn)變與化歸思想;(4)歸納與分類的思想(把折紙中發(fā)現(xiàn)的諸多關(guān)系歸納出來(lái)，并進(jìn)行分

類);(5)從變化中找尋不變性的思想(折紙中變化的線段長(zhǎng)度與長(zhǎng)度的倍半關(guān)系)。

關(guān)于活動(dòng)課過(guò)程的張開(kāi)。

活動(dòng)課中學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)如何張開(kāi)?這取決于多種要素，主要有教師特色、學(xué)生基礎(chǔ)、內(nèi)容水平、方法運(yùn)用與情境引入，等等。毫無(wú)疑問(wèn)，學(xué)生的主動(dòng)研究與試一試是活動(dòng)課張開(kāi)的中心，這里教師如

何指引是特別要點(diǎn)的。在設(shè)計(jì)教師的指引活動(dòng)時(shí)，我們經(jīng)歷了"考據(jù)學(xué)過(guò)定理(復(fù)習(xí))還是發(fā)現(xiàn)(數(shù)學(xué))問(wèn)題"，"以知識(shí)結(jié)構(gòu)組織方式作為主要路線還是以認(rèn)知活動(dòng)序進(jìn)為主要線索"及"活動(dòng)中默會(huì)層面的知識(shí)如何感悟"等問(wèn)題的困擾，曾幾易講課方案，幾次實(shí)踐研究。如，在第一稿的設(shè)計(jì)中教師打算"經(jīng)過(guò)折紙活動(dòng)復(fù)習(xí)本學(xué)期學(xué)過(guò)的線段垂

直均分線、角的均分線、直角三角形斜邊中線等定理及含30。角的

直角三角形性質(zhì)定理，還研究以前沒(méi)有學(xué)過(guò)的三角形中位線定理"。這其實(shí)是經(jīng)過(guò)折紙考據(jù)定理，折紙活動(dòng)把定理的復(fù)習(xí)與發(fā)現(xiàn)"貫穿

起來(lái)，課堂的容量自然就不小了。但在今后學(xué)習(xí)共同體的商議中，大家認(rèn)識(shí)到經(jīng)過(guò)折紙操作考據(jù)已學(xué)過(guò)的幾何定理，失掉了操作的意

義，也會(huì)占用好多的課堂時(shí)間，講課要點(diǎn)要定位于"學(xué)生經(jīng)過(guò)折紙操作來(lái)發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，為學(xué)生供應(yīng)更多時(shí)機(jī)和時(shí)間，讓學(xué)生發(fā)問(wèn)與思疑、

試一試與研究、議論與交流、歸納與總結(jié)。促使學(xué)生思想開(kāi)放，在積

極研究中形成創(chuàng)新性的思慮與對(duì)待問(wèn)題的方式，并藉此獲取悉識(shí)"。又如，在第一次上課今后，執(zhí)教老師反思道："過(guò)去講課中重視的是幾何論證，講究的是邏輯推理的嚴(yán)實(shí)性，不太關(guān)注知識(shí)是如何產(chǎn)生

的;而折紙活動(dòng)是操作幾何，教師和學(xué)生都一時(shí)難以適應(yīng)從折紙的角度去研究、去發(fā)現(xiàn)、去考據(jù)。"大家仔細(xì)觀察課堂錄像后以為，要?jiǎng)?chuàng)辦與學(xué)生實(shí)質(zhì)生活經(jīng)驗(yàn)親近相關(guān)的情節(jié)，激活學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)，體

現(xiàn)次序漸進(jìn)和學(xué)以致用。又如，在今后的一次平行班上課中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在折紙活動(dòng)中思想松開(kāi)了，有了多種試一試和結(jié)果，可以較好地表現(xiàn)學(xué)生的主體性，但是操作與試一試的方向不夠明確，深度上

也有欠缺。仔細(xì)觀察課堂錄像使我們認(rèn)清了講課中的另一主體⑥--教師的作用，教師如何點(diǎn)撥、指引使學(xué)生在多種試一試和結(jié)果中提煉出要點(diǎn)問(wèn)題與合用的知識(shí)，不不過(guò)講課方案中要講究的，也是講課實(shí)踐中師生智慧的表現(xiàn)，也與"默會(huì)"層面的知識(shí)"傳達(dá)"相關(guān)。

其余，教師在設(shè)計(jì)活動(dòng)式講課時(shí)領(lǐng)悟到，假如設(shè)計(jì)的研究步伐小