函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的對稱 - 順義教育信息網(wǎng)

函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的對稱北京市順義牛欄山第一中學(xué)張傳海胡亞萍函數(shù)圖像是函數(shù)結(jié)構(gòu)的形象直觀的表達(dá)方式，函數(shù)自身圖像的對稱關(guān)系與其解析式有必然的聯(lián)系；不同的函數(shù)如果圖像存在著對應(yīng)關(guān)系，他們的解析式之間也一定有著必然的聯(lián)系。掌握好函數(shù)的圖像及其相互之間的關(guān)系對于學(xué)生掌握函數(shù)知識意義重大，這也是學(xué)好函數(shù)的一條捷徑。一．關(guān)于一個函數(shù)本身（一）常見的同一個函數(shù)圖像自身的對稱關(guān)系：（1）對于函數(shù)，如果恒成立，那么函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱（奇函數(shù)）；（2）對于函數(shù)，如果恒成立，那么函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱（偶函數(shù)）；以上是兩個比較基本的情況，即奇偶性。圖像發(fā)生變化——平移之后，又有：（3）對于函數(shù)，如果恒成立，那么函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱；分析：點在函數(shù)的圖像上，即，而點關(guān)于點的對稱點為，并且。所以點也在函數(shù)的圖像上，故函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱。（4）對于函數(shù)，如果恒成立，那么函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；分析：（略，同(3)）（5）對于函數(shù)，如果恒成立，那么函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；分析：點在函數(shù)的圖像上，即，而點關(guān)于點的對稱點為，并且。所以點也在函數(shù)的圖像上，故函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱。再做一些數(shù)據(jù)上的變化，還有：（6）對于函數(shù)，如果恒成立，那么函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；分析：點在函數(shù)的圖像上，即，而點關(guān)于點的對稱點為，并且。所以點也在函數(shù)的圖像上，故函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱。（7）對于函數(shù)，如果恒成立，那么函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱；分析：類比（6）的證明可得結(jié)論。11.（07寧夏）設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)。例1．(07重慶)已知定義域為R的函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A.B.C.D.解：令，為偶函數(shù)，所以，即，直線式對稱軸。下略，選D。例2．設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實數(shù)集R上，且滿足f(x－1)=f(1－x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于（）對稱。（A）直線y=0(B)直線x=0(C)直線y=1(D)直線x=1解：對稱軸為，選B。（二）如果一個函數(shù)有兩個或兩個以上的對稱關(guān)系對于下述四個條件：（1）是對稱軸；（2）是對稱軸；（3）是對稱中心；（4）是對稱中心。其中是互不相等的常數(shù)。如果函數(shù)滿足上述條件中的任意兩條，則此函數(shù)為周期函數(shù)。例如：如果函數(shù)滿足（1）是對稱軸；（2）是對稱軸。證明：函數(shù)是周期函數(shù)。證明：因為是對稱軸，所以，令，則，代入上式可得：，因此對任意實數(shù)有；又因為是對稱軸，所以，故又有再令，則，代入上式，有即恒成立，命題得證。進(jìn)一步還可以進(jìn)行探究，可得出：①若滿足（1）（2），則函數(shù)的一個周期是；②若滿足（1）（2），則函數(shù)的一個周期是；③若滿足（1）（3），則函數(shù)的一個周期是。例3．（07天津）在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則函數(shù)（）A.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)分析：函數(shù)有兩條對稱軸與，所以是周期函數(shù)，再根據(jù)條件，畫圖觀察即可。選B.例4.（2009全國卷Ⅰ理）函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則()(A)是偶函數(shù)(B)是奇函數(shù)(C)(D)是奇函數(shù)解:與都是奇函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于點，及點對稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù)。故選D。例5.(2009山東卷理)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,則【解析】:因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足,所以,所以,由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因為在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,不妨設(shè)由對稱性知所以-8-6-4-202468y-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【命題立意】本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,對稱性,周期性,以及由函數(shù)圖象解答方程問題,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題.1、（05廣東卷）設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有．（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）試求方程=0在閉區(qū)間［-2005，2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(II)由(II)又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在[0,2005]上有402個解,在[-2005.0]上有400個解,所以函數(shù)在[-2005,2005]上有802個解.二．不同的函數(shù)的對稱關(guān)系：（1）如果函數(shù)存在反函數(shù)，那么函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱；（2）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；分析：點在函數(shù)的圖像上，即，而，即關(guān)于y軸的對稱點在函數(shù)的圖像上。（3）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對稱；分析：點在函數(shù)的圖像上，即，所以，即關(guān)于x軸的對稱點在函數(shù)的圖像上。（4）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；分析：點在函數(shù)的圖像上，即，而，即關(guān)于原點的對稱點在函數(shù)的圖像上。（5）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；分析：令，則，再由（2）的分析可知結(jié)論成立。（6）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；分析：令，則，由（4）的分析可知結(jié)論成立。（7）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；分析：在函數(shù)的圖像上任取一點，有，點關(guān)于直線對稱的點為，而，命題得證。（8）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于對稱；分析：在函數(shù)的圖像上任取一點，有，點關(guān)