2014年北京高考數(shù)學(xué)理科試題

絕密★啟封并使用完成前2014年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘，考生務(wù)勢(shì)必答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并回收。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出切合題目要求的一項(xiàng)。(1)已知會(huì)合(A){0}

A

{x|x2

2x(B)

0}{0,

，B1}

{0,1,2}，若AIB(C){0,2}

(D){0,1,2}(2)以下函數(shù)中，在區(qū)間

(0,

}

上為增函數(shù)的是(A)y

x1

(B)y=(x

1)2

(C)y

2

x

(D)y

log0.5(x1)x1cos，（為參數(shù)）的對(duì)稱中心開(kāi)始(3)曲線2siny輸入m,n的值(A)在直線y2x上(B)在直線y2x上km,S1(C)在直線yx1上(D)在直線yx1上kk1(4)當(dāng)m7,n3時(shí)，履行以下圖的程序框圖，輸出的s值為SSgk(A)7(B)42(C)210(D)840kmn1否是輸出S(5)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q1”是“{an}”為遞加數(shù)列的結(jié)束(A)充分且不用要條件(B)必需且不充分條件(C)充分且必需條件(D)既非充分也非必需條件xy204，則k的值是(6)若x,y知足kxy20且zyx的最小值為y0(A)2(B)211(C)(D)22.(7)在空間坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1,2)，若S1，S2，S3分別表示三棱錐DABC在xOy，yOz，zOx則坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則(A)S1=S2=S3(B)S1=S2且S3S1(C)S1=S3且S3S2(D)S2=S3且S1S3(8)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科，成績(jī)?cè)u(píng)定為“優(yōu)異”“合格”“不合格”三種．若A同學(xué)每科成績(jī)不低于B同學(xué)，且起碼有一顆成績(jī)比B高，則稱“A同學(xué)比B同學(xué)成績(jī)好，”此刻若干同學(xué)，他們之中沒(méi)有一個(gè)人比另一個(gè)人成績(jī)好，且沒(méi)有隨意兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)同樣，數(shù)學(xué)成績(jī)也同樣的。問(wèn)知足條件的多少學(xué)生(A)1(B)3(C)4(D)5第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每題5分，共30分。i21(9)復(fù)數(shù)_____．i1rrrrrrr(10)已知向量a、b知足|a|1，b(2,1)且ab0，則||_____．2(11)在設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)，且yx21擁有同樣漸近線，則C的方程是．4(12)若等差數(shù)列{an}知足a7a8a90，a7a100，則當(dāng)n______時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大．把5件不一樣的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不一樣的擺法有_____種．(14)設(shè)函數(shù)f(x)Asin(x)（A,,是常數(shù)，A0,0），若f(x)在區(qū)間[,]上擁有單一262性，且f( ))-f( )，則f(x)的最小正周期為．f(236...三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出必需的文字說(shuō)明，演算步驟。(15)（本小題13分）如圖，在ABC中，B，AB8cosADC3，點(diǎn)D在BC邊上，且CD=2，17（Ⅰ）求sinBAD．（Ⅱ）求BD，AC的長(zhǎng)．ABDC（本小題13分）李明在10場(chǎng)籃球競(jìng)賽中的投籃狀況以下（假定各場(chǎng)競(jìng)賽互相獨(dú)立）場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場(chǎng)12212客場(chǎng)1188主場(chǎng)21512客場(chǎng)21312主場(chǎng)3128客場(chǎng)3217主場(chǎng)4238客場(chǎng)41815主場(chǎng)52420客場(chǎng)52512（Ⅰ）從上述競(jìng)賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求李明在該場(chǎng)競(jìng)賽中投籃命中率超出0.6的概率；（Ⅱ）從上述競(jìng)賽中隨機(jī)選擇一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)，求李明的投籃命中率一場(chǎng)超出0.6，另一場(chǎng)不超出0.6的概率；（Ⅲ）記x是表中10個(gè)命中次數(shù)的均勻數(shù)，從上述競(jìng)賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，記X為李明在這場(chǎng)競(jìng)賽中的命中次數(shù)，比E(X)和x的大小。...(17)（本小題14分）如圖，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為AM和MD的中點(diǎn)，在五棱錐PABCDE中，F(xiàn)為PE的中點(diǎn)，平面ABC與棱PD，PC分別相較于點(diǎn)G、H．（Ⅰ）求證：AB//FG；（Ⅱ）若PA平面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成的角，并求線段PH的長(zhǎng)PFGEHDABCM(18)（本小題13分）已知函數(shù)f(x)xcosxsinx，x[0,]2（Ⅰ）求證：sinxb在(0,)上恒成立，求a的最大值與b的最小值．f(x)0；（Ⅱ）若ax2...(19)（本小題14分）已知橢圓C：x22y24．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓G上，點(diǎn)B在直線y2上，且OAOB，求直線AB與圓x2y22的地點(diǎn)關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（本小題13分）關(guān)于數(shù)對(duì)序列P(a1,b1)，(a2,b2)，，(an,bn)，記T1(P)a1b1,Tk(P)bkmax{Tk1(P),a1a2Lak}(2kn)，此中max{Tk1(P),a1a2Lak}表示Tk1(P)和a1a2Lak兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）關(guān)于數(shù)對(duì)序列P(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)；（Ⅱ）記m為四個(gè)數(shù)a、b、c、d的最小值，關(guān)于兩個(gè)數(shù)對(duì)(a,b)，(c,d)構(gòu)成的數(shù)對(duì)序列P(a,b)，(c,d)和P'(c,d)，(a,b)，試分別對(duì)ma和mb時(shí)的狀況比較T2(P)和T2(P')的大??；（Ⅲ）在由5個(gè)數(shù)對(duì)(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)序列中，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)對(duì)序列P使T5(P)最小，并寫(xiě)出T5(P)的值（只要寫(xiě)出結(jié)論）。...絕密★考試結(jié)束前2014年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）參照答案一、選擇題（共8小題，每題5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）C（5）D（6）D（7）D（8）B二、填空題（共6小題，每題5分，共30分）（9）1（10）5（11）x2y21y2x（12）8312（13）36（14）三、解答題（共6小題，共80分）15）（共13分）解：（I）在ADC中，由于COSADC1437，所以sinADC。7所以sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB4311333727214（Ⅱ）在ABD中，由正弦定理得ABsinBAD833143，BDADB43sin7在ABC中，由余弦定理得...AC2AB2BC22ABBCcosB82522851492所以AC716）（共13分）解：（I）依據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)競(jìng)賽中，李明投籃命中率超出0.6的場(chǎng)次有5場(chǎng)，分別是主場(chǎng)2，主場(chǎng)3，主場(chǎng)5，客場(chǎng)2，客場(chǎng)4.所以在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)競(jìng)賽中，李明的投籃命中率超出0.6的概率是0.5.（Ⅱ）設(shè)事件A為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)主場(chǎng)競(jìng)賽中李明的投籃命中率超出0.6”，事件B為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)客場(chǎng)競(jìng)賽中李明的投籃命中率超出0.6”，事件C為“在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)中，李明的投籃命中率一場(chǎng)超出0.6，一場(chǎng)不超出0.6”。則C=ABUAB，A,B獨(dú)立。依據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，P(A)3,P(B)2.55P(C)P(AB)P(AB)332255551325所以，在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)中，李明的投籃命中率一場(chǎng)超出0.6，一場(chǎng)不超出0.6的概率為13.25（Ⅲ）EXx.17）（共14分）解：...I）在正方形中，由于B是AM的中點(diǎn)，所以AB∥DE。又由于AB平面PDE，所以AB∥平面PDE，由于AB平面ABF，且平面ABFI平面PDFFG，所以AB∥FG。（Ⅱ）由于PA底面ABCDE,所以PAAB，PAAE.如圖成立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),uuurBC(1,1,0).

zPFGyHEDACBMx設(shè)平面ABF的法向量為n(x,y,z)，則nuuur0,x0,ABuuur即z0.nAF0,y令z1,，則y1。所以n(0,1,1)，設(shè)直線BC與平面ABF所成角為a,則uuurnuuur1sinaBCcosn,BCuuur。nBC2設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(u,v,w).。uuuruuur1),，由于點(diǎn)H在棱PC上，所以可設(shè)PHPC(0即(u,v,w2)(2,1,2).。所以u(píng)2,v,w22。由于n是平面ABF的法向量，所以u(píng)uur0，即(0,1,1)(2,,22)0。nAH解得2，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為(4,2,2).。3333所以PH(4)2(2)2(4)2233318）（共13分）解：（I）由f(x)xcosxsinx得...f'(x)cosxxsinxcosxxsinx。由于在區(qū)間(0,)上f'(x)xsinxp0，所以f(x)在區(qū)間0,上單一遞減。22進(jìn)而f(x)f(0)0。（Ⅱ）當(dāng)x0時(shí)，“sinxa”等價(jià)于“sinxax0”“sinxb”等價(jià)于“sinxbx0”。xx令g(x)sinxcx，則g'(x)cosxc，當(dāng)c0時(shí)，g(x)0對(duì)隨意x(0,2)恒成立。當(dāng)c1時(shí)，由于對(duì)隨意x(0,)，g'(x)cosxc0，所以g(x)在區(qū)間0,上單一遞減。22進(jìn)而g(x)g(0)0對(duì)隨意x(0,)恒成立。2當(dāng)0c1時(shí)，存在獨(dú)一的x0(0,)使得g'(x0)cosx0c0。2g(x)與g'(x)在區(qū)間(0,)上的狀況以下：2x(0,x0)x0(x0,2)g'(x)+0-g(x)↗↘由于g(x)在區(qū)間0,x0上是增函數(shù)，所以g(x0)g(0)0。進(jìn)一步，“g(x)0對(duì)隨意x(0,)恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)g()1c0，即0c22，222綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí)，g(x)0對(duì)隨意x(0,)恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c1時(shí)，2g(x)0對(duì)隨意x(0,)恒成立。sinx22所以，若ab對(duì)隨意x(0,)恒成立，則a最大值為，b的最小值為1.x219）（共14分）解：22（I）由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為xy1。42...所以a24,b22，進(jìn)而c2a2b22。所以a2,c2。故橢圓C的離心率ec2。a2（Ⅱ）直線AB與圓x2y22相切。證明以下：設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x0,y0)，(t,2)，此中x00。uuuruuur0，即tx02y02y0。由于OAOB，所以O(shè)AOB0，解得tx0當(dāng)x0t時(shí)，y0t2，代入橢圓C的方程，得t2，2故直線AB的方程為x2。圓心O到直線AB的距離d2。此時(shí)直線AB與圓x2y22相切。當(dāng)x0t時(shí)，直線AB的方程為yy022(xt)，x0t即(y02)x(x0t)y2x0ty00，圓心0到直線AB的距離d2x0ty0(y02)2(x0t)2又x022y024，t2y0故x02x02y024x0x0x0d2242224yx8x16x0y00400x022x02此時(shí)直線AB與圓x2y22相切。20）（共13分）解：I）T1(P)257T1(P)1maxT1(P),241max7,6=8...（Ⅱ）T2(P)maxabd,acdT2(P')maxcdb,cab.當(dāng)m=a時(shí)，