乘法公式與全概率公式課件

一、條件概率對(duì)概率的討論總是相對(duì)于某個(gè)確定的條件而言的，但有時(shí)除了這個(gè)確定的條件以外，還會(huì)提出附加的條件，即已知某一事件B已經(jīng)發(fā)生，要求另一事件A發(fā)生的概率。

例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個(gè)孩子的性別為(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一樣的。

若A記為“一男一女”，則P(A)=1/2；

但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應(yīng)為2/3.

一、條件概率對(duì)概率的討論總是相對(duì)于某個(gè)確定的條件而言的1例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個(gè)孩子的性別為(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一樣的。

若A記為“一男一女”，則P(A)=1/2；

但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應(yīng)為2/3.

我們將“已知事件

B

發(fā)生的條件下,事件

A

發(fā)生的概率”稱為條件概率，記為P

(A

|

B)。若記B為至少有一男孩，則上述概率為例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個(gè)2條件概率的計(jì)算公式規(guī)定如下：

例1

設(shè)袋中有7個(gè)黑球，3個(gè)白球，不放回摸取兩次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。解

設(shè)A,B分別表示第一、二次摸到白球,則法二：法一:A發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中B所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)條件概率的計(jì)算公式規(guī)定如下：例1設(shè)袋中有7個(gè)黑球，3個(gè)3

例2

設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).例2設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上4不難驗(yàn)證條件概率具有以下三個(gè)基本性質(zhì)：

(1)非負(fù)性(2)規(guī)范性(3)可加性并由此推出條件概率的其它性質(zhì)：

不難驗(yàn)證條件概率具有以下三個(gè)基本性質(zhì)：(1)非負(fù)性(2)51.設(shè)A與B互不相容,且P(B)>0,則P(A|B)=________2.設(shè)A與B為兩事件,且P(A)=0.7,P(B)=0.6,練習(xí)01.設(shè)A與B互不相容,且P(B)>0,則P(A|B)=___6注：概率

P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了

區(qū)別：

（1）在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同時(shí)發(fā)生。（2）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為S。因而有

注：概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，7作業(yè)P:19習(xí)題1-41作業(yè)P:19習(xí)題1-418二、乘法公式由條件概率的公式：即若P(B)>0,則

P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B),P(A|B)時(shí),可以反求P(AB).若P(A)>0,則

P(AB)=P(A)P(B|A)推廣到三個(gè)事件：

P

(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,與次序無關(guān)。乘法公式二、乘法公式由條件概率的公式：即若P(B)>0,則9例3

某廠產(chǎn)品的廢品率為4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.解記A：合格品；B：一等品，即一等品率為72%.例3某廠產(chǎn)品的廢品率為4%,而合格品中有75%是一等品,10例4例411例4例412三、全概率公式

全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它實(shí)質(zhì)上是可加性和乘法公式的綜合運(yùn)用.

綜合運(yùn)用可加性P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B

|

A)P(A)>0三、全概率公式全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜13(即每次至多發(fā)生其中一個(gè))

(即每次至少發(fā)生其中一個(gè))

B1B2B3B4B6B7B5B8集合的劃分(即每次至多發(fā)生其中一個(gè))(即每次至少發(fā)生其中一個(gè))B114AB1B2B3B4B6B7B5B8AB1B2B3B4B6B7B5B815由概率的可加性及乘法公式,有

這個(gè)公式稱為全概率公式，它是概率論的基本公式.

由概率的可加性及乘法公式,有這個(gè)公式稱為全概率公式，它是16全概率公式

利用全概率公式，可以把較復(fù)雜事件概率的計(jì)算問題，化為若干互不相容的較簡(jiǎn)單情形，分別求概率然后求和．

全概率公式利用全概率公式，可以把較復(fù)雜事件概率的計(jì)算17例5

市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品,已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為30％、20％、50％,且三家工廠的次品率分別為3％、3％、1％，試求：（1）市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率.B1、B2、B3分別表示買到設(shè)A:買到一件次品；解加權(quán)平均一件甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品；例5市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品,已知三18例6

袋中有a個(gè)白球b個(gè)黑球，不放回摸球兩次，問第二次摸出白球的概率為多少？解分別記A,B為第一次、第二次摸到白球，由全概率公式,

例6袋中有a個(gè)白球b個(gè)黑球，不放回摸球兩次，問第二次摸出19例7設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，一顧客欲購買一箱玻璃杯，由營(yíng)業(yè)員任取一箱，經(jīng)顧客開箱隨機(jī)察看4只，若無次品，則買此箱玻璃杯，否則退回.試求顧客買下此箱玻璃杯的概率.解記A:顧客買下所察看的一箱玻璃杯，Bi:箱中有i件次品(i=0,1,2)，

由題設(shè)知，

由全概率公式知

例7設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品20四、貝葉斯公式在上面例5中，如買到一件次品，問它是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？這就要用到.

在全概率公式的假定下，有

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因Bk的概率.貝葉斯公式四、貝葉斯公式在上面例5中，如買到一件次品，問它是甲廠21所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的.例5已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為30％、20％、50％,次品率分別為3％、3％、1％.（2）如果買了一件該商品，發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的概率分別為多少?

0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的.例5已知三家工廠的市場(chǎng)占22全概率公式可看成“由原因推結(jié)果”,而貝葉斯公式的作用在于“由結(jié)果推原因”:現(xiàn)在一個(gè)“結(jié)果”A已經(jīng)發(fā)生了，在眾多可能的“原因”中,到底是哪一個(gè)導(dǎo)致了這一結(jié)果？

故貝葉斯公式也稱為“逆概公式”。全概率公式可看成“由原因推結(jié)果”,而貝葉斯公式的作用在23

例8

對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？機(jī)器調(diào)整得良好產(chǎn)品合格機(jī)器發(fā)生某一故障例8對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良24解：設(shè)A表示產(chǎn)品合格，B表示機(jī)器調(diào)整良好

例8

對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？解：設(shè)A表示產(chǎn)品合格，B表示機(jī)器調(diào)整良好例825下面舉一個(gè)實(shí)際的醫(yī)學(xué)例子，說明貝葉斯公式在解決實(shí)際問題中的作用.解下面舉一個(gè)實(shí)際的醫(yī)學(xué)例子，說明貝葉斯公式在解決實(shí)際問題26因此，雖然檢驗(yàn)法相當(dāng)可靠，但被診斷為患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相當(dāng)小。當(dāng)然，醫(yī)生在公布某人患肝癌之前，是不會(huì)只做一次或一種檢驗(yàn)，還會(huì)輔以其它檢驗(yàn)手段。

思考：診斷為無病,而確實(shí)沒有患病的概率為多少？因此，雖然檢驗(yàn)法相當(dāng)可靠，但被診斷為患肝癌的人真正患病27乘法公式與全概率公式課件28貝葉斯公式在商業(yè)決策及其它企業(yè)管理學(xué)科中也有重要應(yīng)用.有人依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計(jì)推斷方法,叫作“貝葉斯統(tǒng)計(jì)”.可見貝葉斯公式的影響.貝葉斯公式在商業(yè)決策及其它企業(yè)管理學(xué)科中也有重要應(yīng)用.29作業(yè)P:19習(xí)題1-42,4,5,6作業(yè)P:19習(xí)題1-42,4,5,30一、條件概率對(duì)概率的討論總是相對(duì)于某個(gè)確定的條件而言的，但有時(shí)除了這個(gè)確定的條件以外，還會(huì)提出附加的條件，即已知某一事件B已經(jīng)發(fā)生，要求另一事件A發(fā)生的概率。

例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個(gè)孩子的性別為(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一樣的。

若A記為“一男一女”，則P(A)=1/2；

但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應(yīng)為2/3.

一、條件概率對(duì)概率的討論總是相對(duì)于某個(gè)確定的條件而言的31例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個(gè)孩子的性別為(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一樣的。

若A記為“一男一女”，則P(A)=1/2；

但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應(yīng)為2/3.

我們將“已知事件

B

發(fā)生的條件下,事件

A

發(fā)生的概率”稱為條件概率，記為P

(A

|

B)。若記B為至少有一男孩，則上述概率為例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個(gè)32條件概率的計(jì)算公式規(guī)定如下：

例1

設(shè)袋中有7個(gè)黑球，3個(gè)白球，不放回摸取兩次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。解

設(shè)A,B分別表示第一、二次摸到白球,則法二：法一:A發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中B所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)條件概率的計(jì)算公式規(guī)定如下：例1設(shè)袋中有7個(gè)黑球，3個(gè)33

例2

設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).例2設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上34不難驗(yàn)證條件概率具有以下三個(gè)基本性質(zhì)：

(1)非負(fù)性(2)規(guī)范性(3)可加性并由此推出條件概率的其它性質(zhì)：

不難驗(yàn)證條件概率具有以下三個(gè)基本性質(zhì)：(1)非負(fù)性(2)351.設(shè)A與B互不相容,且P(B)>0,則P(A|B)=________2.設(shè)A與B為兩事件,且P(A)=0.7,P(B)=0.6,練習(xí)01.設(shè)A與B互不相容,且P(B)>0,則P(A|B)=___36注：概率

P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了

區(qū)別：

（1）在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同時(shí)發(fā)生。（2）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為S。因而有

注：概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，37作業(yè)P:19習(xí)題1-41作業(yè)P:19習(xí)題1-4138二、乘法公式由條件概率的公式：即若P(B)>0,則

P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B),P(A|B)時(shí),可以反求P(AB).若P(A)>0,則

P(AB)=P(A)P(B|A)推廣到三個(gè)事件：

P

(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,與次序無關(guān)。乘法公式二、乘法公式由條件概率的公式：即若P(B)>0,則39例3

某廠產(chǎn)品的廢品率為4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.解記A：合格品；B：一等品，即一等品率為72%.例3某廠產(chǎn)品的廢品率為4%,而合格品中有75%是一等品,40例4例441例4例442三、全概率公式

全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它實(shí)質(zhì)上是可加性和乘法公式的綜合運(yùn)用.

綜合運(yùn)用可加性P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B

|

A)P(A)>0三、全概率公式全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜43(即每次至多發(fā)生其中一個(gè))

(即每次至少發(fā)生其中一個(gè))

B1B2B3B4B6B7B5B8集合的劃分(即每次至多發(fā)生其中一個(gè))(即每次至少發(fā)生其中一個(gè))B144AB1B2B3B4B6B7B5B8AB1B2B3B4B6B7B5B845由概率的可加性及乘法公式,有

這個(gè)公式稱為全概率公式，它是概率論的基本公式.

由概率的可加性及乘法公式,有這個(gè)公式稱為全概率公式，它是46全概率公式

利用全概率公式，可以把較復(fù)雜事件概率的計(jì)算問題，化為若干互不相容的較簡(jiǎn)單情形，分別求概率然后求和．

全概率公式利用全概率公式，可以把較復(fù)雜事件概率的計(jì)算47例5

市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品,已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為30％、20％、50％,且三家工廠的次品率分別為3％、3％、1％，試求：（1）市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率.B1、B2、B3分別表示買到設(shè)A:買到一件次品；解加權(quán)平均一件甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品；例5市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品,已知三48例6

袋中有a個(gè)白球b個(gè)黑球，不放回摸球兩次，問第二次摸出白球的概率為多少？解分別記A,B為第一次、第二次摸到白球，由全概率公式,

例6袋中有a個(gè)白球b個(gè)黑球，不放回摸球兩次，問第二次摸出49例7設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，一顧客欲購買一箱玻璃杯，由營(yíng)業(yè)員任取一箱，經(jīng)顧客開箱隨機(jī)察看4只，若無次品，則買此箱玻璃杯，否則退回.試求顧客買下此箱玻璃杯的概率.解記A:顧客買下所察看的一箱玻璃杯，Bi:箱中有i件次品(i=0,1,2)，

由題設(shè)知，

由全概率公式知

例7設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品50四、貝葉斯公式在上面例5中，如買到一件次品，問它是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？這就要用到.

在全概率公式的假定下，有

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因Bk的概率.貝葉斯公式四、貝葉斯公式在上面例5中，如買到一件次品，問它是甲廠51所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的.例5已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為30％、20％、50％,次品率分別為3％、3％、1％.（2）如果買了一件該商品，發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的概率分別為多少?

0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的.例5已知三家工廠的市場(chǎng)占52全概率公式可看成“由原因推結(jié)果”,而貝葉斯公式的作用在于“由結(jié)果推原因”:現(xiàn)在一個(gè)“結(jié)果”A已經(jīng)發(fā)生了，在眾多可能的“原因”中,到底是哪一個(gè)導(dǎo)致了這一結(jié)果？

故貝葉斯公式也稱為“逆概公式”。全概率公式可看成“由原因推結(jié)果”,而貝葉斯公式的作用在53

例8

對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為30%