工程投融資管理之資金的時間價值

資金的時間價值這個島嶼值多少錢？曼哈頓島1626年，新荷蘭總督Peter用相當于$24購入曼哈頓；至2006年曼哈頓島的價值已經(jīng)超過了2.5萬億美元。380年后，按5%利率計算，這筆資金超過20億美元；按10%利率計算，這筆資金約為129千萬億美元，大于世界上所有不動產(chǎn)總和。

（美國近70年股市的平均投資收益率為11%）愛因斯坦：“宇宙世間最大的能量是復利，世界的第八大奇跡是復利”。

時間價值是指資金經(jīng)歷一定時間的投資和再投資所增加的價值。一、資金時間價值的概念資金的時間價值是指經(jīng)過一定時間的增值，在沒有風險和通貨膨脹條件下的社會平均資金利潤率。資金時間價值的意義：它明確了資金存在的時間價值，樹立起使用資金是有償?shù)挠^念，有助于資源的合理配置。每個企業(yè)在投資時至少要能取得社會平均利潤率，否則不如投資于其他項目。工程經(jīng)濟中借用利息概念來代表資金時間價值，指投資的增值部分。二、利息和利率

1.利息（In）占用資金所付出的代價（或放棄資金使用權(quán)所獲得的補償）利息是衡量資金時間價值的絕對尺度，是其最直觀的表現(xiàn)。因此計算資金時間價值的方法主要是計算利息的方法。利息通常根據(jù)利率來計算。2.利率（i）一個記息周期內(nèi)所得利息額與本金的比率利率利率是國民經(jīng)濟宏觀調(diào)控的重要方式，是衡量資金時間價值的相對尺度。

二、利息和利率2023/1/6單利法In=P·i·n

利息的計算復利法In=i·Fn-1

二、利息和利率（一）單利法

是指在計算利息時，僅考慮最初的本金，而不計入在先前利息周期中所累積增加的利息。即通常所說的“利不生利”。

利息計算公式：In=P·i·n,

Fn=p+In

式中Fn—本利和In——利息

P——本金

i——利率

n——計息期二、利息和利率例：有一筆50000元的借款，借期3年，按每年8％的單利率計息，試求到期時因歸還的本利和（F）。

解：

根據(jù)公式有：

F=P+P×i×n=50000+50000×8%×3=62000（元）（二）復利法

是指在計算利息時，某一計算周期的利息是由本金加上先前周期所累積利息總額來計算的。也就是通常所稱的“利生利”“利滾利”。利息計算公式：

In=i·Fn-1

式中Fn-1——第n-1期期末的本利和

二、利息和利率復利——利滾利F=P(1+i)nI=F-P=P[(1+i)n-1]公式的推導如下：年份年初本金P當年利息I年末本利和F

…………1PP·iP(1+i)2P(1+i)2P(1+i)P(1+i)·in－1P(1+i)n-1P(1+i)n-2P(1+i)n-2·inP(1+i)nP(1+i)n-1P(1+i)n-1·i

根據(jù)上表可得到以下公式：

F=P·(1+i)NI=P·(1+i)N－P(3－3)若本金為1000元，計息期利率為5％，則采用單利和復利的本利和比較如表所示。

解：若按單利法計息，到期應還本利和為：

F=300000×(1+10×3％)=390000(元)

若按復利法計息，到期應還本利和為：

F=300000×(1+3％)10=403174.92(元)

按復利法計息比單利法計息需多支付13174.92元。

同一筆借款，在利率相同的情況下，用復利計算出的利息金額數(shù)比用單利計算出的利息金額數(shù)大，當所借本金越大、利率越高、年數(shù)越多時，兩者差距就越大。

【例】某人為購房向銀行貸款300000元，3％的年利率，10年后還清本利。問按單利和復利計息法，他到期應支付本利分別為多少？2023/1/6名義利率

r利率實際利率ie二、利息和利率3.名義利率和有效利率通常所說的年利率是名義利率。有效利率(

ie

)：是指資金在計息期所發(fā)生的實際利率。年名義利率（r)：一個計息期的有效利率i與一年內(nèi)的計息次數(shù)的乘積。例如：月利率i=1％，一年計息12次，1％為月有效利率，1％×12=12％為年名義利率。名義利率之間不能直接進行比較，必須轉(zhuǎn)化為以共同計息期間為基準的利率水平，然后再進行比較。通常以1年為比較基準年限，即比較年有效利率。例3：有本金1000元，年利率12％，若每月計息1次，試計算實際利率。解：一年本利和

F＝1000×(1＋0.12／12)12=1126.80元實際利率

ie=（1126.80-1000）÷1000×100%=12.68%

計息次數(shù)越多，則實際利率越……？(1)年有效利率如果名義利率為r，一年中計息N次，則每次計算利息的利率為r／N，根據(jù)復利公式，年末本利和為：

其中利息為：年有效利率ie為：例4:現(xiàn)有兩家銀行可以提供貸款，甲銀行年利率17%，一年計息一次；乙銀行年利率為16%，一月計息一次，均為復利計算，問那家銀行的實際利率低？解：甲銀行的實際利率等于名義利率，為17%，乙銀行的實際利率為：

ieff=(1+r/m)m－1=（1+0.16/12）12－1=17.23%某工程項目因投資需要連續(xù)3年年末向銀行借入5000萬元，年利率8％，按季計息，求終值?！纠拷夥?根據(jù)題意，r=8％，則計息期利率為：8％／4=2％

F=5000×(1+2％)8+5000×(1+2％)4+5000=16272.16(萬元)

解法2

根據(jù)題意有：

ie=(1+8％/4)4-1=8.243％

F=5000×(1+8.243％)2+5000×(1+8.243％)+5000=16270.42(萬元)三、資金等值計算

資金等值：將不同時點的幾筆資金金額按同一收益率標準，換算到同一時點，如果其數(shù)值相等，則稱這幾筆資金等值。資金等值計算是指為了便于比較，把不同時點上的資金按照一定的折現(xiàn)率計算至某一相同的時點上的過程。如“折現(xiàn)”、“貼現(xiàn)”等。決定資金等值的因素是：①資金數(shù)額③資金運動發(fā)生的時間③利率資金等值的計算公式利用等值的概念，可以把在一個時點發(fā)生的資金金額換算成另一時點的等值金額，這一過程叫做資金等值計算，一般是計算一系列現(xiàn)金流量的現(xiàn)值、將來值和等額年值?，F(xiàn)值計算：把將來某一時點的資金金額或一系列的資金金額換算成較早時間的等值金額，稱為“折現(xiàn)”或“貼現(xiàn)”。將來時點上的資金折現(xiàn)后的資金金額稱為“現(xiàn)值”。將來值計算：將任何時間發(fā)生的資金金額換算成其后某一時點的等值金額，將來某時點的資金金額稱為“將來值”。等額年值計算：將任何時間發(fā)生的資金金額轉(zhuǎn)換成與其等值的每期期末相等的金額。將采用的符號約定如下：i為利率；N為計息期數(shù)；P為現(xiàn)值；F為將來值；A為等額年值。終值

假定你打算將$10,000投入到一項收益率為5%的項目中，則1年后你的投資將會增長為$10,500。其中，$500為投資賺得的利息($10,000×.05)$10,000為應歸還給你的本金($10,000×1)

$10,500為本息合計，可由下式計算得到：$10,500=$10,000×(1.05)該投資在期末的本息合計金額被稱為終值（FutureValue，F(xiàn)V），或復利值。

1.單期投資的情形在單期投資的情形下，終值的計算公式可以寫為：

FV=C0×(1+r)

其中，C0

是今天（時間0）的現(xiàn)金流量

r是適用的利率FV=$10,500

年01C0=$10,000$10,000*1.05C0×(1+r)現(xiàn)值

如果你希望對一項報酬率為5%的項目進行投資，1年后獲得$10,000，則你在今天應當投入的金額為$9,523.81。為了能在1年后償還$10,000的債務，債務人在今天就需要存起來的錢，就是現(xiàn)值（PresentValue，PV）。請注意：$10,000=$9,523.81×(1.05)在單期投資的情形下，現(xiàn)值的計算公式可以寫為：

其中，C1是第一期末的現(xiàn)金流量

r是適當?shù)睦蔆1=$10,000

年01PV=$9,523.81$10,000/1.05C1/(1+r)PV=C1/(1+r)凈現(xiàn)值

某個項目的凈現(xiàn)值（NetPresentValue，NPV）等于該項目的預期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值與項目投資成本之差。假定某項投資承諾將在一年后歸還$10,000，現(xiàn)在需要的出資金額為$9,500。你的資金利息率為5%。這項投資可行嗎？28

未來現(xiàn)金流量的現(xiàn)值大于投資成本額。換言之，該項目的凈現(xiàn)值NPV為正，因此該投資可行。在單期投資的情形下，凈現(xiàn)值（NPV）的計算公式可以寫為：NPV=–投資成本+預期現(xiàn)金流量的PV如果我們沒有投資NPV

為正的項目，而是將$9,500以5%的利率投資于其他地方，我們的FV

將少于投資所承諾的$10,000，在終值的意義上我們無疑將損失。$9,500×(1.05)=$9,975

<$10,000.1）

終值和復利計算一項多期投資的終值的一般計算公式可以寫為：FV=C0×(1+r)T

其中：

C0

是時間0的現(xiàn)金流量

r是適用的利率

T

是現(xiàn)金投資的時期數(shù)2.多期投資的情形假定JayRitter投資某公司首次公開發(fā)行的新股。該公司當前支付了$1.10的股利，預期未來五年里股利將每年增長40%。在五年后股利將為多少？FV=C0×(1+r)T$5.92=$1.10×(1.40)5

注意在第五年的股利$5.92大大高于初始的股利加上初始股利$1.10的五次40%的增長之和：$5.92>$1.10+5×[$1.10×.40]=$3.30

這是由于復利（compounding）的緣故。終值和復利012345

終值和復利計算如果資金按復利計算，利息將被進行再投資；而在單利情況下，利息沒有進行再投資。

$1×(1+r)2=1+2r+r2>1+2r

如果投資金額越大，期限越長，復利的威力就越大。查表得到“1元錢在T期末的復利值（終值系數(shù)）”。我們可以由最初的投資額、利率，計算終值，也可以由初始投資額、終值，求利率。T年末的將來值計算公式為：

F=P·(1+i)T

式中，(1+i)T稱為一次支付復利(終值)系數(shù)，記為(F／P，i，T)，這樣上式可以寫成：

F=P·(F／P，i，T)

該式也可理解為：t點處的一筆資金P，在價值尺度為i的情況下，在t+T點處的等值資金F的大小為P·(1+i)T。

復利終值C0=$100FV=?FV=$100（1+10%）5=$161元T=5年查終值系數(shù)表（1+10%）5為1.6105【例】某企業(yè)投資1000萬元，年利率為10％，4年后可得本利共多少？解：在上述問題中P=1000，i=10％，T=4，通過復利公式求解

F=1000×(1+10％)4=1464.1(萬元)

查閱利率為10％，期數(shù)為4的系數(shù)值，得(F／P，i，T)=1.464，有：

F=1000×(F／P，10，4)=1000×l.464=1464.1(萬元)

計算未來現(xiàn)金流量的現(xiàn)值的過程叫做“貼現(xiàn)”。它是復利計算的相反過程。一項多期投資的現(xiàn)值的一般計算公式可以寫為：

其中：

CT

是在期的現(xiàn)金流量

r

是適用的利率查表可以得到“T期后得到的1元錢的現(xiàn)值（現(xiàn)值系數(shù)）”。2）現(xiàn)值和貼現(xiàn)

稱為一次支付現(xiàn)值系數(shù)，記為(P／F，i，T)，這樣上式可表示為：

P=F·(P／F，i，T)

復利現(xiàn)值

P=？F=400PV=400/（1+8%）3=317.6元T=3年查現(xiàn)值系數(shù)表[1/（1+8%）]3為0.7938

【例】某企業(yè)對投資收益率為10％的項目進行投資，欲4年后得到1464.l萬元，現(xiàn)在應投資多少？解：或者P=1464.1×(P／F，10％，4)=1464.1×0.6830=1000(萬元)現(xiàn)值和復利

如果當前利率為15%，一個投資者為了在五年后能獲得$20,000，現(xiàn)在必須投資多少？012345$20,000PV求現(xiàn)值——多期

假定某項投資期末付給你$200，以后直到第4年末，每年還會將增長$200。如果投資報酬率為12%,這一系列現(xiàn)金流量的現(xiàn)值是多少？如果該投資的發(fā)行人對此項投資的要價為$1,500,你應當買入嗎？求現(xiàn)值——多期

01234200400600800178.57318.88427.07508.411,432.93現(xiàn)值<成本→不應購入

凈現(xiàn)值一系列現(xiàn)金流量的現(xiàn)值就是對各個現(xiàn)金流量現(xiàn)值的加總。一筆在T期里產(chǎn)生效益的投資項目的凈現(xiàn)值：求期數(shù)

如果今天將$5,000存入一個收益率為10%的帳戶中，則需要多長時間我們的帳戶金額才能增長到$10,000?年限T系數(shù)差值7?81.94872.14362.0513.1949x1插值法測算T值x/1=0.0513/0.1949X=0.2632T=7.2632年年金計算年金(annuity)是指一定時期內(nèi)一系列相等金額的收付款項。年金按付款方式的不同可分為普通年金、先付年金、延期年金和永續(xù)年金。普通年金的收付款項發(fā)生在每期的期末。普通年金終值是一系列等額款項的終值之和。普通年金終值（已知A，求F）

…

A(1+r)T-2A(1+r)T-1A(1+r)A(1+r)各年終值之和01AAA……T-1012

T等額分付類型公式等額年值與將來值之間的換算 12nn－10A

AAA（等額年值）12nn－10F（將來值）基本模型

普通年金終值的數(shù)學公式為：FVAn=A(1+r)0+A(1+r)1+A(1+r)2+……+A(1+r)T-2+A(1+r)T-1=A[(1+r)0+(1+r)1+(1+r)2+…+(1+r)T-2+(1+r)T-1]

=

是一定時期內(nèi)每期期末等額收付款項的復利終值之和。年金終值式中：

稱為“一元年金的終值”或“年金終值系數(shù)”，記作：（F/A,i,n）。該系數(shù)可通過查表獲得，則：

F=A（F/A,i,n）例：某人每年年末存入銀行100元，若年率為10%，則第5年末可從銀行一次性取出多少錢？F=100（F/A,10%,5）查表得：（F/A,10%,5）=6.1051F=100×6.1051=610.51（元）等額分付終值計算公式已知一個技術(shù)方案或投資項目在每一個計息期期末均支付相同的數(shù)額為A

，設(shè)利率為i，求第n年末收回本利F

。稱為等額分付終值系數(shù)，記為等額分付系列公式應用條件1.每期支付金額相同，均為A；2.支付間隔相同，通常為1年；3.每次支付都在對應的期末，終值與最后一期支付同時發(fā)生。稱為等額分付償債基金系數(shù)，記為已知F

，設(shè)利率為i，求n年中每年年末需要支付的等額金額A

。等額分付系列償債基金公式等額分付系列償債基金，也稱為等額分付系列積累基金。其公式是計算將來值的等額年值。它可理解為，為了在N年末能籌集到一筆錢F，按年利率i，從現(xiàn)在起連續(xù)幾年每年年末必須存儲多少？

【例】某企業(yè)5年后需一次性支付200萬元的借款，存款利率為10％，從現(xiàn)在起企業(yè)每年等額存入銀行多少錢？解：或查表求得

A=200×(A／F，10％，5)=200×0.1638=32.75(萬元)變化若等額分付的A發(fā)生在期初，則需將年初的發(fā)生值折算到年末后進行計算。3AF0n12n-14A'例題某大學生貸款讀書，每年初需從銀行貸款6,000元，年利率為4%，4年后畢業(yè)時共計欠銀行本利和為多少？為了能在今后幾年中每年年末提取相等金額A，現(xiàn)在必須投資多少？012…...T-1T……….普通年金現(xiàn)值——等額分付系列現(xiàn)值公式，是一定時期內(nèi)每期期末等額款項的現(xiàn)值之和。AA各年現(xiàn)值之和……

等式兩邊同乘(1+i)……記作(P/A，i，n)——“一元年金的現(xiàn)值”或“年金現(xiàn)值系數(shù)”。等額分付現(xiàn)值計算公式已知一個技術(shù)方案或投資項目在n年內(nèi)每年末均獲得相同數(shù)額的收益為A

，設(shè)利率為i，求期初需要的投資額P

。稱為等額分付現(xiàn)值系數(shù)，記為該系數(shù)可通過查表獲得，則：

P=A（P/A，i，n）例：租入某設(shè)備，每年年末需要支付租金120元，年復利率為10%，則5年內(nèi)應支付的租金總額的現(xiàn)值為多少？

P=120（P/A，10%，5）查表得：（P/A，10%，5）=3.7908則：P=120×3.7908≈455（元）一個第二年后的四年里每年支付$100的年金，如果利率為9%，它的現(xiàn)值是多少？0 1 2 345$100 $100 $100$100$327.97$297.22該公式是計算現(xiàn)在時點發(fā)生的資金金額的期末等額年值。已知一個技術(shù)方案或投資項目期初投資額為P，設(shè)利率為i，求在n年內(nèi)每年末需回收的等額資金A

。例如，某人以年利率i存入一項資金P，他希望在今后N年內(nèi)把本利和在每年年末以等額資金A的方式取出。

式中，為等額分付資金回收系數(shù)，記為(A／P，i，N)。

等額分付資本回收計算公式【例】某工程初期總投資為1000萬元，利率為5％，問在10年內(nèi)要將總投資連本帶息收回，每年凈收益應為多少？解：

或查表求得

A=1000×(A／P，5％，10)=1000×0.1295=129.5(萬元)

永續(xù)增長年金能始終以某固定的增長率保持增長的一系列現(xiàn)金流。0…1C2C×(1+g)3C×(1+g)2

永續(xù)增長年金：例子

預期下一年的股利是$1.30，并預期以5%永久增長。如果貼現(xiàn)率是10%，該股利流量的現(xiàn)值是多少？0…1$1.302$1.30×(1.05)3$1.30×(1.05)2由題意知，每年年末的還本付息額構(gòu)成9年期普通年金。則：4,000（P/A，i，9）=20,000所以：（P/A，i，9）=20,000/4,000=5查表得：（P/A，12%，9）=5.3282，（P/A，14%，9）=4.9164例：某公司于第一年年初借款20,000元，每年年末還本付息額均為4,000元，連續(xù)9年還清。問借款利率為多少？設(shè)當柴油機使用n年時，節(jié)約的燃料費用剛好抵消增加的投資額。則：500（P/A，10%，n）=2000

所以：（P/A，10%，n）=2000/500=4

查表得:（P/A，10%，5）=3.7908，(P/A，10%，6）=4.3553例：某企業(yè)擬購買一臺柴油機以更新目前所用的汽油機。購買柴油機與繼續(xù)使用汽油機相比，將增加投資2000元，但每年可節(jié)約燃料費用500元。若利率為10%，求柴油機應至少使用多少年對企業(yè)而言才有利？基本公式相互關(guān)系示意圖（F/P，i，n）（P/F，i，n）（F/A，i，n）（A/P，i，n）（P/A，i，n）（A/F，i，n）PFA01234567……n……基本公式相互關(guān)系示意圖【練習1】某企業(yè)向銀行貸款1000萬元用于工程項目建設(shè)，償還期為