利用正弦余弦定理解三角形

積微教育2016第三十六講解三角形問題知識框例題精1、在ABCacos2Cccos2A3b，且ABC的面積SasinC，則a SasinC得b2acos2Cccos2A3 a1cosCc1cosA3ba(1cosC)c(1cosA) ac(acosCccosA)3bacb3bac2b2、在ABCABBC2BCCA3CAAB，則tanAtanBtanCaccosB2abcosC3bccosAcosB2cosC3cos sinAsinBsinC，兩式相除，得tanAtanBtanC 3ABCA、B、Ca，b，c2sinB＝若 ＝3b＝7，sinA＝3sinCABC(1)由2sinB＝3cosB即2(1－cos2B)＝3cosB，解得

cosB＝－2(舍去＝2 ＝3＝因為 A為三角形內(nèi)角，則sinA＝2＝ sinC＝sin(B＋A)＝sin(π＋A)＝

3＋2 (2)解法一sinA＝3sinC由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2accosB7＝9c2＋c2－3c2，解c＝1 3面積 解法二2

得sin(C＋B)＝3sinC，即 ＋32

2即 2cosC＝sinCtanC＝ CsinC＝ 由正弦定理

＝3＝ 證明：tan 1－cos sintanA＋tan

2

2tan sin

1－cos證明（ 2 cos

2sinAcos

sin A＋＝180CC180A，D＝180－B，由(1)，有 1－cos 1－cos

2＋2 sin

sin

sin sin在△ABDBD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA，在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos所以AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝BC2＋CD2＋2BC·CDcos則cos ＝

3 2于是sinA＝ 1－7 7cos 6于是sinB＝ 1－19 所以tan tan tanC＋tan 219 4

sin sin

2

6 ，5AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的OB．位于該市的某大學(xué)M與市中心O的距離OM313km，且AOM．現(xiàn)，直線段，且經(jīng)過大學(xué)M．其中tan2cos求大學(xué)MAAM

AO15kmBLLLM A

，OM 33(313)2152231315139151523152AM ，即大學(xué)MAAM為62km2 3，且為銳角，sin2在AOM

22即62 3 ，sinMAO sin

，MAO 4

tan2

2，cos1) 1，又AOB sinAOBsin()2)4在AOB中，AO15，由正弦定理得 sin

sinAB15，AB

2ABAB為302km

限時訓(xùn)練（420 頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝ 2、在△ABC中，D為BC邊上一點，BC＝3BD.AD＝2，∠ADB＝135°，若AC＝2AB，則 中，角，，所對的邊分別是，，，若＝＝且 ＝7

(1)cosC4、我兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點C和D處，已CD＝6000m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°B處答弦定理 ，即BC＝600，所以BC＝3002.在 sin sin中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝3002·tan30°＝1002、解析：用余弦定理求得 BD2＋AD2－2AD·BDcos135°，AC2＝CD2＋AD2－2AD·CDcos45°，即 又BC＝3BD，∴CD＝2BD.∴AC2＝4BD2＋2－4BD. 又AC＝2AB，∴由③得2AB2＝4BD2＋2－4BD. ∴BD＝2＋

bca－(b－c)＝a－b－c＋2bc＝ 7所以sinA＝1－cos2A＝

所以cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝－

5 × ×)＝(2)由(1)sinC＝1－cos2C＝4

在△ABC中，由正弦定 ＝b＝a asin∴S＝1acsin

sin sin 5×8×3＝10

sin

sin＝