諧振腔諧振頻率及幾何尺寸的探討

摘要諧振腔腔壁由導體組成，是產(chǎn)生高頻振蕩的有效工具；是比LC回路運用更廣的振蕩元件；本文對真空中諧振腔與諧振頻率的關系做了詳細的討論；當諧振腔中有介質存在時，對諧振頻率的影響也做了詳細的推導，并對不同性質的介質對諧振頻率的影響做了分類討論，最后將不同情況下得出的諧振頻率的結論加以總結，從而得出諧振腔諧振頻率不受諧振腔尺寸限制的結論，對傳統(tǒng)理論有了進一步的發(fā)展；為探索和設計新穎的諧振腔提供理論依據(jù)。為設計合理的諧振腔提供現(xiàn)實的理論價值。關鍵詞：諧振腔；諧振頻率；左手介質；右手介質；幾何尺寸AbstractResonatorisposedbyconductorschamberwall,Itistheeffectivetoolsproducehigh-frequencyoscillatory,ThanLCcircuitisusedmorewidelyoscillationponent;Foravacuumresonatorandtheresonantfrequencyofrelationshipdiscussedindetail;Whenresonator,havemediahaveresonancefrequencyeffecttodoadetailedderivation,andthedifferentnatureofthemediaontheresonancefrequencyeffectofclassification,finallydiscussedthedifferentcasesobtainedtheconclusionsummarizedtheresonantfrequency,soastoobtaintheresonancefrequencyfromresonatorresonatorsizerestrictionsontraditionaltheory,theconclusionhasbeenfurtherdevelopment;Forexplorationandnoveldesignprovidesthetheorybasisfortheresonator.Todesignthereasonableresonatorproviderealistictheoreticalvalue.Keywords:Resonantcavity；Theresonantfrequency；Left-handedmedium;Therighthandmedium;Geometrydimension目錄摘要IAbstractI緒論91.1問題的提出91.2論文研究背景與意義9真空諧振腔的諧振頻率與幾何尺寸102.1一定頻率下電磁波基本方程102.2諧振腔的截止頻率13諧振腔填充介質后的諧振頻率163.1填充普通介質（右手介質）73.1.1填充普通介質時的基本方程163.1.2填充普通介質時諧振頻率的變化193.2填充特殊介質（左手介質）203.2.1左手介質簡介203.2.2左手介質存在的可能213.2.3填充左手介質時諧振頻率的變化22結論23參考文獻24致錯誤!未定義書簽。緒論問題的提出在實際當中運用的電磁波是用具有特定頻率的線路或元件激發(fā)的，低頻無線電波采用LC回路產(chǎn)生振蕩。在LC回路中，集中分布于電容部的電場和集中分布于電感線圈部的磁場交替激發(fā)，它的振蕩頻率f二1/2“TC,如果要提高諧振頻率，必須減小L或C的值。頻率提高到一定限度后，具有很小的L和C值的電容和電感不能再使電場和磁場集中分布于它們的部，這時向外輻射的損耗會隨頻率的提高而增大。因此，LC回路不能有效的產(chǎn)生高頻振蕩。在微波圍，通常采用諧振腔來產(chǎn)生高頻振蕩。諧振腔是腔壁由導體組成的它是產(chǎn)生高頻振蕩的有效工具，微波諧振腔的用途很廣。從電路的角度來講，它具備LC諧振單元具備的一切性質，比如選模等，使得它在濾波器、匹配電路甚至天線的設計里有廣泛應用。但顯然它部場分布更為復雜，對于特定結構的諧振腔體，具備特有的諧振模式和諧振頻率，這使得它在振蕩器的設計中顯得至關重要另外，在很多電真空器件中，將慢波結構安置在諧振腔中，使得電子與外加電場作用，從而產(chǎn)生特定頻率信號的輻射。當然，很多寄生諧振也是由于諧振腔產(chǎn)生的結果，實際電路設計中應盡量避免?？傊?，諧振現(xiàn)象在微波電路中廣泛存在，無論是從電路的角度還是從場的角度，只要涉及到諧振的概念，諧振腔就扮演著重要的角色。因而對它的研究有很高的應用價值。但其諧振頻率受其尺寸的限制因此，本文重點來研究諧振腔諧振頻率與幾何尺寸的關系。論文研究背景與意義由于近幾年電磁波的廣泛應用，電磁波的研究已經(jīng)引起廣泛關注。但是，關于電磁波的諧振腔諧振頻率與諧振腔尺寸的關系并未受到重視。對于二者是否相互相關，我們并不是很清楚，對于諧振腔諧振頻率與幾何尺寸與其關系更沒有系統(tǒng)和清楚的認識。電動力學及電磁場理論和電磁波與微波技術等的一些容對這些問題有一定的研究，多數(shù)都為一些簡單的最常見的諧振腔的研究而且其容大致都是諧振腔的頻率，品質因素，耗散功率等的研究，并沒有對諧振腔諧振頻率與幾何尺寸進行研究和討論。況且，在實際當中運用的電磁波是用具有特定頻率的線路或元件激發(fā)的，低頻無線電波采用LC回路產(chǎn)生振蕩。在LC回路中，集中分布于電容部的電場和集中分布于電感線圈部的磁場交替激發(fā)，

它的振蕩頻率f二V2^/LC，如果要提高諧振頻率，必須減小L或C的值。頻率提高到一定限度后，具有很小的L和C值的電容和電感不能再使電場和磁場集中分布于它們的部，這時向外輻射的損耗會隨頻率的提高而增大。因此，LC回路不能有效的產(chǎn)生高頻振蕩。諧振腔既可以實現(xiàn)LC達到的效果，也可以產(chǎn)生理想的高頻電磁波，在實際應用當中也很廣泛，因而對它的研究有很高的應用價值，但其諧振頻率受其尺寸的限制；因此，我想通過本文的研究為探索和設計新穎的諧振腔提供現(xiàn)實的可能，為設計合理的諧振腔提供理論價值。真空諧振腔的諧振頻率與幾何尺寸諧振腔是產(chǎn)生電磁波的主要元件，最常見的就是真空諧振腔；真空諧振腔雖然最為常見，實際運用也最廣；但是，諧振腔產(chǎn)生電磁波的頻率受其自身大小的影響。因此，下面我將從麥克斯韋方程出發(fā)推導出真空諧振腔諧振頻率與幾何尺寸的關系。2.1一定頻率下電磁波基本方程考慮矩形諧振腔且腔為真空（卩二卩；8=8 0）,又腔壁為理想導體；所00以，我們利用理想導體的邊界條件和麥克斯韋方程以及在直角坐標系下的亥姆霍茲方程的解法即可得到在真空情況下的關系：由麥克斯韋方程；VxE二一dBdVxE二一dBdt(2.1.1)VxH=^Ddt(2.1.2)V?D=0(2.1.3)(2.1.4)V?B=0

(2.1.3)(2.1.4)在真空中時有，D=￡E,B=卩H，則取(2.1.1)式的旋度有:0000(2.1.5)Vx(VxE)=-—VxB= 竺(2.1.5)dt 00dt2由(2.1.3)式可知;V?E=0；則(2.1.5)式的左邊由矢量分析公式得:Vxx?E)-V2E=-V2E(2.1.6)將(2.1.6)式代入(2.1.5)式得;V2Vxx?E)-V2E=-V2E(2.1.6)將(2.1.6)式代入(2.1.5)式得;V2E-卩8空=000dt2(2.1.7)同樣在利用(2.1.2)、(2.1.4)式可以得到磁場的方程：V2B-卩8d-B=000dt2(2.1.8)1c=—屮8'00則(2.1.7)、(2.1.8)方程可寫為(2.1.9)V2E-1d2Ec2dt2(2.1.10)V2B-1d2Bc2dt2(2.1.11)以上兩式(2.1.10)(2.1.11)式電磁波在空間中的傳播波動方程；該方程的解為波動形式的。因此，B,E可寫成方程：

(2.1.12)(2.1.12)(2.1.13)—? —?(2.1.13)B(x,t)=B(X)e-i?t另一方面，在真空時我們將(2.1.12)、(2.1.13)式代入麥克斯韋方程組，消去共同因子e-血即可以得如下方程:VxE=—VxE=—o=i①pHo dt oooVxH= 二—i①wE0刊 00 0V.E=0(2.1.16)0V.B=0

0(2.1.14)(2.1.15)(2.1.17)需要注意的是以上方程并不是相互獨立的，我們取(2.1.14)式，并兩邊同時取旋度則有；Vx(/xE)=32p￡E,這式子左邊00000Vx(/xE)=V(7?E)-V2E=—V2E兩邊相等即得：0000V2E+k2E=0000k=3 ■'p8(2.1.18)00'00(2.1.18)(2.1.19)(2.1.18)式稱為亥姆霍玆(Helmholtz)方程，其中該方程得解必須滿足(2.1.16)式；這里需要注意的是E的下腳標表示不含時間變量的電場強度。

諧振腔的截止頻率我們現(xiàn)在所要研究的諧振腔腔壁是以理想導體做成的，因此，在邊界上滿足理想導體邊界條件；對于電場而言，電場在理想導體邊界面上的法向分量是連續(xù)的；切向分量是不連續(xù)的；磁場法向分量是不連續(xù)的，切向分量是連續(xù)的。因此有：exE=on(2.2.1) ?exH=an(2.2.2)—?e-D=bn(2.2.3)e-B=0n(2.2.4)現(xiàn)在將(2.1.18)式在直角坐標系下分解并令u(x,y,z)為E的任意直角分量有V2u+k2u=00(2.2.5)用分離變量法，令u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)(2.2.6)(2.2.5)分解為三個方程：d2x+k2X=0dx2 x(2.2.6)d2YY+k2Y=0dy2y(2.2.7)d2Z+k2Z-0dz2 z(2.2.8)

(2.2.9)k2+k2+k2=⑷2皿(2.2.9)xyz我們設矩形諧振腔的三邊長分別為a,b,c；則(226),(2.2.7),(228)三式的合解為；為；u(x,y,z)=(Ccoskx+Dsinkx)(Ccosky+Dsinky)1x1x1y1y(2.2.10)?(Ccoskz+Dsinkz)(2.2.10)3z3z由(221)式的邊界條件，把u(x,y,z)具體化為E的各分量，如果我們考慮E,x它對x=0壁而言是法向分量’所以有務=0，因此在昭0)式中不取~sink而對于y=0,z=0時E是切向分量，由(221)式可知(2.2.10)不取~coskyy~coskz項。同理我們對E和E也可以做相同的考慮。由此可得yzE=Acoskxsinksinkyz(2.2.11)E=Bsinkyxcosksinkyz(2.2.12)E=CsinkE=Acoskxsinksinkyz(2.2.11)E=Bsinkyxcosksinkyz(2.2.12)E=Csinkzxsinkcoskyz(2.2.13)我們再考慮x=a,y=b,z=c面上的邊界條件，得ak，bk和ckxy必須為兀整數(shù)倍，即m兀了 n兀了 p兀k= ,k=—,k=—xaybzcm,n,p=0,1,2(2.2.14)其中，m,n,p分別表示沿矩形三邊所含的半波數(shù)目。在(2211)至(2213)中分別含三個任意常數(shù)A,B和C。由方程V-E=0,0它們之間應滿足關系(2.2.15)Ak+Bk+Ck=0(2.2.15)xyz所以，A,B,C中只有兩個是獨立的。當滿足關系(2.2.14)和(2.2.15)式時，(2.2.11)至(2.2.13)式代表腔的一種諧振波mnp兀a模。對于每一組(m,n,p)的值，有兩個獨立偏振波模。諧振頻率由(229)和(2214)式給出mnp兀a(2.2.16)其中，(m,n,p=0,1,2 )①稱為諧振腔的本征頻率；由(2216)式可m,n,p以看出諧振腔的本征頻率①除與6卩和m,n,p相關外還和諧振腔的幾何尺寸mnp有關；在這里我們只討論除a,b,c外其他相關參量為定值(即m,n,p取某一值時或諧振波模相同)的情況，因此，我們很明顯可以看出，本征頻率隨a,b,c的值增大而減小，隨a,b,c的值減小而增大；因此，當我們想得到較高頻率的電磁波時可以減小諧振腔的幾何尺寸，但諧振腔的縮小尺寸要適當。當我們取本征頻率①時，即m=1,n=1,p=0時我們由1103mnp/13mnp/1、2f0)2+一+—Vb丿Vc丿若此時我們取a>b>c，則有最低的本征頻率①，而此時對應的諧振頻率為:1103f=110110 3f=110110 2兀2vIf1111 +f11Jka2丿Vb2丿12.2.17)此時，對應的頻率為在此種波模的最小諧振頻率，該諧振腔不能產(chǎn)生小于截止頻率的電磁波。因此，我們所要選擇的縮小的尺寸要適當正是如此。諧振腔填充介質后的諧振頻率前一節(jié)我們推導真空諧振腔諧振頻率與幾何尺寸的關系；接下來我看另外二種情形。如果，我們不改變諧振腔的尺寸，向諧振腔里填入各種不同介質；諧振頻率會發(fā)生怎樣的變化；為了弄清這個問題下面將從兩方面解決此問題。3.1填充普通介質（右手介質）“右手介質（材料）”是指一種介電常數(shù)和磁導率同時為正值的介質（材料）。電磁波在其傳播時，波矢k、電場E和磁場H之間的關系符合右手定律，因此稱之為“右手介質（材料）”；因為，其自然界大量存在，所以右稱自然介質。3.1.1填充普通介質時的基本方程設真空諧振腔的原電場為E0和H0，諧振頻率為3。，腔電磁場滿足的麥克斯韋方程為：月BVxE二 二i3卩Ho dt 0oo（3.1.1）VxH=-i38E0000?（3.1.2）腔填充介質（右手介質）以后，若其介質參數(shù)為￡和M，諧振頻率變?yōu)?,腔電磁場變?yōu)镋和H，滿足的麥克斯韋方程變?yōu)椋籅VxE二一 二i3^Ht」（3.1.3）-dD -VxH- --i3￡Et（3.1.4）對（3.1.2）式和（3.1.3）式做如下處理

xH丿?E=iw￡E*?E,,一H*?VxE』=-i仰H*?H

000000同時代入下式得；iw￡E-E*一iwpH*?H0000v?(H*xEiw￡E-E*一iwpH*?H00000003.1.5)同理對（3.1.1）和（3.1.2）式做如下處理有：-(vxe)?H=iw卩H*?H,E*?xH)=-iw￡E*?E000000同時代入下式得；v?ChxE*)=QxH)E*一H?CxE*)=iwpH*?H一iw￡E*?E00000003.1.6)然后，再將（3.1.5）式與（3.1.6）式相加并兩邊同時寫成積分形式，同時用高斯公式將左邊換成面積分形式有；Iv?G*xE+HxE*》v=1G*xE+HxE)dsVo oso o-wp]h-H*+lw￡-w￡〕E-E*0000003.1.7)在經(jīng)典電動力學里，我們知道電場在介質界面的法向分量是連續(xù)的，其切向分量為零，我們在諧振腔腔壁邊界上同樣利用這一特點，假設（3.1.7）式研究所包含的空間為V，V是由有向曲面S所包圍的空間，則在其邊界上我們將令ds=eds，同時在邊界上我們有電場的切向分量為零所以有exE=o，現(xiàn)在我們nn對（3.1.7）式做如下變換；

JV-7H*xE+HxE*)v二jC*JV-7H*xE+HxE*)v二jC*xE+HxE*)dsV00s00二J(H*xE)-ds+J(HxE*)dss0s0二J(H*xE)-eds+J(HxE*)?edss0ns0n二JH*?(exE)ds+JH?(exE*)ds二0s0n s n03.1.8)由（3.1.8）式推出（3.1.7）式的左邊最終得零，因此我們就有；0=J一①卩]h?H*+Ld8-W8]e?E*V0000003.1.9)從（3.1.9）的推導來看無論右邊的參量因子是什么只要其形式是電場與電場共軛的積加上磁場與磁場共軛的積共同對整個空間做體積分，其結果總是為零。所以，我們可以任意寫出相似的其他公式來只要符合（3.1.9）式，為了我們以后的證明我寫出如下形式的式子；LWyH?H*+W8E?E*》V二0V0000現(xiàn)在我們將（3.1.9）加上（3.1.10）可以得到3.1.10)V一Wy+Wy000]H?H*+0-W8+W8E-E*}dv=o00003.1.11)再將（3.1.11）式變形為，fI ―?―? ―?―?J(wyH?H*+W8E*?E)dV-0W-W=--v 0J(yH*?H+8E*?E)dVV0000TOC\o"1-5"\h\zI ―? ―? ―? ―? I ―? ―? ―? ―?J(WyH?H*+W8E*?E)dV-J(WyH?H*+W8E*?E)dVV 0 0 V 0 0 0 0J(yH*?H+8E*?E)dV0000V■ ―?―? ―?―?J[(y-y)H?H*+(8-8)E*?E]dV(yH*?H+8(yH*?H+8E*?E)dVV00003.1.12)我們將（3.1.12）式繼續(xù)變形，即兩邊同除以w參量，則可以得如下式子:

f3.1.13)』[(卩―卩)H?H*+(8-8)E*?E]3.1.13)V 0 0 0 0v I —>—? —?—?J(卩H*?H+8E*?E)dV0000從（3.1.13）式我們可以看出諧振腔的諧振頻率與諧振腔里的介質建立了一個明顯的關系表達式，我們知道真空中的磁導率C）和電容率（8）是一個穩(wěn)定的00常數(shù)且為正值，我們?yōu)榱蓑炞C某一電磁波在相同的諧振腔里有無介質時，介質對諧振頻率的影響，這里我們利用對比的方法。3.1.2填充普通介質時諧振頻率的變化我們從（3.1.13）式的左邊式子可以看出①一?是諧振腔的諧振頻率兩種情0況下的頻率差；而分母3是諧振腔充滿介質時的諧振頻率，不可能為零；所以左邊是有意義的且表示兩種情況下的諧振腔頻率的變化率。f3-3 』[(卩-卩)H?H*+(8-8)E*?E]dV_0二-」 J3 j(卩H*?H+8E*?E)dV3.1.14)V00003.1.14)U―-VJ：(卩IH*|2+8|E*|2)dVV0000j[(U―-VJ：(卩IH*|2+8|E*|2)dVV0000從⑶.⑷若填充介質的相對磁導率和相對介電常數(shù)很小的話可用原場E0、H0代替新場E、H，所以得：3-3 03-3 0沁—3亠j[Q—匹)|Ij(卩IH*|2+8IE*|2)dVV0000H*|2+(8-8)iE*i]dV00003.1.15)由（3.1.15）式可以看出我們只需要討論分子的參量因子的關系既可以判斷出該式的變化規(guī)律。需要說明的是雖然上下都是體積分形式；因為，他們積分號的參數(shù)因子卩一卩與卩，8-8與8并不相同，在積分時并不相等，所以上下積分號0000不能去掉。在這里我們只研究普通介質（自然介質）對諧振頻率的影響，值得注意的是雖然（3.1.15）與（3.1.14）看上去完全相同但是此處的電容率和磁導率所包含的意義更廣。在此我們還需要進行進一步分析；對我們理論而言當有；8>8,卩>卩將其代入到（3.1.15）時我們可得出00①―％<0 （3.1.16）所以得①<① （3.1.17）0從（3.1.17）得推導過程與結論來看，當我們把某一介質放到諧振腔里（腔不是真空時）諧振腔的諧振頻率與真空時相比變小了。填充特殊介質（左手介質）“左手介質（材料）”是指一種介電常數(shù)和磁導率同時為負值的介質（材料）。電磁波在其傳播時，波矢k、電場E和磁場H之間的關系符合左手定律，因此稱之為“左手介質（材料）”。它具有負相速度、負折射率、理想成像、等物理性質。3.2.1左手介質簡介1967年，前聯(lián)物理學家Veselago在前聯(lián)一個學術刊物上發(fā)表了一篇論文，首次報道了他在理論研究中對物質電磁學性質的新發(fā)現(xiàn)，即：當￡和P都為負值時，電場、磁場和波矢之間構成左手關系。他稱這種假想的物質為左手材料（left-handedmaterials,LHM），同時指出，電磁波在左手材料中的行為與在右手材料中相反，比如光的負折射、負的切連科夫效應、反多普勒效應等等。這篇論文引起了一位英國人的關注，1968年被譯成英文重新發(fā)

表在另一個前聯(lián)物理類學術刊物上。從此，材料世界翻開了新的一頁。3.2.2左手介質存在的可能左手材料到目前為止在自然界中并未發(fā)現(xiàn)，但早在1967你就有前聯(lián)物理學家Veselago推導其存在的可能下面我們利用麥克斯韋方程來推導：我們知道，單色波在各向同性的介質中傳播波矢量k與頻率O滿足：3.2.1)W3.2.1)k2=——n2c2其中，式中的n為均勻介質的折射率，且3.2.2)在（3.2.2）式中物質的磁導率和介電常數(shù)同時為負值時，（3.2.1）式中的結果并未發(fā)生改變，因此，我們可以得到兩種結果，即&>0,卩〉0前一節(jié)我們已經(jīng)討論了和8>0,卩〉0，現(xiàn)在我們來看當&<0,卩<0同時小于零時；由麥克斯韋方程；有1dBcdtVxH=VxH=1dDcdt(3.2.3)B=pHD=&E3.2.4)3.2.4)xE=——pHc由上式可看出，當8<0,p<0時，E,H,E將形成左手關系。在1998年，Pendry

JB提出一種周期排列且單元尺寸遠小于波長的金屬開口環(huán)結構諧振器（SRRS）,開口環(huán)諧振器在受到微波磁場的作用會產(chǎn)生感應電流，如磁矩一樣加強或抵消原磁場。在諧振頻率處會出現(xiàn)負磁導率。卩6）=1- ￡ （3.2.5）①2―①2—?rm其中，F(xiàn)為諧振器在一個單元的填充因子，①為依賴于（SRRS）結構的振頻0率，w為等離子頻率，r為損耗因子，當①時，卩6）出現(xiàn)負值。mm03.2.3填充左手介質時諧振頻率的變化上面我們從理論上和現(xiàn)實中都已經(jīng)說明了磁導率和介電常數(shù)同時為負的介質可以人工做成。由此，我們令即＜0,『＜0我們把它們代入（3.1.14）式得fJ[(p'-p)H-H*+(8'-8)E*-E]dVV 0_衛(wèi)_ 9°J(pH*-H+8E*-E)dvV0000(卩IH*|2+8IE*|2)dV0000f VJ.[(p+p)H-H*+(8+8)(卩IH*|2+8IE*|2)dV0000f VJ.[(p+p)H-H*+(8+8)E*-E]dV4J0 - 0 」0 〉03.2.6)(卩IH*|2+s|E*|2)dVV0000由（3.2.6）式我們可得；匕2＞0,所以我們得出的結論是；當對同一諧振腔，w真空時的諧振頻率w與加入左手介質時的諧振頻率w相比要小，因為，我們由0(3.2.7)(3.2.8)W-W0>0(3.2.7)(3.2.8)ww〉w

因此，當諧振腔充有左手介質時其諧振頻率會增大。當我們想要得到較高頻率的電磁波時，可以往諧振腔填入左手介質同樣可以實現(xiàn)得到高頻率電磁波的目的結論1）真空諧振腔的諧振頻率與幾何尺寸本文第一節(jié)根據(jù)電動力學的知識推導出真空諧振腔的諧振頻率公式1/、1/、ifmI—'ka丿2，并由此公式得出頻率隨a,b,c的值增大而減小，隨a,b,c的值減小而增大；而且，由此公式推出了諧振腔的截止頻率，當我們想得到較高頻率的電磁波時可以縮小諧振腔的尺寸，但，由于有截止頻率的限制諧振腔不能無限縮小，它要滿足截止頻率的條件。此處，諧振腔的功能和LC振蕩電路相似，在此種情況下，我們需要改變諧振腔的尺寸才能實現(xiàn)諧振頻率的變化。（2）諧振腔填充介質后的諧振頻率在諧振腔填入介質時，其諧振頻率的變化是；一，當我們填入右手介質時其諧振頻率的變化是減?。╫<o）；二，當我們填入左手介質時其諧振頻率的變0化是增大（o>o）。在此種情況下我們不需要改變諧振腔的大小同樣能實現(xiàn)諧0振頻率的變化。參考文獻郭碩鴻.電動力學[M].第2版.：高等教育岀版，2001.毛鈞杰，熒，朱建清，電磁場與微波工程基礎.：電子工業(yè)，2004.[3]處方，饒克謹?電磁場與電磁波[M].第4版?：高等教育，2001林璇英，之翔.電動力學題解[M].: