內(nèi)蒙古自治區(qū)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試卷

內(nèi)蒙古自治區(qū)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試卷說明：以下解答由筆者給出，如有紕漏，敬請(qǐng)指正.一、填空題（8×8分）1．若過點(diǎn)作圓的切線，則兩切點(diǎn)所在的直線方程為_________________;解：顯然點(diǎn)在圓外，兩切點(diǎn)所在的直線方程為.2．已知，則的值域?yàn)開________________;解：令，則，即,，解得，顯然，即的值域?yàn)?．七個(gè)正數(shù)組成等比數(shù)列，其前五項(xiàng)和為，后五項(xiàng)和為，則這七項(xiàng)之積為_________________;解：由題意知公比，，，所以，即，所以4．有一個(gè)正四棱錐,它的底面邊長與側(cè)棱長均為2,現(xiàn)用一張正方形的包裝紙將其完全包住(不能裁剪紙,但可以折疊),那么包裝紙的最小邊長應(yīng)為_______________;解:我們將正四棱錐展成平面圖形如圖所示:則包裝紙的最小邊長應(yīng)為5．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)所確定的所有直線中取出兩條,則這兩條直線是異面直線的概率是______________;解:我們知道,正方體8個(gè)頂點(diǎn)確定不同的四面體的個(gè)數(shù)是,每個(gè)四面體的4條棱組成3對(duì)異面直線,正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)所確定的直線條數(shù)是.所求事件的概率是6.設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù),則的最小值為_________________;解:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.7．已知是銳角，則的最小值為_________________;解:設(shè),則8．已知，則的取值范圍是_______________.解：不妨設(shè)，∵，∴∴消去得，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立考慮到圖形的對(duì)稱性，令，得即，∴二、解答題（本大題56分）9．(16分)已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓C的上半部分交于點(diǎn)P,過點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)Q.(Ⅰ)如果點(diǎn)Q(4,4),求此時(shí)的橢圓C的方程;(Ⅱ)證明:直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn).（Ⅰ）解：易得，又，，求得，所以橢圓（Ⅱ）證明：直線的方程：，求得直線的方程，化簡(jiǎn)得代入，得，得唯一交點(diǎn).10．（20分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.(Ⅰ)解:①∴∴②即,從而當(dāng)時(shí),由②式得,∵,∴由①式得∵,∴,從而對(duì)任意都成立.所以是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,即,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.(Ⅱ)證:1