高中數(shù)學(xué)高考30第五章 平面向量與復(fù)數(shù) 5 3 平面向量的數(shù)量積

§5.3平面向量的數(shù)量積最新考綱考情考向分析1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.主要考查利用數(shù)量積的定義解決數(shù)量積的運(yùn)算、投影、求模與夾角等問題，考查利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩個向量的夾角、模以及判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.一般以選擇題、填空題的形式考查，偶爾會在解答題中出現(xiàn)，屬于中檔題.1.兩個向量的夾角(1)定義已知兩個非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉.(2)范圍向量夾角〈a，b〉的范圍是，且＝〈b，a〉.(3)向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則a與b垂直，記作.2.向量在軸上的正射影已知向量a和軸l(如圖)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，過點(diǎn)O，A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1，A1，則向量eq\o(O1A1,\s\up6(→))叫做向量a在軸l上的正射影(簡稱)，該射影在軸l上的坐標(biāo)，稱作a在軸l上的或在軸l的方向上的.eq\o(OA,\s\up6(→))＝a在軸l上正射影的坐標(biāo)記作al，向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則由三角函數(shù)中的余弦定義有al＝.3.向量的數(shù)量積(1)向量的數(shù)量積(內(nèi)積)的定義|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)向量數(shù)量積的性質(zhì)①如果e是單位向量，則a·e＝e·a＝；②a⊥b?；③a·a＝，|a|＝eq\r(a·a)；④cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；⑤|a·b||a||b|.(3)向量數(shù)量積的運(yùn)算律①交換律：a·b＝.②對λ∈R，λ(a·b)＝＝.③分配律：(a＋b)·c＝.(4)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則①a·b＝；②a⊥b?；③|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))；④cos〈a，b〉＝.概念方法微思考1.a在b方向上的正投影與b在a方向上的正投影相同嗎？2.兩個向量的數(shù)量積大于0，則夾角一定為銳角嗎？題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)向量在另一個向量方向上的正投影為數(shù)量，而不是向量.()(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c).()(5)兩個向量的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(6)若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角.()題組二教材改編2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝________.3.已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的正投影為________.題組三易錯自糾4.已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.5.已知點(diǎn)A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的正投影為________.6.已知△ABC的三邊長均為1，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則a·b＋b·c＋a·c＝________.題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算1.已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，則x等于()A.8B.10C.11D.122.(2018·全國Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)等于()A.4B.3C.2D.03.(2019·鐵嶺模擬)設(shè)D，E為正三角形ABC中BC邊上的兩個三等分點(diǎn)，且BC＝2，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(4,9)B.eq\f(8,9)C.eq\f(26,9)D.eq\f(26,3)題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點(diǎn)1求向量的模例1(1)(2019·撫順模擬)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5，則|eq\o(BD,\s\up6(→))|等于()A.1B.2C.3D.4(2)設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，則|c|的最大值為()A.4B.2C.eq\r(2)D.1命題點(diǎn)2求向量的夾角例2(1)(2018·通遼質(zhì)檢)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)(2)已知e1，e2是互相垂直的單位向量.若eq\r(3)e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是________.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2019·錦州模擬)已知向量a與b的夾角為30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，則|b|＝________.(2)已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a⊥(a－b)，則向量a與向量b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)題型三平面向量與三角函數(shù)例3已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)，sin\f(3x,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)，－sin\f(x,2)))，且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4))).(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值.跟蹤訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m與n的夾角為eq\f(π,3)，求x的值.1.已知a，b為非零向量，則“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b與a垂直，則實(shí)數(shù)k的值為()A.1B.－1C.2D.－23.(2018·烏海模擬)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq\r(3)，eq\r(2))，則|2a－b|等于()A.2eq\r(2)B.eq\r(17)C.eq\r(15)D.2eq\r(5)4.(2018·遼陽模擬)非零向量a，b滿足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，則a－b與b夾角θ的大小為()A.135°B.120°C.60°D.45°5.(2019·丹東模擬)已知兩個單位向量a和b的夾角為60°，則向量a－b在向量a方向上的正投影為()A.－1B.1C.－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)6.(2018·通遼質(zhì)檢)已知點(diǎn)M是邊長為2的正方形ABCD的內(nèi)切圓內(nèi)(含邊界)一動點(diǎn)，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的取值范圍是()A.[－1,0]B.[－1,2]C.[－1,3] D.[－1,4]7.(2018·營口模擬)若平面向量a，b滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))·b＝7，|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，則向量a與b的夾角為________.8.已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a＋b|＝eq\r(2)，則a在b方向上的正投影為________.9.如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中點(diǎn)，則eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值為________.10.已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2且a·b＝1，若e為平面單位向量，則(a－b)·e的最大值為________.11.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面積.12.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，求eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值.13.已知O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2且∠BAC＝60°，則△OBC的面積為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(2,3)14.(2019·阜新模擬)在△ABC中，∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3，點(diǎn)G是△ABC的重心，則|eq\o(AG,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(5,3)15.已知eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))是非零不共線的向量，設(shè)eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,m＋1)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(m,m＋1)eq\o(OQ,\s\up6(→))，定義點(diǎn)集A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(F\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\o(FP,\s\up6(→))·\o(FM,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(FP,\s\up6(→)))))＝\f(\o(FQ,\s\up6(→))·\o(FM,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(FQ,\s\up6(→))))))))