7-2動量矩定理解析

7.2動量矩定理質系中各質點對點O（矩心）的動量矩的矢量和稱為質系對點O的動量矩，也稱角動量（AngularMomentum）動量矩是一個向量，它與矩心O的選擇有關。質系的動量矩質量均為m的兩小球C和D用長為2l的無質量剛性桿連接，并以其中點固定在鉛垂軸AB上，桿與AB軸之間的夾角為

，軸AB轉動角速度為，角加速度為，A、B軸承間的距離為h，求系統(tǒng)對O點的動量矩。例1ωACoDB解CD桿的角速度向量兩小球對O點的向徑小球的速度由質系的動量矩的定義可得以兩個小球為探討對象，建立固連坐標系Oxyz定軸轉動圓盤對圓心的動量矩rrOriw問題:如何求平面運動圓盤對質心的動量矩？質系對質心的動量矩等于質系相對質心平動系的動量矩，質心速度沒有貢獻?！|點的絕對速度質系對質心的動量矩—相對質心平動系速度平面運動圓盤對質心的動量矩vvooOOrrwwvvooOwwri可見：平面運動圓盤對質心的動量矩等于圓盤以同樣角速度繞質心作定軸轉動的動量矩。問題：如何求圓盤對水平面上一點的動量矩？mivirixyzAOrA

對兩點動量矩之間的關系例2一半徑為r的勻質圓盤在水平面上純滾動，如圖所示。已知圓盤對質心的轉動慣量為JO，角速度為，試求圓盤對水平面上O1點的動量矩。解：對隨意點的動量矩定理質系動量矩的變化僅取決于外力主矩，內力不能改變質系的動量矩。下面介紹兩種常用的特殊狀況：mivirixyzAOrA對固定點的動量矩定理質系對固定點A的動量矩的變更率等于作用在質系上的外力系對A點的主矩。剛體對定軸z的動量矩：質系對定軸z的動量矩定理：剛體定軸轉動運動微分方程給定MOz用此方程求解剛體轉動規(guī)律。給定剛體轉動規(guī)律不能用此方程求解約束反力?？捎脛傮w一般運動的動力學方程(6個)求解。質量均為m的A和B兩人同時從靜止起先爬繩。已知A的體質比B的體質好，因此A相對于繩的速率u1大于B相對于繩的速率u2。試問誰先到達頂端并求繩子的移動速率u。例3解取滑輪與A和B兩人為探討對象，系統(tǒng)對O點動量矩守恒：設繩子移動的速率為u解動量矩守恒當外力系對某固定點的主矩等于零時，質系對于該點的動量矩保持不變。當外力系對某固定軸的合力矩等于零時，質系對于該軸的動量矩保持不變。實例分析通過變更轉動慣量來限制角速度。衛(wèi)星綻開太陽能帆板有確定消旋作用。實例分析芭蕾舞演員花樣滑冰運動員起旋、加速、減速、停止的分析質系對質心平動系各軸的動量矩的變更率等于外力對相同坐標軸的合力矩。Cxyz為質心平動系。質系對質心C的動量矩的變更率等于作用在質系上的外力對同點的主矩。對質心的動量矩定理質量均為m的兩小球C和D用長為2l的無質量剛性桿連接，并以其中點固定在鉛垂軸AB上，桿與AB軸之間的夾角為

，軸AB轉動的角速度為，角加速度為零，A、B軸承間距離為h，求作用軸上的力矩及A、B軸承的約束反力。例4ωACoDB由質系的質心運動定理得外力對O點的主矩為質系對定點的動量矩定理：解利用例1的結果探討：設作用軸AB上主動力矩為M(t)，求約束反力。探討設作用軸AB上的主動力矩為M(t)，求約束反力。對質心的動量矩守恒當外力系對質心的主矩等于零時，質系對于質心的動量矩保持不變。當外力系對質心平動系某軸的合力矩等于零時，質系對于該軸的動量矩保持不變。實例分析花樣滑冰：起旋、加速實例分析衛(wèi)星姿態(tài)限制：動量矩交換探討問題：動量輪的安裝必需通過衛(wèi)星質心嗎？衛(wèi)星質心動量輪質心衛(wèi)星動量輪的安裝位置“清華一號衛(wèi)星”

動量輪安裝位置動量輪不在衛(wèi)星質心，其對動量矩為衛(wèi)星對質心動量矩為系統(tǒng)對質心動量矩為這里探討平面狀況，三維狀況可以類似地探討。衛(wèi)星動量輪的安裝位置(續(xù))安裝在質心時其中為動量輪相對衛(wèi)星的角速度記系統(tǒng)總轉動慣量為，有系統(tǒng)對質心的總動量矩結果完全一樣！姿態(tài)限制（通過調整動量輪的相對角速度，限制衛(wèi)星的角速度和姿態(tài)角）效果一樣！實例分析貓下落翻身：1/8秒，翻身180度跳水運動空翻空翻＋轉體＝“旋”實例分析體育健身器材問題：繞豎方向動量矩守恒嗎？例5在光滑水平面上放置半徑為R的圓環(huán)，在環(huán)上有一個質量與環(huán)相同的小蟲，以相對環(huán)的等速率v爬行。設起先時環(huán)與蟲都靜止。求環(huán)的角速度。R解：系統(tǒng)質心為C，則R剛體平面運動微分方程剛體相對質心的動量矩應用質心運動定理和對質心的動量矩定理剛體平面運動微分方程ABO例6長為l質量為m的均質細桿AB位于鉛垂平面內。開始時桿AB直立于墻面，受微小干擾后B端由靜止狀態(tài)開始沿水平面滑動。求桿在任意位置受到墻的約束反力（表示為的函數形式，不計摩擦）。剛體平面運動微分方程：(a)(b)(c)CPABO解取

為廣義坐標解桿脫離墻的條件：XA=0將式(a)和(b)代入(c)：(a)(b)(c)習題4-30抽屜寬d，長b，與側面導軌之摩擦系數均為f。因抽屜較大，在距兩側面為l處裝置了兩個拉手，如圖所示。為了在運用一個拉手時抽屜也能順當抽出，各尺寸應如何選擇？從動力學角度探討一下？起先抽屜與側壁不接觸，抽屜既平動又轉動抽屜很快與側壁接觸，停止轉動，但保持平動是抽屜被拉出的必要條件。充分條件是什么？充分必要條件是什么？有同學得到充分必要條件是進一步探討設A為側壁上固定點。由于主矢量不為零，力系對C點主矩為零，對A點主矩不為零。由對固定點的動量矩定理可知，抽屜角加速度不為零。由對質心的動量矩定理可知，抽屜角加速度為零上述兩條沖突！為什么？例7半徑為r、質量為m的均質圓柱體，在半徑為R的剛性圓槽內作純滾動。在初始位置

，由靜止向下滾動。求：1.圓柱體的運動微分方程；2.圓槽對圓柱體的約束力；3.微振動周期。RC

O

1.圓柱體的運動微分方程圓柱體作平面運動，由剛體平面運動微分方程得：RC

OmgFNC*圓柱體在圓槽上作大幅搖擺的非線性運動微分方程解2.圓槽對圓柱體的約束力3.微振動的周期均質桿AB長為l，質量為m，用兩根細繩懸掛。當把B繩突然剪斷時，求桿AB角加速度和A繩中張力。例8解AB桿的動力學方程：需補充方程后求解ABoyxC聯立求解ABoyxC探討當突然把繩AB剪斷時，如何補充運動學方程？OABl例9質量為m、半徑為R的均質圓盤沿傾角為

的斜面上只滾不滑，如圖所示。試求圓盤的質心加速度和斜面對圓盤的約束力。不計滾動摩阻。解取x為廣義坐標探討圓盤在自身平面內沿水平地面作純滾動，假如初始時刻輪心速度(角速度)為常數，則接觸點速度為零，加速度的水平重量也為零，因此接觸點與地面既無相對滑動又無相對滑動趨勢，滑動摩擦力為零。在水平方向沒有主動力作用狀況下，保持這種純滾動無需摩擦力，完全光滑的接觸也可以。圓盤在自身平面內沿斜面作純滾動，假如初始時刻輪心速度(角速度)為常數，則接觸點速度為零，加速度的水平重量也為零，因此接觸點與地面既無相對滑動又無相對滑動趨勢，滑動摩擦力為零。假如此后照舊沒有摩擦力，這種純滾動則無法保持，因為重力會使質心加速，但沒有力矩使轉動加快。假如有摩擦力，它既可以加速轉動又可以減緩質心加速，從而保持純滾動。探討圓盤在斜面上不打滑的條件若圓盤將又滾又滑，則補充方程為探討對瞬心A點的動量矩定理由對A點的動量矩定理：CPABO在例6中，對瞬心D的動量矩為：D由對D點的動量矩定理：探討對瞬心A點的動量矩定理CAFNxyxOmg如果瞬心A到質心C的距離保持不變：雜技演員使雜耍圓盤高速轉動，并在地面上向前拋出，不久雜耍圓盤可自動返回到演員跟前。求完成這種運動所需的條件?(設起先時盤心速度為，盤角速度為，求與應當滿足的關系)例11解：設任意時刻質心速度為，角速度為，圓盤半徑為R，質量為m，與地面摩擦系數為

圓盤與地面接觸點A的速度為當時，有由質心運動定理由對質心的動量矩定理可見，如果初始時刻，則滑動摩擦力的作用將使減小，直至時刻，即由此可求出當時，滑動摩擦力也與同時變?yōu)榱?，并在此刻以后一直為零?？梢詽L回的條件為即因此當時，由于圓盤在水平方向不受力，而且相對質心的動量矩也為零，因此圓盤將作等速純滾動，即長為的勻整桿AB，以鉸固連于A點，假如初始時桿自水平位置無初速度的起先運動，當桿通過鉛直位置時去掉鉸使桿成為自由體。試分析桿的運動，并求去掉鉸以后，桿質心下降h時，桿轉了多少圈?例12解：1)解除約束之前，桿作定軸轉動，對A點動量矩定理：設時再積分一次可得質心C軌跡：拋物線2)解除約束之后，桿作平面運動當