全國(guó)中考數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合中考真題匯總及答案

一.旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）在厶ABC中，AB=AC,ZBAC=?（0°<a<60°）,將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BDo（圖1）（圖2〉（1）如圖1，直接寫出ZABD的人?。ㄓ煤琣的式子表示）；（2）如圖2,ZBCE=150°,ZABE=60°,判斷AABE的形狀并加以證明;（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE,若ZDEC=45°,求Q的值?！敬鸢浮浚?）30。一丄a（2）見解析（3）q=30。2【解析】解：（1）30。一丄a°2（2）AABE為等邊三角形。證明如2???線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BD,???BC=BD,ZDBC=60°o又?/ZABE=60°,???ZABD=60°-ZDBE=ZEBC=30°一丄^且厶BCD為等邊三角形。2在ZkABD與"CD中，TAB二AC,AD二AD,BD二CD,???△ABD雯AACD(SSS)o/.ZBAD=ZCAD=ZZBAC=-<Zo22?/ZBCE=150°,ZBEC=180°-(30°--|a)-150o=-|ao/.ZBEC=AAD。在ZkABD和△EBC中，???ZBEC=ZBAD,ZEBC=ZABD,BC=BD,???△ABD雯△EBC(AAS)°/.AB二BE。???△ABE為等邊三角形。

(3)?/ZBCD=60°,ZBCE=150%/.ZDCE=150°-60o=90°o又???ZDEC=45°,△DCE為等腰直角三角形。.■-DC=CE=BCo而ZEBC=30-而ZEBC=30-r=15%.=30%Iono(1)TAB二AC,ZBAC=a,???ZABC=——2???將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BD,???ZDBC=60°o???ZABD=ZABC-ZDBC=18°°~^-60°=30°--o22（2）由SSS證明ZkABD雯AACD,由AAS證明△ABD雯△EBC,即可根據(jù)有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形的判定得出結(jié)論。（3）通過證明ADCE為等腰直角三角形得出ZEBC=（180°~15（）O）=15o,由（1）ZEBC=30°一丄a,從2而30°--a=15°,解之即可。2平面上，RtAABC與直徑為CE的半圓0如圖1擺放，ZB=90°,AC=2CE=m,BC=n,半圓0交BC邊于點(diǎn)D,將半圓0繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D隨半圓0旋轉(zhuǎn)且ZECD始終等于ZACB,旋轉(zhuǎn)角記為a（0°<a<180°）省用圖（1）當(dāng)a=0。時(shí)，連接DE,則ZCDE=°,CD=:（2）試判斷：旋轉(zhuǎn)過程中=的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明:（3）若m=10tn=8,當(dāng)a=ZACB時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)；（4）若m=6,n=4jj,當(dāng)半圓O旋轉(zhuǎn)至與△ABC的邊相切時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng).【答案】（1）90。，巴；（2）無變化；（3）兇E：（4）BD=2^或乂E.【解析】

試題分析：(1)①根據(jù)直徑的性質(zhì)，由DEWAB得￡2=￡￡即可解決問題.②求出CBCABD、AF即可解決問題.只要證明AACE-△BCD即可.求出&B、AE,利用\ACE-△BCD即可解決問題.分類討論：①如圖5中，當(dāng)a=90°時(shí)，半圓與AC相切，②如圖6中，當(dāng)a=90°+ZACB時(shí)，半圓與BC相切，分別求出BD即可.TOC\o"1-5"\h\z試題解析：(1)解：①如圖1中，當(dāng)a=0時(shí)，連接DE,則CECD11一，ZCDE=90°.ZCDE=Z8=90°,:.DEWAB,:.——=——=-.'：BC=n,:.CD=-n.故答ACCB22案為90。，|n.33e『I②如圖2中，當(dāng)a=180°時(shí)，BD二BC+CD二一mAE=AME=-m…\—-二一?故答案為22AEm(2)如圖(2)如圖3中，???ZACBMDCE…?.ZACE二ZBCD.CD_BC=hCEACm???△ACE-△BCD,BD_BCn???△ACE-△BCD,BD_BCnAEACm(3)如圖4中，當(dāng)a=ZACB時(shí).在RtAABC中，VAC=10fBC=8,???AB=JAC，_BC?%?在RtAABE中，?/AB=69BE二BC-CE=3,???AQJab2+BE1二+3’=3序,由⑵可知△ACE-△BCD,BD_BCAE_ACBD83?5BD83?5=10*???BD=^旦故答案為百.55(4)24JI，???CE=3,CD=2近,AB=y]cA1-BC2①如圖5中，當(dāng)a=90°時(shí)，半圓與AC相切.在RtADBC中，BD=J阮2+CD?=丁(4后+(2血叱應(yīng).②如圖6中，當(dāng)a=90°+ZACB時(shí)，半圓與BC相切，作EA4丄AB于M.???ZM二ZCBM二ZBCQ90。，???四邊形BCEM是矩形，二EM=EC=3,ME=4圧

/.AM=59AE=yjAM2/.AM=59AE=yjAM2+ME2=5/57^，由⑵可喘半?呼.故答案為2頂或仝護(hù).點(diǎn)睛：本題考查了圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)分類討論的思想，本題綜合性比較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題.3.已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn),過F點(diǎn)作EF丄3D交BC于F,連接DF,G為DF中點(diǎn)，連接EG,CG.(1)求證：EG=CG：⑵將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,如圖②所示，取DF中點(diǎn)G,連接EG,CG.問⑴中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；⑶將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?通過觀察你還能得出什么結(jié)論(均不要求證明).圖①圖②圖①圖②圖⑤【答案】解：(1)CG=EG(2)(1)中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即EG=CG.證明：連接AG,過G點(diǎn)作MN丄AD于與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)在厶DAG與厶DCG中，???AD二CD,ZADG=ZCDG,DG二DG,???△DAG雯△DCG????AG=CG?在厶DMG與厶FNG中，???ZDGM=ZFGN,FG二DG,ZMDG=ZNFG,???△DMG竺△FNG.???MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在RtAAMG與RtAENG中，???AM二EN,MG二NG,.??△AMG雯△ENG????AG=EG???EG=CG.(3)(1)中的結(jié)論仍然成立.^3【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG.（2）結(jié)論仍然成立，連接AG,過G點(diǎn)作MN丄AD于M,與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)；再證明ZkDAG雯△DCG,得出AG=CG：再證岀△DMG雯△FNG,得到MG=NG；再證明△AMG竺△ENG,得出AG=EG；最后證出CG=EG.（3）結(jié)論依然成立.還知道EG丄CG;試題解析：解：（1）證明：在RtAFCD中，???G為DF的中點(diǎn)，

???CG=EG；(2)(1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG：連接AG,過G點(diǎn)作MN丄AD于與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)，如圖所示:—D—D在厶DAG與厶DCG中，TAD二CD,ZADG=ZCDG,DC=DC,???△DAG雯△DCG,AG=CG,在厶DMG與厶FNG中，???ZDGM=ZFGN,DG=FG,ZMDG=ZNFG,???△DMG雯△FNG,???MG二NG,在矩形AENM中,AM二EN?,在RtAAMG與RtAENG中，?/AM=EN,MG二NG,???△AMG妥aENG,???AG二EG,???EG=CG,(3)(1)中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG且EG丄CG°過F作CD的平行線并延長(zhǎng)CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N,如圖所示：由于G為FD中點(diǎn)，易證△CDG竺△MFG,得到CD=FM,又因?yàn)锽E二EF,易證ZEFM=ZEBC,則厶EFM雯△EBC,ZFEM=ZBEC,EM=EC???ZFEC+ZBEC=90°,ZFEC+ZFEM=90°,即ZMEC=90°,???△MEC是等腰直角三角形，???G為CM中點(diǎn)，/.EG=CG,EG丄CG?！军c(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是作出輔助線，且利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大。4.如圖1,oABCD和口AEFG是兩個(gè)能完全重合的平行四邊形，現(xiàn)從AB與AE重合時(shí)開始，將oABCD固定不動(dòng)，oAEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<360°),AB=a,BC=2a:并發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)口AEFG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E落在AD上時(shí)，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線恰好通過探究一：在圖2的情形下，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；探究二：如圖3,當(dāng)oAEFG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E落在BC上時(shí)，EF與AD相交于點(diǎn)M,連接CM,DF,請(qǐng)你判斷四邊形CDFM的形狀，并給予證明；探究三：如圖1，連接CF,BF,在旋轉(zhuǎn)過程中ABCF的面積是否存在最人的情形，如果存在，求出最大面積，如果不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)a=120°：(2)四邊形CDFM是菱形，證明見解析：(3)存在△BCF的面枳最人的情形，S,BCF=^a2.2【解析】試題分析：(1)由平行四邊形的性質(zhì)知ZD=ZB,AB=CD=a,可得ZD=ZDEC,由等角對(duì)等邊知CD=CE,由AE=AB=a,AD=BC=2a,可得DE=CE,即可證得ACDE是等邊三角形，ZD=60%由兩直線平行，同位角相等可得ZDAB=120°,即可求得a；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及ZB=60°,可得AABE是等邊三角形，由平行線的判定以及兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABEM是平行四邊形，再由由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；當(dāng)點(diǎn)F到BC的距離最人時(shí)，ABCF的面積最人，由于點(diǎn)F始終在以A為圓心AF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)FG與OA相切時(shí)，點(diǎn)F到BC的距離最大，過點(diǎn)A作AH丄BC于點(diǎn)H,連接AF,由題意知ZAFG=90°.由ZABH=ZG=60。，AB=a,AG=2a,可得AH、AF的值.可求得點(diǎn)F到BC的最大距離.進(jìn)而求得Sabcf的值.試題解析：（1）I四邊形ABCD是平行?四邊形，?"-ZD=ZB,AB=CD=a??/ZAEF=ZB,ZAEF=ZDEC,???ZD=ZDEC,???CD=CE,?/AE=AB=a,AD=BC=2a,???DE=CE.,???CD=CE=DE,???△CDE是等邊三角形，???ZD=60°,???CDIIAB,???ZD+ZDAB=180°,???ZDAB=120°,???a=120°.；（2）四邊形CDFM是菱形.證明：由旋轉(zhuǎn)可得ab=ae,???ZB=60°,???△ABE是等邊三角形，???ZBAE=60%???ZBAG=ZBAE+ZGAE=60°+120°=180%.?.點(diǎn)G,A,B在同一條直線上，???MEIIAB,BEIIAM,???四邊形ABEM是平行四邊形，.??AM二AB二ME,???CD=DM=MF,???CDIIABIIMF,???四邊形CDFM是平行四邊形，?/ZD=60°,CD二DM,△CDM是等邊三角形，???CD=DM,???四邊形CDFM是菱形；（3）存在△BCF的面積最人的情形.ICB的長(zhǎng)度不變，???當(dāng)點(diǎn)F到BC的距離最人時(shí)，△BCF的面積最大.???點(diǎn)F始終在以A為圓心AF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，.?.當(dāng)FG與OA相切時(shí)，點(diǎn)F到BC的距離最大，如圖，過點(diǎn)A作AH丄BC于點(diǎn)H,連接AF,

???ZABH二???ZABH二ZG=60°,AB=a,AG=2a,AH=ABxsin60°=AF=AGxsin60°=73a.???點(diǎn)F到BC的最人距離為JJa+羋a=^a.「1r3館2???bcf=—x2axa=az?222點(diǎn)睛：此題考查了旋轉(zhuǎn)的洗澡那個(gè)會(huì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的求法，關(guān)鍵是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)前后，圖形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)解題.5.如圖1,是邊長(zhǎng)分別為6和4的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和CDiEi疊放在一起.（1）操作：固定AABC,將ACDiEi繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ACDE,連接AD、BE,如圖2.探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的犬小關(guān)系？并請(qǐng)說明理由：（2）操作：固定AABC,若將ACD1E1繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到△CDE,連接AD、BE,CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F,在線段CF上沿著CF方向平移，（點(diǎn)F與點(diǎn)P重合即停止平移）平移后的△CDE設(shè)為△PQR,如圖3.探究：在圖3中，除三角形ABC和CDE外，還有哪個(gè)三角形是等腰三角形？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）；（3）探究：如圖3,在（2）的條件下，設(shè)CQ=x,用x代數(shù)式表示出GH的長(zhǎng).【答案】（1）BE=CD.理由見解析；（2）ACHQ是等腰三角形；（3）2\遷？【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60%然后求出ZACD=ZBCE,再利用"邊角邊"證明△ACD和厶BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；（2）求岀ZACF=30\再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出ZCHQ=30°,從而得到ZACF二ZCHQ,判斷岀△CHQ是等腰三角形；(3)求出ZCGP=90%然后利用ZACF的余弦表示出CG,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)表示出CH,然后根據(jù)GH=CG-CH整理即可得解.試題解析：(1)BE=CD.理由如下：?「△ABC與ACDE是等邊三角形，/.AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=60°.???ZACB-ZACE=ZECD-ZACE,即ZBCE=ZACD.在厶ACD和厶BCE中，AB=BC乙ACD"BCECD=CE5???△ACD仝△BCE(SAS),???BE=AD；(2)???旋轉(zhuǎn)角為30。,???ZBCF=30°,???ZACF=60°-30°=30°,???ZCHQ=ZRQP-ZACF=60°-30°=30\???ZACF=ZCHQ,???△CHQ是等腰三角形;(3)ZCGP=180°-ZACF-ZRPQ=180°-30°-60°=90°,(x+4),:.CG=CP*cos30°=2???△CHQ是等腰三角形，(x+4),:.CH=2*CQcos30°=2x*2=Wx,/.GH=CG-CH=2(x+4)-\,，3x=2\3-2x.考點(diǎn)：幾何變換綜合題.6.如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,E是邊AC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A,C不重合)，以CE為一直角邊作RtAECD,ZECD=90°,連接BE,AD.若CA=CB,CE=CD猜想線段BE,AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論：現(xiàn)將圖1中的RtAECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角a,得到圖2,請(qǐng)判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；若CA=8,CB=6,CE=3,CD=4,RtAECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)銳角a,如圖3,連接BD,AE,計(jì)算詛+血的值.

【答案】（1）①BE二AD,BE丄AD：②見解析；（2）125.【解析】試題分析：根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)得出BE=AD,BE丄AD；設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F,BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,根據(jù)ZACB=ZECD=90。得出ZACD=ZBCE,然后結(jié)合AC=BC,CD=CE得出△ACD雯△BCE,則AD二BE,ZCAD=ZCBF,根據(jù)ZBFC=ZAFG,ZBFC+ZCBE=90°得出ZAFG+ZCAD=90\從而說明垂直：首先根據(jù)題意得出△ACD-ABCE,然后說明ZAGE=ZBGD=90%最后根據(jù)直角三角形的勾股定理將所求的線段轉(zhuǎn)化成已知的線段得出答案.試題解析：（1）①解：BE=AD,BE丄AD②BE二AD,BE丄AD仍然成立證明：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F,BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,如圖1.???ZACB=ZECD=90%/.ZACD=ZBCE?/AC=BCCD=CE二△ACD仝△BCE???AD=BEZCAD=ZCBFTZBFC=ZAFGZBFC+ZCBE=90°/.ZAFG+ZCAD=90°/.ZAGF=90°???BE丄AD（2）證明：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F,BE的延長(zhǎng)線與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,如圖2.???ZACB=ZECD=90%/.ZACD=ZBCETAC=8,BC=6,CE=3,CD=4/.△ACD-△BCE???ZCAD=ZCBEJZBFC=ZAFGZBFC+ZCBE=90°/.ZAFG+ZCAD=90°/.ZAGF=90°???BE丄AD/.ZAGE=ZBGD=90°.AE2=AG2+EG2BD2=BG2+DG2?BD?+AE2=AG2+EG2+BG2+DG2??y????..AG2+BG2=AB2EG2+DG2=ED2?99BD2+AE2=AB2+ED2=CA2+CB2+CD2+CE2=125?考點(diǎn)：三角形全等與相似、勾股定理.7.(1)發(fā)現(xiàn)如圖，點(diǎn)4為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a,AB=b.填空：當(dāng)點(diǎn)4位于時(shí)，線段4C的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為.（用含b的式子表示）（2）應(yīng)用點(diǎn)4為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=3,AB=1.如圖所示，分別以AB,AC為邊,作等邊三角形43D和等邊三角形ACE,連接CD,BE.找出圖中與BE相等的線段，并說明理由：直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值.（3）拓展如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,0）,點(diǎn)P為線段A3外一動(dòng)點(diǎn)，且Q4=2，PM=PB、ZBPM=90°,求線段AM長(zhǎng)的最人值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】⑴CB的延長(zhǎng)線上，a+b；（2）①DC=BE,理由見解析；②BE的最人值是4;（3）AM的最人值是3+2JJ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-忑,V2）【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最人值，即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,推出△CAD聖△EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線段BE長(zhǎng)的最人值二線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；（3）連接BM,將厶APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△PBN,連接AN,得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最犬值，即可得到最人值為2JJ+3；如圖2,過P作PE丄x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解：(1)V點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a.AB二b,???當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最人值，且最大值為BC+AB=a+b,故答案為CB的延長(zhǎng)線上，a+b；①CD二BE,理由：???△ABD與AACE是等邊三角形，???AD二AB,AC=AE,ZBAD二ZCAE=60°,???ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即ZCAD=ZEAB,在厶CAD與厶EAB中，AD=AB<ZCAD=ZEAB,AC=AE:.△CAD雯△EAB,/.CD=BE；②???線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，由(1)知，當(dāng)線段CD的長(zhǎng)取得最犬值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，???最人值為BD+BC=AB+BC=4；???將厶APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△PBN