2022年初升高暑期數(shù)學(xué)精品講義專題08 集合中含有參數(shù)問題重難點突破【含答案】

專題08集合中含有參數(shù)問題一、考情分析二、經(jīng)驗分享【重難點突破】1．若有限集A中有n個元素,則集合A的子集個數(shù)為2n,真子集的個數(shù)為2n－1.2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．奇數(shù)集：.4.數(shù)集運算的封閉性,高考多次考查,基礎(chǔ)知識如下:若從某個非空數(shù)集中任選兩個元素(同一元素可重復(fù)選出),選出的這兩個元素通過某種(或幾種)運算后的得數(shù)仍是該數(shù)集中的元素,那么,就說該集合對于這種(或幾種)運算是封閉的.自然數(shù)集N對加法運算是封閉的;整數(shù)集Z對加、減、乘法運算是封閉的.有理數(shù)集、復(fù)數(shù)集對四則運算是封閉的.對加、減、乘運算封閉的數(shù)集叫數(shù)環(huán),有限數(shù)集{0}就是一個數(shù)環(huán),叫零環(huán).設(shè)F是由一些數(shù)所構(gòu)成的集合,其中包含0和1,如果對F中的任意兩個數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為0),仍是F中的數(shù),即運算封閉,則稱F為數(shù)域.5.德?摩根定律：①并集的補集等于補集的交集，即；②交集的補集等于補集的并集，即．

三、題型分析(一)元素與集合的關(guān)系中含有參數(shù)問題方法導(dǎo)入已知某元素屬于或不屬于集合，求參數(shù)的取值范圍是一種常見題型，一般利用分類討論思想求解步驟第1步：由元素屬于或不屬于集合入手分類討論；第2步：將求得參數(shù)值回代到集合，利用集合元素的互異性檢驗?zāi)芊駱?gòu)成集合；第3步，經(jīng)檢驗后找出符合條件的參數(shù)的值及得所求；反思要注意兩點，一是分類討論需做到不重不漏，二是一定要將所求得的參數(shù)帶入集合進(jìn)行檢驗例1．（1）、（2021·江蘇揚州·高一期中）已知集合，若，則實數(shù)的值構(gòu)成的集合為_________．【答案】##【解析】【分析】依題意分兩種情況，或討論，分別計算可得；【詳解】因為集合，且所以或（1）當(dāng)時，此時，符合題意.（2）當(dāng)時，解得或當(dāng)時，與集合元素的互相性矛盾，舍去；當(dāng)時，符合題意.綜上可知實數(shù)的值構(gòu)成的集合為故答案為：【變式訓(xùn)練1-1】．（2020·臨猗縣臨晉中學(xué)高一月考）集合，，若且，則的取值為（）A． B．4 C．或 D．或1【答案】B【分析】根據(jù)分類討論解得，利用檢驗結(jié)果即可求解.【詳解】因為，若，此時，，與不符合，若，解得或，當(dāng)時，，滿足，當(dāng)時，，不滿足，綜上知，故選：B【點睛】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，集合與集合的包含關(guān)系，屬于中檔題.例2．（2020·江蘇省通州高級中學(xué)高一月考）已知M是滿足下列條件的集合：①，；②若，則；③若且，則.（1）判斷是否正確，說明理由；（2）證明：；（3）證明：若，則且.【答案】（1）正確，理由見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)定義確定包含元素；（2）根據(jù)定義依次確定包含元素；（3）根據(jù)定義確定包含元素，即得結(jié)論；根據(jù)定義依次確定包含元素,即得結(jié)論．【詳解】（1）正確，證明如下：由①知，由②可得；（2）證明：由（1）知，又∴，由③得；（3）證明：由①知由題知，∴由②可得又∵，∴，即；證明：由，，當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；當(dāng)且時，由②可得，再由③可得，∴即，∴即，∴即當(dāng)，又因為當(dāng)，，∴，∴∴當(dāng)，可得∴．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查新定義判斷元素與集合關(guān)系，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-1】、（2020·甘肅·永昌縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知不等式的解集為M.(1)若2∈M，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)M為空集時，求不等式＜2的解集.【答案】(1)a＞2；(2)(－∞，1)∪【解析】【分析】（1）由已知2∈M可得，2滿足已知不等式，代入即可求解；（2）由M為空集，可求得a，然后代入解分式不等式即可求解.(1)由已知2∈M可得，4－2(a＋1)＋a＜0，解得a＞2，所以實數(shù)a的取值范圍為；(2)當(dāng)M為空集，則，即；所以，即∴＜2，即＜2，∴＞0，解得x＞或x＜1.∴此不等式的解集為(－∞，1)∪.

(二)集合中元素個數(shù)的含參數(shù)問題方法導(dǎo)入此類題型一般為已知一元一次或二次方程解集中元素個數(shù)求參，常利用根的判別式求解.步驟第1步，對方程的二次項系數(shù)是否為零進(jìn)行討論；第2步，當(dāng)方程的二次項系數(shù)不為零時，利用根的判別式進(jìn)行求解；反思要注意兩點，一是解集是否可能為空集，二是二次項系數(shù)是否為0.例3、（2022·上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）若集合有且只有一個元素，則的取值集合為__________．【答案】##【解析】【分析】討論集合A中的條件屬于一次方程還是二次方程即可求解.【詳解】①若，則，解得，滿足集合A中只有一個元素，所以符合題意；②若，則為二次方程，集合A有且只有一個元素等價于，解得.故答案為：.【變式訓(xùn)練3-1】．（2020·南開區(qū)·天津四十三中）集合，若集合中只有一個元素，則由實數(shù)的值組成的集合為________.【答案】【分析】分和兩種情況，分別討論集合，進(jìn)而可求出答案.【詳解】當(dāng)時，方程可化為，解得，滿足題意；當(dāng)時，要使集合中只有一個元素，則方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，解得，此時集合，滿足題意.綜上所述，或，即實數(shù)的值組成的集合為.故答案為：.【點睛】本題考查單元素的集合，注意討論方程中是否為0，屬于基礎(chǔ)題.例4、（2022·黑龍江·大慶外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）已知集合，在下列條件下分別求實數(shù)m的取值范圍：(1)；(2)恰有一個元素.【答案】(1)(2)【解析】【分析】若，則關(guān)于x的方程沒有實數(shù)解，則，且，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．若A恰有一個元素，所以關(guān)于x的方程恰有一個實數(shù)解，分類討論能求出實數(shù)m的取值范圍．(1)若，則關(guān)于x的方程沒有實數(shù)解，則，且，所以，實數(shù)m的取值范圍是；(2)若A恰有一個元素，所以關(guān)于x的方程恰有一個實數(shù)解，討論：當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，所以．綜上所述，m的取值范圍為．【變式訓(xùn)練4-1】．（2020·伊美區(qū)第二中學(xué)高一月考）設(shè)集合，．（1）若，求的非空真子集的個數(shù)；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先確定集合中元素的個數(shù)，然后根據(jù)一個含有個元素的集合的非空真子集為個確定集合非空真子集的個數(shù).（2）由可知，先分析當(dāng)?shù)那闆r；當(dāng)時，結(jié)合數(shù)軸確定集合端點的關(guān)系，確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）因為，所以集合的非空真子集的個數(shù)為個.（2）若，則，①當(dāng)時，成立，此時，解得；②當(dāng)時，若，則只需，解得：.綜上所述，若，則實數(shù).

(三)、集合基本關(guān)系中的含參問題方法導(dǎo)入由兩個集合間的包含關(guān)系求參是一種常見題型，常利用子集的知識將問題轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)求解.步驟第1步確定兩個集合中誰是誰的子集;第2步，若集合是有限極或離散型無限極，常依據(jù)集合間的包含關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程(組)求解，若集合是連續(xù)型無限極，常借助數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解;第3步，綜合各分類討論的結(jié)果，得到最終參數(shù)的取值;反思要注意兩點，一是注意對子集是否為空集進(jìn)行討論，二是注意集合中元素的互異性及端點值能否取到.例5．（1）、（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合，，，則（

）A．9 B．0或1 C．0或9 D．0或1或9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可得或，根據(jù)集合元素的互異性求得答案.【詳解】由可得：或，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，或，但時，不合題意，故m的值為0或9,故選：C（2）、（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知全集，集合，，則使成立的實數(shù)的取值范圍可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】討論和時，計算，根據(jù)列不等式，解不等式求得的取值范圍，再結(jié)合選項即可得正確選項.【詳解】當(dāng)時，，即，此時，符合題意，當(dāng)時，，即，由可得或，因為，所以或，可得或，因為，所以，所以實數(shù)的取值范圍為或，所以選項ABC正確，選項D不正確；故選：ABC.【變式訓(xùn)練5-1】．（2020·上海外國語大學(xué)附屬宏達(dá)高級中學(xué)高一月考）若集合，，則能使成立的所有a組成的集合為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】考慮和兩種情況，得到，解得答案.【詳解】當(dāng)時，即，時成立；當(dāng)時，滿足，解得；綜上所述：.故選：C.【點睛】本題考查了根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，忽略空集的情況是容易發(fā)生的錯誤【變式訓(xùn)練5-2】．（2022·安徽·涇縣中學(xué)高一開學(xué)考試）記關(guān)于x的不等式的解集為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】首先將不等式變形，再對與分三種情況討論，分別求出集合，根據(jù)集合的包含關(guān)系得到不等式組，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：原不等式可變形為，當(dāng)，即時，，滿足題意；當(dāng)，即時，，所以，解得，所以；當(dāng)，即時，，所以，解得.綜上可得，即；故答案為：(四)、集合基本運算中的含參問題方法導(dǎo)入這類問題一般通過觀察得到不同集合間元素之間的關(guān)系，再列方程組或不等式組求解.步驟第1步，通過集合運算得到各集合間的關(guān)系;第2步利用各集合間的關(guān)系列方程組或不等式組求解;第3步綜合各分類討論的結(jié)果得到最終參數(shù)的取值.反思要注意對求解結(jié)果進(jìn)行檢驗，防止違背集合中元素有關(guān)特性，尤其是互異性.例6．（1）、（2021·河南·淅川縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合.若，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】由，可得方程有兩個負(fù)根，或一正根一負(fù)根，或一負(fù)根和一個根為零，從而可得，或，或，進(jìn)而可求出的取值范圍【詳解】因為，且，所以方程有兩個負(fù)根或一正根一負(fù)根，一負(fù)一零所以或，或，解得，或，或，綜上，，即的取值范圍為，故答案為：（2）、（2021·河南安陽市·高三三模（理））已知集合，，若，則實數(shù)的取值集合為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合A，由得到，再分類討論a的值即可.【詳解】，因為，所以，當(dāng)時，集合，滿足；當(dāng)時，集合，由，得或，解得或，綜上，實數(shù)的取值集合為.故選：D.【點睛】易錯點睛：本題考查的知識點是集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，其中易忽略時，集合滿足，而錯解.【變式訓(xùn)練6-1】、（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運算求得答案.【詳解】由題意得，其中奇數(shù)有1，3，又，則,故選:A．【變式訓(xùn)練6-2】、（2022·江蘇·高一單元測試）設(shè)，，若，則實數(shù)的值可以為（

）A．2 B． C． D．0【答案】BCD【解析】【分析】先求出集合，再由可知，由此討論集合B中元素的可能性，即可判斷出答案.【詳解】集合，，，又，所以，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，則，所以或，解得或，綜上所述，或或,故選：例7．（2021·廣東·化州市第三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合.(1)當(dāng)時，求集合;(2)若，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由題知，再根據(jù)集合交集，補集運算求解即可；（2）由題知，再分和兩種情況討論求解即可.(1)解：集合，當(dāng)時，，所以或所以.(2)因為，所以，①當(dāng)時，，解得，此時②當(dāng)時，應(yīng)滿足，解得，此時綜上，的取值范圍是【變式訓(xùn)練7-1】．（2022·安徽·高一期中）集合，(1)當(dāng)時，求(2)問題：