八年級(jí)下冊(cè)初二數(shù)學(xué)-《因式分解》教案

因式分解【知識(shí)梳理】因式分解①定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積①形式，這種變形叫因式分解。一^11,1/八即卩：多項(xiàng)式幾個(gè)整式①積例：3ax+3bx=3x(a+b)因式分解是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行①一種恒等變形，是整式乘法①逆過程。整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式；因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘；因式分解①最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是"積形式。【例題】判斷下面哪項(xiàng)是因式分解：因式分解①方法提公因式法：定義：如果一個(gè)多項(xiàng)式①各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，從而將多項(xiàng)式化成因式乘積①形式，這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。公因式：多項(xiàng)式①各項(xiàng)都含有①相同①因式。公因式可以是一個(gè)數(shù)字或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。'系數(shù)---取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)<字母---取各項(xiàng)都含有的字母指數(shù)---取相同字母的最低次幕(指數(shù))【例題】12a3b3c-8a3b2c3+6a4b2c2①公因式是.<【解析】從多項(xiàng)式①系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、一8、6,它們①最大公約數(shù)為2；字母部分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c,故多項(xiàng)式①公因式是2a3b2c.小結(jié)提公因式①步驟：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個(gè)因式，提公因式時(shí)，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下①另一個(gè)因式。

注意：提取公因式后，對(duì)另一個(gè)因式要注意整理并化簡(jiǎn)，務(wù)必使因式最簡(jiǎn)。多項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號(hào)①，要先提取符號(hào)基礎(chǔ)練習(xí)】1.ax、ay>~ax①公因式是；6mn2、一2m2n3、4mn①公因式是2?下列各式變形中，是因式分解①是()》A》A.a2——2ab+b2——1=(a——b)2—1C.(x+2)(x—2)=x2—4B.2x2+2x=2x2(1+—)xD.x4—1=(x2＋1)(x＋1)(x—1)將多項(xiàng)式一6x3y2+3x2y2—12x2y3分解因式時(shí)，應(yīng)提?、俟蚴绞?)A.—3xyB.—3x2yC.—3x2y2D.—3x3y3多項(xiàng)式an—a3n+an+2分解因式①結(jié)果是()A.an(1—a3＋a2)B.an(—a2n＋a2)C.an(1—a2n＋a2)D.an(—a3＋an)把下列各式因式分解：5x2y+10xy2—15xy3x(m—n)+2(m—n)3(x—3)2—6(3—x)y(x—y)2—(y—x)3—2x2n—4xnx(a—b)2y(x—y)2—(y—x)3應(yīng)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算(2)(2)x+x—X(1)2012—201(3)說明3200—4x3199+10x3198能被7整除.

提高練習(xí)】1．把下列各式因式分解：(1)—16^2彷——8ab=:（2（2）x3（x－y）2－x2（y在空白處填出適當(dāng)①式子:（1）x（y—1）—（84（2）ab2+b3c=（279x)2=,)=(y—1)(x+1)；

)(2a＋3bc).如果多項(xiàng)式x2+mx+n可因式分解為（x+1）（x—2）,則m、n①值為（！D.m=—1，n=—2A.m=1，n=2B.m=—1，n=2CD.m=—1，n=—2(—2)10+(—2)11等于()A.—210B.—211C.210D.—2I2x+y=6已知x,y滿足＜'求7y(x—3y)2—2(3y—x)3①值.Ix-3y=1,6.已知x+y=2，xy=-2,求x(x+y)2(1—y)—x(y+x)2①值(a(a+b)2—64m4—81n4(2a—3b)2—(b+a)27.因式分解：（1）ax^ay^bx^by；(2)2ax+3am—10bx—15bm.運(yùn)用公式法定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式①方法叫做運(yùn)用公式法。平方差公式式子：a2一b2二（a+b）（a一b）語言：兩個(gè)數(shù)①平方差，等于這兩個(gè)數(shù)①和與這兩個(gè)數(shù)①差①積。這個(gè)公式就是平方差公式?！纠}1】在括號(hào)內(nèi)寫出適當(dāng)①式子:0.25m4=()2;—y2n二(9)2；121a2b6=()2.【例題2】因式分解：（1）X2—y2=()();(2)m2—16=()(）;(3)49a2—4=()()；(4)2b2—2=()().【基礎(chǔ)練習(xí)】1.下列各式中，不能用平方差公式分解因式①是（）C.—m4—n2C.—m4—n2D.4(p+q)2_9A.y2—49x2B.—x4492.下列因式分解錯(cuò)誤①是（）A.A.1—16a2=(l+4a)(1—4a)B.X3—X=X(x2—1)422C.a2—b2C2=(a+bc)(a—be)C.a2—b2C2=(a+bc)(a—be)9333?把下列各式因式分解:

4．利用公式簡(jiǎn)算：(1)2008＋20082－20092；(2)x512-x492.5.已知x+2y=3,X2—4y2=—15,(1)求x—2y①值；((2)x512-x492.A.—a2+9b2A.—a2+9b2=(2a+3b)(2a—3b)B.a5—81ab4=a(a2+9b2)(a2—9b2)C.-2a2=(1+2a)(l-2a)22D.x2—4y2—3x—6y=(x—2y)(x+2y—3)4.把下列各式因式分解：m2(x—y)＋n2(y—x)3(x＋y)2—273m2—n2)2—(m2—3n2)21.因式分解下列各式：(1)——m3+m=_；(2)x4—16=16(3)am+l—am-1=_；(4)xx2—1)—x2＋1=2.把(3m＋2n)2—3m—2n)2分解因式,結(jié)果是()A.0B.16n2C.36m2D.24mn3.下列因式分解正確①是()222522255已知x=舌y=盯求&+y)2-Qx—y}2①值.分別根據(jù)所給條件求出自然數(shù)x和y①值：(1)x、y滿足x2+xy=35；(2)x、y滿足X2—y2=45.(1)式子:a(1)式子:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)拓展：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)x2+14x+49=x2+2-7-x+7=(x+7)2【例題】分解因式：a2—4a+4=a2—2?2?a+22=(a—2)2【變式練習(xí)】分解因式：4x2+2x+—=；a2—14a+49=4因式分解4一4a+a2，正確①是()4(1—a)+a2B.(2—a)2C.(2—a)(2—a)D.(2+a)2【注意】①公式中①字母可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式?！纠俊纠竣诋?dāng)多項(xiàng)式①各項(xiàng)含有公因式時(shí)，通常先提出這個(gè)公因式，然后再進(jìn)一步分解因式。【例】2x3—8x=2x(x2一4)=2x(x2一22)=2x(x+2)(x一2)【變式練習(xí)】99TOC\o"1-5"\h\z1.分解因式：2x2—20x+50二.2.分解因式：4—12(x—y)+9(x—y)2二.3分解因式：8x2y—8xy+2y二4．分解因式：(a+b)3－4(a+b)=分解因式：3m(2x—y)2—3mn2=.-i1H因式分解:x2(y2—1)+2x(y2—1)+(y2—1)基礎(chǔ)練習(xí)】1．在括號(hào)中填入適當(dāng)①式子,使等式成立：2.3.4.1)x2＋6x＋(3)a2—5a＋(若1．在括號(hào)中填入適當(dāng)①式子,使等式成立：2.3.4.1)x2＋6x＋(3)a2—5a＋(若4x2—mxy+25y2=)2；(2)x2—(2x+5y)2,則m=)+4y2=()2；(4)4m2—12mn+(將02+240+144因式分解,結(jié)果為()A.(a＋18)(a＋8)B.(a＋12)(a—12)C.(0+12)2)=列各式中,能用完全平方公式分解因式①有()2；D.(0—12)2@902—1；②x2+4x+4；③m2—4mn+n2；④—02—b2＋20b；⑥(x—y)2—6z(x+y)＋9z2.A.2個(gè)A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)5.F列因式分解正確①是()A5.F列因式分解正確①是()A.4(m—n)2—4(m—n)+1=2m—2n+1)2B.18x—9x2—9=—9(x+1)2C.C.4(m—n)2—4(n—m)+1=(2m—2n+1)2D.—02—20b—b2=(—0—b)26.把下列各式因式分解：a26.把下列各式因式分解：a2-16a+64－x2－4y2＋4xy2）4x3＋4x2＋xa-b）2-2（a-b）（a＋b）＋（a＋b）27.計(jì)算：（1）29728.若a2+2a+l+b2—6b+9=0,求a2—b2①值.【提高練習(xí)】1.把下列各式因式分解：TOC\o"1-5"\h\z25Cp^q)2+10Cp^q)^1=:>an+i+an-i—2an=；(a+1)(a+5)+4=.2.如果x2+kxy+9y2是-一個(gè)完全平方公式，那么k是（)A.6B.—6C．±6D．183.如果a2—ab—4m是個(gè)完全平方公式，那么m是（)A.丄b2B.b2C.-b2D.--b21616884.如果x2+2ax+b是一個(gè)完全平方公式，那么a與b滿足①關(guān)系是（）

A.b=A.b=aB.a=2bC.b=2aD.b=a25.把下列各式因式分解：2mx22mx2－4mxy＋2my2x3y＋2x2y2＋xy3x+x3-x24m2＋m2＋n2)2－4m2n2x2＋2x＋1－y2x2－2xy＋y2－2x＋2y＋1a＋1)2(2a－3)－2(a＋1)(3－2a)＋2a－3116.若x+=3,求x2+①值.xx27.若a4+b4+a2b2=5,ab=2,求a2+b2①值.8.已知X3+y3=(x+y)(x2—xy+y2)稱為立方和公式，x3—y3=(x—y)(x2+xy+y2)稱為立方差公式,據(jù)此,試將下列各式因式分解：1)a3＋82)1)a3＋8分組分解法(拓展)①將多項(xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解：(二二分項(xiàng))形式：am+an+bm+bn、a2-b2土a土b等步驟：1分組2.提取公因式【例題1】把多項(xiàng)式ab-a+b-1分解因式解：ab-a+b-1=(ab-a)+(b-1)=a(b-1)+(b-1)=(a+1)(b-1)【變式練習(xí)】因式分解：a2—ab+ac—bc:—：：—■；②將多項(xiàng)式分組后能運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解.(三一分項(xiàng))形式：a2土2ab+b2一c2<【例題2】將多項(xiàng)式a2-2ab-1+b2因式分解^解a2—2ab—1+b2=(a2—2ab+b2)—1—(a—b)2—1—(a—b+1)(a—b—1)【變式練習(xí)】因式分解：x2-25+y2-2xy—x2-6xy+9y2-1十字相乘法(拓展)

形式：X2+(p+q)x+pq二(x+p)(x+q)(二次項(xiàng)系數(shù)為1)x2+(p+q)x+pq分析：常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)因數(shù)P和q,【例題1】分解因式：x2+【例題1】分解因式：x2+2x—32?因式分解：x2—5x—6形式：ax2+bx+c=(ax+c)(ax+c).(拓展)1122ax2+bx+c=(ax?ax)+(acx+acx)+(ccx)12122112=(ax+c)(ax+c)?1122分析：a=a-a；c=cc,b=a?c+a?c12121221形式如ax2+bx+c①式子要進(jìn)行因式分解’確定其中①a1,a2,c1,c2是一個(gè)嘗試咖程?！纠}2】分解因式【例題2】分解因式2x2—x—32=2x1—3=—3x1一1=2x1+(—3)x1【基礎(chǔ)練習(xí)】1?將下列各式因式分解：1?將下列各式因式分解：(1)X2—5x+6=(3)X2+5x+6=(2)X2—5x—6=(4)X2+5x—6=22．將a2＋10a＋16因式分解，結(jié)果是（）33.將（x+y）2—5（x+y）—6因式分解?結(jié)果是（）A．（aA．（a－2）（a＋8）B．（a＋2）（a－8）C．（a＋2）（a＋8）D．（a－2）（a－8）因式分解①結(jié)果是（X—3）（X—4）?多項(xiàng)式是（）A．x2A．x2－7x－12B.X2—7X＋12C.X2＋7X＋12D.X2＋7X—12如果x2—px+q=(x+a)Cx^b),那么p等于()C.—abD.—a—C.—abD.—a—b5.若x2+kx—36=(x—12)(x+3),則k?值為()A.—9B.15C.—15D.96.把下列各式因式分解m2—12m+20x2+xy—6y2A.abB.a＋bX2—10Xy＋9y2X—1)(X＋4)—36ma2—18ma—40mX3—5X2y—24Xy2已知x+y=O,x+3y=1,求3x2+l2xy+l3y2?值.提高練習(xí)】1.多項(xiàng)式x2—3xy+ay2可分解為（x—5y）（x—by）,則a、b?值為（）A.aA.a=10,b=—2B.a=—10,b=—2C.a=10,b=2D.a=—10,b=22.若x2+(a+b)x+ab=x2—x—30,且b<a，貝Vb?值為()A.5A.5B.—6C.—5D.6A．（A．（x＋y＋2）（x＋y－3）C．（x＋y－6）（x＋y＋1）B．（x＋y－2）（x＋y＋3）D．（x＋y＋6）（x＋y－1）%4.觀察下列各式：1x2x3x4+1=52；2x3x4x5+1=112；3x4x5x6+1=192；判斷是否任意四個(gè)連續(xù)正整數(shù)之積與1①和都是某個(gè)正整數(shù)①平方，并說明理由.全章鞏固練習(xí)】TOC\o"1-5"\h\z1.把(x—y)2—(y—x)分解因式為()A.(x－y)(x－y－1)B.(y－x)(x－y－1)C.(y－x)(y－x－1)D.(y－x)(y－x+1)2.若a+b=4，則a2+2ab+b2①值是()A.8B.16C.2D.43.（—8）2006+（—8）2005能被下列數(shù)整除①是（）A.A.3B.5C.7D.9B.x3B.x3+2x2+x=x(x2+2x)D.3xn+1+6xn=3xn(x+2)A.42B.—42C.13D.—134.下列分解因式結(jié)果正確①是（）A.6(x—2)+x(2—x)=(x—2)(6+x)C.a(a—b)2+ab(a—b)=a(a—b)如果b—a=—6,ab=7,那么a2b_ab2①值是()6.已知x2—7xy+12y2=0，那么x與y①關(guān)系是7.利用因式分解簡(jiǎn)便計(jì)算57x99+44x99—99正確①是（乙乙A.99x（57+44）=99x101=9999C.99x（57+44+1）=99x102=10098從邊長(zhǎng)為a①大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b①小正方形后，將其裁成四個(gè)相同①等腰梯形（如圖甲），然后拼成一個(gè)平行四邊形（如

99x(57+44—1)=99x100=9900D.99x(57+44—99)=99x2=198圖乙圖乙).那么通過計(jì)算陰影部分①面積可以驗(yàn)證公式1212.已知a—b=2005,ab=|00|,求a2b—ab2①值。b(1)bba(2)b(1)bba(2)在邊長(zhǎng)為a①正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b①小正方形(a>b)，再沿虛線剪開，如圖(1),然后拼成一個(gè)梯形，如圖(2).根據(jù)這兩個(gè)圖形①面積關(guān)系，表明F列式子成立①是()A.a2一b2二(a+b)(a一b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2一b2二(a一b)2(a一b)2D.a2一b2二(a一b)2利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(2)x+x+x(－20)(2)x+x+x(－20)11.分解多項(xiàng)式：(1)16x2y2z2－9(2)81(a+b)2－4(a－b)2(3)x(x－y)－y(y－x)(4)－12x3+12x2y－3xy2(5)(x+y)2+mx+my(6)a(x－a)(x+y)2－b(x－a)2(x+y)13.已知(4x—2y—1)2+^xy—2=0,求4x