基本不等式教學設計2

§3.4根本不等式：〔第一課時〕教材分析：?根本不等式?是高中數(shù)學人教A版必修五第三章第四節(jié)的內(nèi)容。它是在學完不等式性質(zhì)，不等式的解法及線性規(guī)劃等知識的根底上，對不等式的進一步研究，同時也為選修1-2直接證明與間接證明中的有關不等式證明的問題作好準備，為選修4-5不等式選講中的幾種重要不等式及不等式的證明做好了鋪墊，在整個知識體系中起到了承上啟下的作用。根本不等式是從大量數(shù)學問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，為今后解決最值問題提供了新的方法，在公式推導中所蘊涵的數(shù)學思想方法如換元法、數(shù)形結(jié)合法在各種不等式的研究中均有著廣泛的應用。教學目標：1、從數(shù)形角度理解根本不等式，探索根本不等式的證明過程,應用根本不等式解決最值問題。2、由根本不等式的引入與幾何解釋體會數(shù)形結(jié)合的思想,由不等式的證明與應用，提高學生歸納類比、推理論證以及解決問題能力。3、在利用第24屆國際數(shù)學家大會會標進行探究面積的同時，了解中國數(shù)學文化，增強民族自豪感。教學重點：應用數(shù)形結(jié)合的思想理解根本不等式，并從不同角度探索根本不等式的證明過程。教學難點：用根本不等式求最小值。教學過程：介紹會標，探究面積前面我們學習了不等式的性質(zhì)，不等式的解法及簡單的線性規(guī)劃求最值等問題，今天我們繼續(xù)學習不等式的相關內(nèi)容。1.介紹會標：以下圖是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。2.探究面積：現(xiàn)在我們將“風車〞抽象成一個幾何圖形，教師提問：你能在圖中找出一些相等關系或不等關系？學生通過獨立思考，預設會有以下結(jié)果：BDBDB正方形ABCD面積>四個直角三角形面積之和.教師追問：假設設AE=ɑ，BE=b，那么上面不等式關系就可以表示成：ɑ2+b2>2ɑb.教師繼續(xù)追問：它們有相等的情況嗎？同時教師運用幾何畫板，啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)結(jié)論：當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即?b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有ɑ2+b2=2ɑb.一般地，對于任意實數(shù)ɑ，b,我們有ɑ2+b2≥2ɑb，當且僅當ɑ=b時，等號成立.教師追問：你給出它的證明過程嗎？學生在學案上完成。待大家都完成，選一份作業(yè)評講。設計意圖：通過給學生介紹會標，不僅了解了中國數(shù)學文化，還增強學生的民族自豪感。同時激發(fā)學生參與探究活動的熱情。二、簡單應用，揭示課題簡單應用：比擬大小問題1：你是根據(jù)什么判斷出〔1〕、〔2〕的大小關系的？它們與上面的不等式有怎樣的聯(lián)系？學生通過類比〔1〕的解決方法，比擬容易想到〔2〕：用分別代替ɑ、b就可以得到.教師總結(jié)：于是通過換元的思想，我們就得到不等式：.當且僅當ɑ=b時，等號成立.通常把這個不等式變形為.當且僅當ɑ=b時，等號成立.我們把這個不等式稱為根本不等式。問題2：你能證明這個不等式嗎？請在學案上完成你的證明過程并展示。方法一：比擬作差法。〔學生首先想到仿照重要不等式的證明運用作差法證明〕方法二：分析法?！蔡羁盏姆绞浇o出，讓學生自己嘗試完成〕要證，①只要證，②要證②，只要證.③要證③，只要證〔____-____〕2≥0.=4\*GB3④顯然=4\*GB3④是成立的。當且僅當時，=4\*GB3④中的等號是成立的.教師總結(jié)：這種由結(jié)果出發(fā)，逐一找到它成立的條件的條件的證明方法叫做分析法。在后續(xù)的學習中我們會有深入的學習。設計意圖：首先由一個簡單的應用自然的引出根本不等式，讓學生在不知不覺中學到知識。然后以填空的形式出示分析法證明根本不等式的關鍵步驟，把思維的時空切實的留給學生，讓學生在探究的根底上體會分析法的證明思路。從代數(shù)角度對根本不等式有一個初步的認識。三、合作探究，幾何解釋在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=ɑ，BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD.你能利用這個圖形，得出根本不等式的幾何解釋嗎？設AC=ɑ，BC=b，請解決以下問題：如何用ɑ，b表示圓O的半徑OD和半弦CD?觀察圖中OD與CD的大小關系？OD與CD有相等的情況嗎？你能給出根本不等式的幾何解釋嗎？問題〔1〕中OD學生容易表示為.但對于CD的表示先給學生適當?shù)臅r間獨立思考，如果還沒有思路，可提示證明△ACD∽△DCB，利用對應邊的比相等得出圓的半弦.問題〔2〕答案顯而易見OD>CD，即：圓的半徑大于圓的半弦。問題〔3〕，學生從圖中不難發(fā)現(xiàn)當點C與圓心O重合，即ɑ=b時，OD=CD.同時教師運用動畫演示二者相等的情況。于是得到問題〔4〕，根本不等式的幾何解釋：圓的半徑大于等于圓的半弦。其中：叫做ɑ和b的算術平均數(shù)，叫做ɑ和b的幾何平均數(shù)。然后引導學生從算術角度表達根本不等式，即兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。設計意圖:本環(huán)節(jié)采用數(shù)形結(jié)合、換元的數(shù)學思想，為后面利用根本不等式求最值奠定根底。引導學生從幾何的角度解釋根本不等式，從不同角度對根本不等式有更深入的認識。同時，學習解決問題的方法，培養(yǎng)學生解決問題的能力。四、正反兩例，穩(wěn)固應用學生自己嘗試，待大家都完成，請一名學生口答。教師給出正規(guī)板書。穩(wěn)固提升：小明在學習完根本不等式后，解決了以下問題。請你幫他檢查一下整個過程是否有錯誤的地方？如果有，請你說一說為什么錯了？學生自主尋找錯誤,待大家都完成，再交流并歸納總結(jié)運用根本不等式求最值時的條件：一正：ɑ，b都是正實數(shù)，即求最值的代數(shù)式中的各項必須都是正數(shù)。二定：ɑb與ɑ+b有一個是定值。即當ɑb是定值時，可以求ɑ+b的最值；當ɑ+b是定值時，可以求ɑb的最值。三相等：等號能夠成立，即存在正數(shù)ɑ，b使根本不等式兩邊相等。設計意圖：分別從正例和反例兩個方面設計題目，給學生充分的時間去感知并總結(jié)運用根本不等式求最值應該滿足的條件是：一正二定三相等。五、回憶小結(jié)，布置作業(yè)問題：本節(jié)課你學到了哪些知識？解決了什么問題？運用了這些知識解決問題時需要注意什么？作業(yè)：書P100習題3.4A組第1題；優(yōu)化設計P112根底穩(wěn)固第1題和第7題；求函數(shù)的值域.拓展作業(yè)：請同學們利用網(wǎng)絡或圖書室查找根本不等式的其它幾何解釋.板書設計：力求簡潔，突出重點.§§3.4.1根本不等式任意實數(shù)ɑ，b，有ɑ2+b2≥2ɑb，例1：當且僅當ɑ=b時等號成立.ɑ>0，b