基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)2

§3.4根本不等式：〔第一課時(shí)〕教材分析：?根本不等式?是高中數(shù)學(xué)人教A版必修五第三章第四節(jié)的內(nèi)容。它是在學(xué)完不等式性質(zhì)，不等式的解法及線性規(guī)劃等知識(shí)的根底上，對(duì)不等式的進(jìn)一步研究，同時(shí)也為選修1-2直接證明與間接證明中的有關(guān)不等式證明的問題作好準(zhǔn)備，為選修4-5不等式選講中的幾種重要不等式及不等式的證明做好了鋪墊，在整個(gè)知識(shí)體系中起到了承上啟下的作用。根本不等式是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題中抽象出來的一個(gè)模型，為今后解決最值問題提供了新的方法，在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如換元法、數(shù)形結(jié)合法在各種不等式的研究中均有著廣泛的應(yīng)用。教學(xué)目標(biāo)：1、從數(shù)形角度理解根本不等式，探索根本不等式的證明過程,應(yīng)用根本不等式解決最值問題。2、由根本不等式的引入與幾何解釋體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,由不等式的證明與應(yīng)用，提高學(xué)生歸納類比、推理論證以及解決問題能力。3、在利用第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)進(jìn)行探究面積的同時(shí)，了解中國(guó)數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)民族自豪感。教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解根本不等式，并從不同角度探索根本不等式的證明過程。教學(xué)難點(diǎn)：用根本不等式求最小值。教學(xué)過程：介紹會(huì)標(biāo)，探究面積前面我們學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，不等式的解法及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃求最值等問題，今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)不等式的相關(guān)內(nèi)容。1.介紹會(huì)標(biāo)：以下圖是2002年在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。2.探究面積：現(xiàn)在我們將“風(fēng)車〞抽象成一個(gè)幾何圖形，教師提問：你能在圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？學(xué)生通過獨(dú)立思考，預(yù)設(shè)會(huì)有以下結(jié)果：BDBDB正方形ABCD面積>四個(gè)直角三角形面積之和.教師追問：假設(shè)設(shè)AE=ɑ，BE=b，那么上面不等式關(guān)系就可以表示成：ɑ2+b2>2ɑb.教師繼續(xù)追問：它們有相等的情況嗎？同時(shí)教師運(yùn)用幾何畫板，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即?b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有ɑ2+b2=2ɑb.一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)ɑ，b,我們有ɑ2+b2≥2ɑb，當(dāng)且僅當(dāng)ɑ=b時(shí)，等號(hào)成立.教師追問：你給出它的證明過程嗎？學(xué)生在學(xué)案上完成。待大家都完成，選一份作業(yè)評(píng)講。設(shè)計(jì)意圖：通過給學(xué)生介紹會(huì)標(biāo)，不僅了解了中國(guó)數(shù)學(xué)文化，還增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感。同時(shí)激發(fā)學(xué)生參與探究活動(dòng)的熱情。二、簡(jiǎn)單應(yīng)用，揭示課題簡(jiǎn)單應(yīng)用：比擬大小問題1：你是根據(jù)什么判斷出〔1〕、〔2〕的大小關(guān)系的？它們與上面的不等式有怎樣的聯(lián)系？學(xué)生通過類比〔1〕的解決方法，比擬容易想到〔2〕：用分別代替ɑ、b就可以得到.教師總結(jié)：于是通過換元的思想，我們就得到不等式：.當(dāng)且僅當(dāng)ɑ=b時(shí)，等號(hào)成立.通常把這個(gè)不等式變形為.當(dāng)且僅當(dāng)ɑ=b時(shí)，等號(hào)成立.我們把這個(gè)不等式稱為根本不等式。問題2：你能證明這個(gè)不等式嗎？請(qǐng)?jiān)趯W(xué)案上完成你的證明過程并展示。方法一：比擬作差法。〔學(xué)生首先想到仿照重要不等式的證明運(yùn)用作差法證明〕方法二：分析法。〔填空的方式給出，讓學(xué)生自己嘗試完成〕要證，①只要證，②要證②，只要證.③要證③，只要證〔____-____〕2≥0.=4\*GB3④顯然=4\*GB3④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，=4\*GB3④中的等號(hào)是成立的.教師總結(jié)：這種由結(jié)果出發(fā)，逐一找到它成立的條件的條件的證明方法叫做分析法。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中我們會(huì)有深入的學(xué)習(xí)。設(shè)計(jì)意圖：首先由一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用自然的引出根本不等式，讓學(xué)生在不知不覺中學(xué)到知識(shí)。然后以填空的形式出示分析法證明根本不等式的關(guān)鍵步驟，把思維的時(shí)空切實(shí)的留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的根底上體會(huì)分析法的證明思路。從代數(shù)角度對(duì)根本不等式有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。三、合作探究，幾何解釋在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=ɑ，BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD.你能利用這個(gè)圖形，得出根本不等式的幾何解釋嗎？設(shè)AC=ɑ，BC=b，請(qǐng)解決以下問題：如何用ɑ，b表示圓O的半徑OD和半弦CD?觀察圖中OD與CD的大小關(guān)系？OD與CD有相等的情況嗎？你能給出根本不等式的幾何解釋嗎？問題〔1〕中OD學(xué)生容易表示為.但對(duì)于CD的表示先給學(xué)生適當(dāng)?shù)臅r(shí)間獨(dú)立思考，如果還沒有思路，可提示證明△ACD∽△DCB，利用對(duì)應(yīng)邊的比相等得出圓的半弦.問題〔2〕答案顯而易見OD>CD，即：圓的半徑大于圓的半弦。問題〔3〕，學(xué)生從圖中不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C與圓心O重合，即ɑ=b時(shí)，OD=CD.同時(shí)教師運(yùn)用動(dòng)畫演示二者相等的情況。于是得到問題〔4〕，根本不等式的幾何解釋：圓的半徑大于等于圓的半弦。其中：叫做ɑ和b的算術(shù)平均數(shù)，叫做ɑ和b的幾何平均數(shù)。然后引導(dǎo)學(xué)生從算術(shù)角度表達(dá)根本不等式，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)采用數(shù)形結(jié)合、換元的數(shù)學(xué)思想，為后面利用根本不等式求最值奠定根底。引導(dǎo)學(xué)生從幾何的角度解釋根本不等式，從不同角度對(duì)根本不等式有更深入的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，學(xué)習(xí)解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。四、正反兩例，穩(wěn)固應(yīng)用學(xué)生自己嘗試，待大家都完成，請(qǐng)一名學(xué)生口答。教師給出正規(guī)板書。穩(wěn)固提升：小明在學(xué)習(xí)完根本不等式后，解決了以下問題。請(qǐng)你幫他檢查一下整個(gè)過程是否有錯(cuò)誤的地方？如果有，請(qǐng)你說一說為什么錯(cuò)了？學(xué)生自主尋找錯(cuò)誤,待大家都完成，再交流并歸納總結(jié)運(yùn)用根本不等式求最值時(shí)的條件：一正：ɑ，b都是正實(shí)數(shù)，即求最值的代數(shù)式中的各項(xiàng)必須都是正數(shù)。二定：ɑb與ɑ+b有一個(gè)是定值。即當(dāng)ɑb是定值時(shí)，可以求ɑ+b的最值；當(dāng)ɑ+b是定值時(shí)，可以求ɑb的最值。三相等：等號(hào)能夠成立，即存在正數(shù)ɑ，b使根本不等式兩邊相等。設(shè)計(jì)意圖：分別從正例和反例兩個(gè)方面設(shè)計(jì)題目，給學(xué)生充分的時(shí)間去感知并總結(jié)運(yùn)用根本不等式求最值應(yīng)該滿足的條件是：一正二定三相等。五、回憶小結(jié)，布置作業(yè)問題：本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？解決了什么問題？運(yùn)用了這些知識(shí)解決問題時(shí)需要注意什么？作業(yè)：書P100習(xí)題3.4A組第1題；優(yōu)化設(shè)計(jì)P112根底穩(wěn)固第1題和第7題；求函數(shù)的值域.拓展作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們利用網(wǎng)絡(luò)或圖書室查找根本不等式的其它幾何解釋.板書設(shè)計(jì)：力求簡(jiǎn)潔，突出重點(diǎn).§§3.4.1根本不等式任意實(shí)數(shù)ɑ，b，有ɑ2+b2≥2ɑb，例1：當(dāng)且僅當(dāng)ɑ=b時(shí)等號(hào)成立.ɑ>0，b