2022-2023學(xué)年人教A版 必修第二冊 復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算 學(xué)案

7.2.2復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算；2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律;3.理解且會求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根.1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算法則;2.邏輯推理：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算律的推導(dǎo);3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)四則運(yùn)算;4.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求根公式和復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，解決復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根問題.重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算．難點(diǎn)：求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根.預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本77-79頁，填寫。1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________________.[提示]復(fù)數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部、虛部分別合并．2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝_________結(jié)合律(z1·z2)·z3＝_________乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝_________3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)1．復(fù)數(shù)(3＋2i)i等于()A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i2.已知復(fù)數(shù)z＝2－i，則z·eq\x\to(z)的值為()A．5 B.eq\r(5)C．3 D.eq\r(3)3.(2－i)÷i＝________.題型一復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算例1計算下列各題．(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2.跟蹤訓(xùn)練一1．計算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ()A．2－13i B．13＋2iC．13－13i D．－13－2i2．若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)題型二復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算例2計算(1＋2i)÷(3－4i).跟蹤訓(xùn)練二1．復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,1＋i)(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________.2．計算：eq\f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝________.題型三復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根問題例3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：（1）；（2），其中，且．跟蹤訓(xùn)練三1、已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一個根(b，c為實(shí)數(shù))．(1)求b，c的值；(2)試判斷1－i是否是方程的根．1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz＝1，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()A．－i B．iC．－1 D．12．若復(fù)數(shù)z＝i(3－2i)(i是虛數(shù)單位)，則eq\x\to(z)＝()A．2－3i B．2＋3iC．3＋2i D．3－2i3．復(fù)數(shù)eq\f(3＋i,i2)(為虛數(shù)單位)的實(shí)部等于________．4．(1＋i)2－eq\f(2－i,2＋i)＝________.5．已知復(fù)數(shù)z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝eq\f(a＋2i,1－i)，其中a，b∈R.若z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，求a，b的值.答案小試牛刀1．B.2．A.3.－1－2i.自主探究例1【答案】(1)－20＋15i.(2)13.(3)2i.【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.跟蹤訓(xùn)練一1．【答案】D.【解析】(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.2．【答案】B.【解析】因為z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(a＋1,1－a)，又此點(diǎn)在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.例2【答案】-1【解析】原式=跟蹤訓(xùn)練二1．【答案】eq\f(\r(2),2).【解析】∵z＝eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1－i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).2．【答案】－2＋i.【解析】eq\f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝eq\f(1＋7i,1－3i)＝eq\f(1＋7i1＋3i,10)＝－2＋i.例3【答案】（1）方程的根為．（2）方程的根為．【解析】（1）因為，所以方程的根為．（2）將方程配方，得，．所以原方程的根為．跟蹤訓(xùn)練三1、【答案】(1)b＝－2，c＝2.(2)1－i也是方程的一個根．【解析】(1)因為1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))∴b＝－2，c＝2.(2)將方程化為x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左邊x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，顯然方程成立，∴1－i也是方程的一個根．當(dāng)堂檢測 1．A2．A3．－34．－eq\f(3,5)＋eq\f(14,5)i5．【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1.)).【解析】z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i,z2＝eq\f(a＋2i,1－i)＝eq\f(a＋2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(a＋ai＋2i－2,2)＝eq\f(a－2,2)＋eq