2022-2023學(xué)年人教A版 必修第二冊(cè) 平面幾何中的向量方法 教案

6.4.1平面幾何中的向量方法向量概念有明確的幾何背景：有向線段，可以說(shuō)向量概念是從幾何背景中抽象而來(lái)的，正因?yàn)槿绱?，運(yùn)用向量可以解決一些幾何問(wèn)題，例如利用向量解決平面內(nèi)兩條直線平行、垂直位置關(guān)系的判定等問(wèn)題。課程目標(biāo)1.通過(guò)應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會(huì)用平面向量知識(shí)解決幾何問(wèn)題的兩種方法-----向量法和坐標(biāo)法；2.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何和物理問(wèn)題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的積極主動(dòng)的探究意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.邏輯推理：從直觀入手，從具體開(kāi)始，逐步抽象，得出結(jié)論；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：坐標(biāo)運(yùn)算證明幾何問(wèn)題；3.數(shù)據(jù)分析：根據(jù)已知信息選取合適方法證明或求解；4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決，體現(xiàn)了事物之間是可以相互轉(zhuǎn)化的.重點(diǎn)：體會(huì)向量在解決平面幾何問(wèn)題中的作用；難點(diǎn)：如何將幾何問(wèn)題化歸為向量問(wèn)題.教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入提問(wèn)：（1）若O為重心,則++=.（2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個(gè)四邊形為等腰梯形.類比幾何元素之間的關(guān)系,你會(huì)想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系?要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本38-39頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1、利用向量可以解決哪些常見(jiàn)的幾何問(wèn)題？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1.向量在幾何中的應(yīng)用(1)平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)．(2)用向量解決平面幾何問(wèn)題的“三部曲”①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量問(wèn)題；②通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．四、典例分析、舉一反三題型向量在幾何中的應(yīng)用例1證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和．已知：平行四邊形ABCD．求證：．【答案】見(jiàn)解析．【解析】證明：不妨設(shè)a，b，則a+b，a-b，|a|2，|b|2．得(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．同理|a|2-2a·b+|b|2．①+②得2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和．例2如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.【答案】見(jiàn)解析．【解析】證明法一：設(shè)eq\o(AD,\s\up17(→))＝a，eq\o(AB,\s\up17(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up17(→))＝eq\o(DA,\s\up17(→))＋eq\o(AE,\s\up17(→))＝－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AF,\s\up17(→))＝eq\o(AB,\s\up17(→))＋eq\o(BF,\s\up17(→))＝b＋eq\f(1,2)a，所以eq\o(AF,\s\up17(→))·eq\o(DE,\s\up17(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up17(→))⊥eq\o(DE,\s\up17(→))，即AF⊥DE.法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，eq\o(AF,\s\up17(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up17(→))＝(1，－2)．因?yàn)閑q\o(AF,\s\up17(→))·eq\o(DE,\s\up17(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up17(→))⊥eq\o(DE,\s\up17(→))，即AF⊥DE.解題技巧（用向量解決平面解析幾何的步驟）(1)向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問(wèn)題向量化．(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問(wèn)題向量化．跟蹤訓(xùn)練1．如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).求證：點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上．【答案】見(jiàn)解析．【解析】證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up17(→))＝m，eq\o(AD,\s\up17(→))＝n，由eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，知E，F(xiàn)分別是CD，AB的三等分點(diǎn)，∴eq\o(FO,\s\up17(→))＝eq\o(FA,\s\up17(→))＋eq\o(AO,\s\up17(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up17(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up17(→))＝－eq\f(1,3)m＋eq\f(1,2)(m＋n)＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n，eq\o(OE,\s\up17(→))＝eq\o(OC,\s\up17(→))＋eq\o(CE,\s\up17(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up17(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up17(→))＝eq\f(1,2)(m＋n)－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n.∴eq\o(FO,\s\up17(→))＝eq\o(OE,\s\up17(→)).又O為eq\o(FO,\s\up17(→))和eq\o(OE,\s\up17(→))的公共點(diǎn)，故點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上．2、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB，求證：AC⊥BC.【答案】見(jiàn)解析．【解析】證法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB，故可設(shè)eq\o(AD,\s\up16(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up16(→))＝e2，|e1|＝|e2|，則eq\o(AB,\s\up16(→))＝2e2.∴eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.而eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝|e1|2－|e2|2＝0，∴eq\o(AC,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，即AC⊥BC.證法二：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)CD＝1，則A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴eq\o(BC,\s\up16(→))＝(－1,1)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(1,1)．∴eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)6.4.16.4.1平面幾何中的向量方法1、向量在