2022-2023學年人教A版 必修第二冊 平面幾何中的向量方法 教案

6.4.1平面幾何中的向量方法向量概念有明確的幾何背景：有向線段，可以說向量概念是從幾何背景中抽象而來的，正因為如此，運用向量可以解決一些幾何問題，例如利用向量解決平面內兩條直線平行、垂直位置關系的判定等問題。課程目標1.通過應用舉例，讓學生會用平面向量知識解決幾何問題的兩種方法-----向量法和坐標法；2.通過本節(jié)的學習，讓學生體驗向量在解決幾何和物理問題中的工具作用，增強學生的積極主動的探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神.數(shù)學學科素養(yǎng)1.邏輯推理：從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，得出結論；2.數(shù)學運算：坐標運算證明幾何問題；3.數(shù)據(jù)分析：根據(jù)已知信息選取合適方法證明或求解；4.數(shù)學建模：數(shù)形結合，將幾何問題轉化為代數(shù)問題解決，體現(xiàn)了事物之間是可以相互轉化的.重點：體會向量在解決平面幾何問題中的作用；難點：如何將幾何問題化歸為向量問題.教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具：多媒體。情景導入提問：（1）若O為重心,則++=.（2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個四邊形為等腰梯形.類比幾何元素之間的關系,你會想到向量運算之間都有什么關系?要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本38-39頁，思考并完成以下問題1、利用向量可以解決哪些常見的幾何問題？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.向量在幾何中的應用(1)平面幾何圖形的許多性質，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來．(2)用向量解決平面幾何問題的“三部曲”①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化成向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；③把運算結果“翻譯”成幾何關系．四、典例分析、舉一反三題型向量在幾何中的應用例1證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．已知：平行四邊形ABCD．求證：．【答案】見解析．【解析】證明：不妨設a，b，則a+b，a-b，|a|2，|b|2．得(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．同理|a|2-2a·b+|b|2．①+②得2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．例2如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.【答案】見解析．【解析】證明法一：設eq\o(AD,\s\up17(→))＝a，eq\o(AB,\s\up17(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up17(→))＝eq\o(DA,\s\up17(→))＋eq\o(AE,\s\up17(→))＝－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AF,\s\up17(→))＝eq\o(AB,\s\up17(→))＋eq\o(BF,\s\up17(→))＝b＋eq\f(1,2)a，所以eq\o(AF,\s\up17(→))·eq\o(DE,\s\up17(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up17(→))⊥eq\o(DE,\s\up17(→))，即AF⊥DE.法二：如圖，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，eq\o(AF,\s\up17(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up17(→))＝(1，－2)．因為eq\o(AF,\s\up17(→))·eq\o(DE,\s\up17(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up17(→))⊥eq\o(DE,\s\up17(→))，即AF⊥DE.解題技巧（用向量解決平面解析幾何的步驟）(1)向量的線性運算法的四個步驟①選取基底；②用基底表示相關向量；③利用向量的線性運算或數(shù)量積找相應關系；④把幾何問題向量化．(2)向量的坐標運算法的四個步驟①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；②把相關向量坐標化；③用向量的坐標運算找相應關系；④把幾何問題向量化．跟蹤訓練1．如圖，點O是平行四邊形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).求證：點E，O，F(xiàn)在同一直線上．【答案】見解析．【解析】證明：設eq\o(AB,\s\up17(→))＝m，eq\o(AD,\s\up17(→))＝n，由eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，知E，F(xiàn)分別是CD，AB的三等分點，∴eq\o(FO,\s\up17(→))＝eq\o(FA,\s\up17(→))＋eq\o(AO,\s\up17(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up17(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up17(→))＝－eq\f(1,3)m＋eq\f(1,2)(m＋n)＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n，eq\o(OE,\s\up17(→))＝eq\o(OC,\s\up17(→))＋eq\o(CE,\s\up17(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up17(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up17(→))＝eq\f(1,2)(m＋n)－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n.∴eq\o(FO,\s\up17(→))＝eq\o(OE,\s\up17(→)).又O為eq\o(FO,\s\up17(→))和eq\o(OE,\s\up17(→))的公共點，故點E，O，F(xiàn)在同一直線上．2、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB，求證：AC⊥BC.【答案】見解析．【解析】證法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB，故可設eq\o(AD,\s\up16(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up16(→))＝e2，|e1|＝|e2|，則eq\o(AB,\s\up16(→))＝2e2.∴eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.而eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝|e1|2－|e2|2＝0，∴eq\o(AC,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，即AC⊥BC.證法二：如圖，建立直角坐標系，設CD＝1，則A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴eq\o(BC,\s\up16(→))＝(－1,1)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(1,1)．∴eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC.五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計6.4.16.4.1平面幾何中的向量方法1、向量在