2022-2023學(xué)年人教A版 必修第二冊(cè) 平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示 教案

6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)乘運(yùn)算以及加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運(yùn)算，向量的數(shù)乘運(yùn)算其實(shí)是加法運(yùn)算的推廣及簡(jiǎn)化.教學(xué)時(shí)從加法入手，引入數(shù)乘運(yùn)算，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.實(shí)數(shù)與向量的乘積仍然是一個(gè)向量，既有大小，又有方向.特別是方向與已知向量是共線向量，進(jìn)而引出共線向量定理.而本節(jié)課即在前面知識(shí)的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)了坐標(biāo)表示下的向量相關(guān)線性運(yùn)算。向量平行的坐標(biāo)表示是在在學(xué)習(xí)了平面向量基本定理的向量共線表示以后，結(jié)合向量坐標(biāo)表示的知識(shí)點(diǎn)，從而前后聯(lián)系，以多種方法表示向量的共線。課程目標(biāo)1．能準(zhǔn)確表述實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算；2．會(huì)推導(dǎo)并熟記兩向量共線時(shí)坐標(biāo)表示的充要條件,且能利用兩向量共線的坐標(biāo)表示解決有關(guān)綜合問題；3．通過學(xué)習(xí)向量共線的坐標(biāo)表示，使學(xué)生認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算；2.邏輯推理：推導(dǎo)平面向量共線的充要條件；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求坐標(biāo)運(yùn)算或根據(jù)向量平行求參數(shù)；4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決，體現(xiàn)了事務(wù)之間是可以相互轉(zhuǎn)化的.重點(diǎn)：向量共線的坐標(biāo)表示及直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的求解；難點(diǎn)：利用兩向量共線的坐標(biāo)表示解決有關(guān)綜合問題.教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入前面，我們學(xué)習(xí)了平面向量可以用坐標(biāo)來表示，并且向量之間可以進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算。這就為解決問題提供了方便。我們又知道共線向量的條件是當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得b=λa，那么這個(gè)條件是否也能用坐標(biāo)來表示呢？因此，我們有必要探究一下這個(gè)問題：兩向量共線的坐標(biāo)表示。要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本31-33頁(yè)，思考并完成以下問題1、如何由a的坐標(biāo)求λa的坐標(biāo)？2、如何利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示兩個(gè)向量共線？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、若和實(shí)數(shù)，則.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).2、設(shè)=(x1,y1)=(x2,y2)（）其中結(jié)論：∥()x1y2-x2y1=0注意1消去λ時(shí)不能兩式相除，∵y1,y2有可能為0，∵，∴x2,y2中至少有一個(gè)不為0.2充要條件不能寫成∵x1,x2有可能為0.3從而向量共線的充要條件有兩種形式：∥()定比分點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：四、典例分析、舉一反三題型一向量的坐標(biāo)運(yùn)算例1(1)已知三點(diǎn)A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則3eq\o(AB,\s\up15(→))＋2eq\o(CA,\s\up15(→))＝________，eq\o(BC,\s\up15(→))－2eq\o(AB,\s\up15(→))＝________.(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3【答案】(1)(11,13),(－7，－14)．(2)a＋b＝(2，－3)，a－b＝(－4,7)，3a＝(－3,6)，2a＋3＝(7，－11)【解析】(1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝(1,5)，eq\o(CA,\s\up15(→))＝(4，－1)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(－5，－4)．∴3eq\o(AB,\s\up15(→))＋2eq\o(CA,\s\up15(→))＝3(1,5)＋2(4，－1)＝(3＋8,15－2)＝(11,13)．eq\o(BC,\s\up15(→))－2eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10)＝(－7，－14)．(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．解題技巧（平面向量坐標(biāo)運(yùn)算技巧）(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行．(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行．跟蹤訓(xùn)練一1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c滿足3a－2b＋c＝0，則c＝(A．(－23，－12) B．(23,12)C．(7,0) D．(－7,0)2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，eq\o(MP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up15(→))，則P點(diǎn)坐標(biāo)為______．【答案】1、A2、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))【解析】1、∵a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，且c滿足3a－2b＋c＝0.∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5,2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)2、設(shè)P(x，y)，則eq\o(MP,\s\up15(→))＝(x－3，y＋2)，eq\o(MN,\s\up15(→))＝(－8,1)，∴eq\o(MP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2).))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))題型二向量共線的判定例2(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，則λ的值等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．1 D．2(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判斷eq\o(AB,\s\up17(→))與eq\o(CD,\s\up17(→))是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？【答案】（1）A（2）eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(CD,\s\up15(→))共線且方向相反．【解析】(1)a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,2).(2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，eq\o(CD,\s\up15(→))＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))共線．又eq\o(CD,\s\up15(→))＝－2eq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))方向相反．綜上，eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(CD,\s\up15(→))共線且方向相反．解題技巧：(向量共線的判斷方法)(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0直接求解．跟蹤訓(xùn)練二1、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行，平行時(shí)它們的方向相同還是相反？【答案】k＝－eq\f(1,3)時(shí)，ka＋b與a－3b平行且方向相反.【解析】ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka＋b與a－3b平行，則－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3)，此時(shí)ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)，故ka＋b與a－3b反向．∴k＝－eq\f(1,3)時(shí)，ka＋b與a－3b平行且方向相反.題型三三點(diǎn)共線問題例3(1)已知eq\o(OA,\s\up15(→))＝(3,4)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(7,12)，eq\o(OC,\s\up15(→))＝(9,16)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)設(shè)向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up15(→))＝(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線？【答案】(1)見解析.(2)k＝－2或k＝11【解析】(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(4,8)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(6,12)，∴eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up15(→))，即eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(AC,\s\up15(→))共線．又∵eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(AC,\s\up15(→))有公共點(diǎn)A，∴A，B，C三點(diǎn)共線．(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))共線，∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.解得k＝－2或k＝11.解題技巧（有關(guān)三點(diǎn)共線問題的解題策略）(1)要判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，一般是看eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(BC,\s\up15(→))，或eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(AC,\s\up15(→))，或eq\o(AC,\s\up15(→))與eq\o(BC,\s\up15(→))是否共線，若共線，則A，B，C三點(diǎn)共線；(2)使用A，B，C三點(diǎn)共線這一條件建立方程求參數(shù)時(shí)，利用eq\o(AC,\s\up15(→))＝λeq\o(BC,\s\up15(→))，或eq\o(AB,\s\up15(→))＝λeq\o(BC,\s\up15(→))，或eq\o(AB,\s\up15(→))＝λeq\o(AC,\s\up15(→))都是可以的，但原則上要少用含未知數(shù)的表達(dá)式．跟蹤訓(xùn)練三1、設(shè)點(diǎn)A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，當(dāng)x為何值時(shí)，eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(CD,\s\up15(→))共線且方向相同，此時(shí)，A，B，C，D能否在同一條直線上？【答案】x＝2時(shí)eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(CD,\s\up15(→))方向相同，此時(shí)A，B，C，D不在同一條直線上.【解析】eq\o(AB,\s\up15(→))＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，eq\o(CD,\s\up15(→))＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．由eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(CD,\s\up15(→))共線，所以x2＝1×4，所以x＝±2.又eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(CD,\s\up15(→))方向相同，所以x＝2.此時(shí)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝(2,1)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(BC,\s\up15(→))不共線，所以A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上．所以A，B，C，D不在同一條直線上．題型四向量共線在幾何中的應(yīng)用例4如圖，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，M為CE的中點(diǎn)，用向量的方法證明：(1)DE∥BC；(2)D，M，B三點(diǎn)共線．【答案】見解析.【解析】如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，令|eq\o(AD,\s\up17(→))|＝1，則|eq\o(DC,\s\up17(→))|＝1，|eq\o(AB,\s\up17(→))|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四邊形AECD為正方形．∴可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．(1)∵eq\o(ED,\s\up17(→))＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，eq\o(BC,\s\up17(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴eq\o(ED,\s\up17(→))＝eq\o(BC,\s\up17(→))，∴eq\o(ED,\s\up17(→))∥eq\o(BC,\s\up17(→))，即DE∥BC.(2)連接MB，MD.∵M(jìn)為EC的中點(diǎn)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴eq\o(MD,\s\up17(→))＝(－1,1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，eq\o(MD,\s\up17(→))＝(1,0)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))).∴eq\o(MD,\s\up17(→))＝－eq\o(MB,\s\up17(→))，∴eq\o(MD,\s\up17(→))∥eq\o(MB,\s\up17(→)).又MD與MB有公共點(diǎn)M，∴D，M，B三點(diǎn)共線．解題技巧（應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟）跟蹤訓(xùn)練四1．已知直角坐標(biāo)平面上四點(diǎn)A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．【答案】見解析.【解析】由已知得，eq\o(AB,