高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章《立體幾何》94精品

..重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：線面、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理及應(yīng)用難點(diǎn)：定理的靈活運(yùn)用.知識(shí)歸納一、直線與平面平行1．判定方法(1)用定義：直線與平面無公共點(diǎn)．.二、平面與平面平行1．判定方法(1)用定義：兩個(gè)平面無公共點(diǎn)..3．兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得線段對(duì)應(yīng)成比例．.誤區(qū)警示1．應(yīng)用線面平行、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理時(shí)，條件不足或條件與結(jié)論不符是常見的錯(cuò)誤，解決的方法是弄清線線、線面、面面平行關(guān)系的每一個(gè)定理的條件和結(jié)論，明確這個(gè)定理是干什么用的，具備什么條件才能用．其中線面平行的性質(zhì)定理是核心，證題時(shí)，找(或作)出經(jīng)過已知直線與已知平面相交的平面是解題的關(guān)鍵，另外在證明平行關(guān)系時(shí)，常見錯(cuò)誤是(1)“兩條直線沒有公共點(diǎn)則平行”；(2)“垂直于同一條直線的兩直線平行”，不恰當(dāng)?shù)陌哑矫鎺缀沃械囊恍┙Y(jié)論遷移到立體幾何中來，解決的關(guān)鍵是先說明它們在同一個(gè)平面內(nèi)．.2．注意弄清“任意”、“所有”、“無數(shù)”、“存在”等量詞的含義．3．注意應(yīng)用兩平面平行的性質(zhì)定理推證兩直線平行時(shí)，不是兩平面內(nèi)的任意直線，必須找或作出第三個(gè)平面與兩個(gè)平面都相交，則交線平行．應(yīng)用二面平行的判定定理時(shí)，兩條相交直線的“相交”二字決不可忽視．4．要注意符合某條件的圖形是否惟一，有無其它情形．.一、轉(zhuǎn)化的思想解決空間線面、面面平行關(guān)系的問題關(guān)鍵是作好下列轉(zhuǎn)化二、解題技巧要能夠靈活作出輔助線、面來解題，作輔助線、面一定要以某一定理為理論依據(jù)．..[例1]已知m、n是不同的直線，α、β是不重合的平面，給出下列命題：①若m∥α，則m平行于平面α內(nèi)的任意一條直線②若α∥β，m?α，n?β，則m∥n③若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β④若α∥β，m?α，則m∥β上面命題中，真命題的序號(hào)是________．(寫出所有真命題的序號(hào)).解析：若m∥α，則m平行于過m作平面與α相交的交線，并非α內(nèi)任一條直線，故①錯(cuò)；若α∥β，m?α，n?β，則可能m∥n，也可能m、n異面，故②錯(cuò)；.答案：③④點(diǎn)評(píng)：解決這類問題首先要熟悉線面位置關(guān)系的各個(gè)定理，如果是單項(xiàng)選擇，則可以從中先選最熟悉最容易作出判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步考察其余選項(xiàng)．要特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形等．.(2010·浙江理)設(shè)m，l是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m解析：兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面，故選B.答案：B.[例2](文)在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．求證：(1)直線EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD..解析：(1)在△ABD中，因?yàn)镋、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，所以EF∥AD.又AD?平面ACD，EF?平面ACD，所以直線EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因?yàn)锳D⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因?yàn)镃D＝CB，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，所以CF⊥BD.因?yàn)镋F?平面EFC，CF?平面EFC，EF與CF交于點(diǎn)F，所以BD⊥平面EFC..又因?yàn)锽D?平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.(理)如圖，四邊形ABCD為矩形，BC⊥平面ABE，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.(1)求證：AE⊥BE；(2)設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段CE的中點(diǎn)，求證：MN∥平面DAE..證明：(1)因?yàn)锽C⊥平面ABE，AE?平面ABE，所以AE⊥BC.又BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以AE⊥BF.又BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE，所以AE⊥BE..故四邊形AMNP是平行四邊形．所以MN∥AP，而AP?平面DAE，MN?平面DAE，所以MN∥DAE.證法二：取BE中點(diǎn)G，連結(jié)GM、GN，∵GN∥BC，BC∥DA，∴GN∥DA，又∵GM∥AE，∴平面MGN∥平面DAE，從而證明MN∥平面DAE....∴四邊形AGEF為平行四邊形，∴AF∥EG，∵EG?平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)連結(jié)FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1且CE＝1，∴四邊形CEFG為菱形，∴EG⊥CF.∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD.又∵平面ACEF⊥平面ABCD且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.又∵BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE..[例3](2010·山東青島)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是邊長為1的正方形，E、F、G分別是棱B1B、D1D、DA的中點(diǎn)．(1)求證：平面AD1E∥平面BGF；(2)求證：D1E⊥平面AEC..證明：(1)∵E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1的中點(diǎn)，∴BE綊D1F.∴四邊形BED1F為平行四邊形．∴D1E∥BF.又D1E?平面AD1E，BF?平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.又G是棱DA的中點(diǎn)，∴GF∥AD1.又AD1?平面AD1E，GF?平面AD1E，∴GF∥平面AD1E.又BF∩GF＝F，∴平面AD1E∥平面BGF..∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BDD1B1.又D1E?平面BDD1B1，∴AC⊥D1E.又AC∩AE＝A，∴D1E⊥平面AEC..(2010·大連模擬)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a、b，a?α、b?β、a∥β、b∥αD．存在兩條異面直線a、b，a?α、b?β、a∥β、b∥α.解析：在正方形ABCD－A1B1C1D1中，取ABCD為α，ADD1A1為β，B1C1為直線a，可知A錯(cuò)；如圖(1)，α∩β＝l，a?α，a∥l，可知滿足B的條件，故B錯(cuò)；如圖(2)，α∩β＝l，a?α，b?β，a∥l，b∥l，滿足a∥β，b∥α，故C錯(cuò)；由面面平行的判定定理知D正確．答案：D.[例4]用平行于四面體ABCD一組對(duì)棱AB、CD的平面截此四面體(如圖)(1)求證：所得截面MNPQ是平行四邊形；(2)如果AB＝CD＝a.求證：四邊形MNPQ的周長為定值；.(3)如果AB＝a，CD＝b，AB、CD成θ角．求四邊形MNPQ面積的最大值，并確定此時(shí)點(diǎn)M的位置．分析：(1)由AB∥平面MNPQ及線面平行的性質(zhì)定理得到四邊形一組對(duì)邊平行，由CD∥平面MNPQ得到另一組對(duì)邊平行．(2)由平行得到比例關(guān)系，將四邊形MNPQ的兩鄰邊的和用AB(CD)表達(dá)出來．(3)利用正弦定理將四邊形面積用兩鄰邊表示，設(shè)四邊形一個(gè)頂點(diǎn)(如M)到四面體的M所在棱的端點(diǎn)的距離為x(如AM＝x)，將面積表達(dá)為x的函數(shù)求極值．..解析：(1)∵AB∥平面MNPQ.平面ABC∩平面MNPQ＝MN.且AB?平面ABC.∴由線面平行的性質(zhì)定理知，AB∥MN.同理可得PQ∥AB.∴由平行公理可知MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.∴截面四邊形MNPQ為平行四邊形．.又∵AB＝CD＝a，∴MN＋MQ＝a.∴平行四邊形MNPQ的周長為2(MN＋MQ)＝2a定值．(3)設(shè)AC＝c，AM＝x.由(1)得：.如圖所示，平面四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D均在平行四邊形A′B′C′D′所確定的平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．.分析：欲證四邊形ABCD為平行四邊形，須證其兩組對(duì)邊分別平行，欲證AD∥BC，從圖中可見AD、BC是平面ABCD與平面AA′D′D和BB′C′C的交線，故只須證平面AA′D′D∥平面BB′C′C.AB∥CD同樣可找到證明思路．.解析：∵四邊形A′B′C′D′是平行四邊形，∴A′D′∥B′C′.∵AA′∥BB′，且AA′、A′D′是平面AA′D′D內(nèi)的兩條相交直線，BB′、B′C′是平面BB′C′C內(nèi)的兩條相交直線，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵AD、BC分別是平面ABCD與平面AA′D′D、平面BB′C′C的交線，故AD∥BC.同理可證AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形..[例5]如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.(1)求三棱錐D－AEC的體積；(2)設(shè)M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上的確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE..解析：(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF，∵BC∩BF＝B，且BC、BF?平面BCE，∴AE⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴AE⊥BE...∵M(jìn)G∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，∴MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE.又MN?平面MGN，∴MN∥平面ADE.∴N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．.(文)(2010·煙臺(tái)中英文學(xué)校質(zhì)檢)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且PA＝AB＝2..(1)證明：BC⊥平面AMN；(2)求三棱錐N－AMC的體積；(3)在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由．解析：(1)因?yàn)锳BCD為菱形，所以AB＝BC，又∠ABC＝60°，所以AB＝BC＝AC，又M為BC中點(diǎn)，所以BC⊥AM而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，又PA∩AM＝A，所以BC⊥平面AMN.....(1)求證：平面PAC⊥平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE∥平面PAB？若存在，請確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．.由勾股定理得AC⊥CD，又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，又CD?平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD.(2)證明：作CF∥AB交AD于F，作EF∥AP交PD于E，連接CE，∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF＝F，PA∩AB＝A，∴平面EFC∥平面PAB，又CE在平面EFC內(nèi)，CE∥平面PAB，.∴E為PD中點(diǎn)，故棱PD上存在點(diǎn)E，且E為PD中點(diǎn)，使CE∥平面APB...一、選擇題1．(2010·山東文，4)在空間，下列命題正確的是()A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行[答案]D.[解析]當(dāng)兩平行直線都與投影面α垂直時(shí)，其在α內(nèi)的平行投影為兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)兩平行直線所在平面與投影面α相交但不垂直時(shí)，其在α內(nèi)的平行投影可平行，故A錯(cuò)；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AA1與平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1與平面CDD1C1相交，故B錯(cuò)；同樣，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都與平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C錯(cuò)；由線面垂直的性質(zhì)定理知D正確．.2．(2010·膠州三中)已知有m、n為兩條不同的直線，α、β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的命題是()A．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βB．若m?α，n?β，α∥β，則m∥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥n，n⊥α，則m⊥α[答案]D.[解析]A中兩直線m與n相交時(shí)，才能得出結(jié)論α∥β，故A錯(cuò)；B中分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可能平行，也可能異面，故B錯(cuò)；C中n可能在平面α內(nèi)，故C錯(cuò)．..A．EH∥FGB．四邊形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱臺(tái)[答案]D[解析]

∵EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，∴EH∥B1C1∴B1C1∥平面EFGH，B1C1∥FG，∴EH∥FG，四邊形EFGH是矩形，Ω是棱柱，故選D.

.4．如果直線l、m與平面α、β、γ滿足l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有()A．m∥β且l⊥m B．α∥β且α⊥γC．α⊥β且m∥γ D．α⊥γ且l⊥m[答案]D.

請同學(xué)們認(rèn)真完成課后強(qiáng)化作業(yè)..1．(2010·壽光現(xiàn)代中學(xué))已知直線m，n，l是互不重合的直線，平面α，β是互不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：(1)m?α，l∩α＝A，A?m，則l與m不共面；(2)l，m是異面直線，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，則n⊥α；(3)若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，則α∥β；(4)若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m.其中為真命題的是().A．(1)(2) B．(1)(2)(3)C．(1)(3) D．(2)(3)(4)[答案]B[解析]根據(jù)異面直