多元復合函數(shù)求導法

多元復合函數(shù)的求一、復合函數(shù)求導的定理設uuxy),vvxy)在點x,y)處的偏導數(shù)均存在,函數(shù)zf(u,v)在對應點(u,v)可微,則復合函數(shù)zfux,y),vx,y)在點x,y)處的偏導數(shù)zz均存在,且有鏈式法則 zfufuvvuzfuf證limf[u(xx,y),v(xx,y)]f[u(x,y),v(x, 因zf(u,v)在點(u,v)可微f(uu,vv)f(u,v)fufvo( (u)2(u)2(v)2uu(xx,y)u(x,vv(xx,y)v(x,fu(xx,y)u(x,y)fv(xx,y)v(x, o()

o(o(uxvx

o(o(

o((u)2o((u)2o(o(

故 zfufv u v同理可得zfufv u v類似地,設uux,ys),vvx,ys)在點xys)處的偏導數(shù)均存在,函數(shù)zf(u,v)在對應點(u,v)可微,則復合函數(shù)zf[ux,ys),vx,ys)]在點xys)處的偏導數(shù)zzz均存在,且有 zfufv u vzfufv u vzfufv u v幾種情況的分析中間變量多于兩個時的情設zf(u,vwuuxy),vvxywwxy),zfufvfw ux vx wx zfufvf u v w設zf(u),uuxy),則zdfuf(u)u du zdfuf(u)u du 設zf(u,v),uu(x),vv(x),則z是x的一元復合函數(shù),它對的導數(shù)稱為全導數(shù) dzfdufdv u v設zf(x,y,t xx(s,t yy(s,t),zfxfy x yzfxfyf x y f f 最后一個等式 x y 左端的z與右端的f其含意是不同的. 左端的z是視z為s,t的函數(shù)zfx(sty(st),t將s作為常數(shù)對t的偏導數(shù)右端ffxyt中的xy看作常數(shù)對t例1設zeusinv，而uxy，vxyzz 解zzuz eusinvyeucosv1eu(ysinvcosexy[ysin(xy)cos(xzzuz

eusinvxeucosv1eu(xsinvcosexy[xsin(xy)cos(x例2設zuvsint，而uet，vcos求全導數(shù)dz解dzzduzdv

vetusin cosetcostetsintcoset(costsint)cos例 設z y在R2內(nèi)具有關于x和f(x x一階連續(xù)偏導數(shù)zz ux2y,vyx

zf(u,v).由鏈式法zfufv2xyfyf u v x2zfufvx2 1f u v x例 設f可微,zf(x,ex),求dz解引入中間yexdz fex

zf(x, fxexfy例 設f可微,zf(exy3),求z,z uexy3

zfzdf

f(u)

f

y3 duzdfuf(u)(3y2 du3y2f(exy3例6設zf(x,y,u)xy 其中F(u)可微且uy,試證:xzyzzxy. 證zyF(uxF(u)yyF(uyF x2 zxxF(u)1xF 故xzyzxyF(uyF(uyxF xyxF(u)xyz例 設uu(x,y)的偏導數(shù)的表達式u u 求出它在極坐標系下的表達式.直角坐標系與極坐標系的關系xrcosyrsin將u看成是以xy為中間變量,r,為自變量的函數(shù)xrcosyrsin由鏈式法則有

uu[x(r,),y(r,uuxuycosusinu x y uuxuyrsinurcosu x y

ucosu1sinu sin cos u u u 1u2x y r r 二、一階全微分形式設zf(x,y)可微,如果 y都是自變量,dzdzzdxzdyxy如果xy不是自變量而是中間變量xx(u,v),yy(u,v)則有zf[x(uv),y(u由定義dzzduz zxz

du

zxzyx yu x yvdz

zxzyduzxzyx yu x yvzxduxdvzyduydvx zdxz 由此可見：不論x,y是自變量還是中間變dzdzzdxz這一性質(zhì)稱為一階全微分形式不變性全微分運算公式d(uv)dudv,d(uv)vduduvdu (vvv2 vv2 例8已知exy2zez0zz和 解d(exy2zezd(exy)d(2z)d(ez)exyd(xy)2dzezdzexy(ydxxdy)2dzezdz(ez2)dzexy(ydxye xedz dx (ez2) (ez2)zye xe ez2 yez2例 利用微分形式不變性，求函z(x2y2全微分dz及其偏導數(shù)z z 解設ux2y2,v zuv由一階微分形式的不變性:dzzduz vuv1duuvlnvuv1d(x2y2)uvlnud(vuv12xdx2ydyuvlnu(xdyxy(x2y2)xy12x(x2y2)xyln(x2y2)xy(x2y2)xy12yx(x2y2)xyln(x2y2zxy(x2y2)xy12x(x2y2)xyln(x2y2)zxy(x2y2)xy12yx(x2y2)xyln(x2y2三、復合函數(shù)的高階例10設z y

f具有二階連xfx x 2 2 解設ux2 vyx

zf(u,v).zf(u,v),由鏈式法

ux2 vyxzfufv2xy

f注意

u v

ff(u,v), ff(u,v)仍然是u,v 且ux2y,vy 即uu(x,y),vv(x,x再一次運用鏈式法z2xyfyf2xyf(u,v)yf(u,v) x2

2

2y

2xyfu

2y

yfuuffuufuuvuuv

2yf2xy2fu

2 v

2y u2 uvx

x3 y2 u2fv x2vu v2x 2yf2xy2

2fy

2y

x2

x3y2 2xy2fyx2 x2 2 2f

2

4x2

2

4y22

y22

2y

2yf

z2xyfyf2xyf(u,v)yf(u,v) x2

2z

1

y

2xu2xyy

2xf2xy2fu

2 v

1 u2 uvy

x2 y2 u2fvx2vu v2y 2 2 y2 12x3 2x x2為書寫簡便，引進記 f 表示函數(shù)f對第一個中間變量u求偏導數(shù); f f對第二個中間變量v求偏導數(shù); 2f12uvfuvf先對第一個中間變量求偏導數(shù),再對第二個中間變量v求偏導數(shù),以此類推.zfufv2xyf y u v x22xyfyf 2

4x2

2

4y22

y22

2y

2y 4

24x2y2f11 f12 f222yf1

f2 2

22x3

y2

y2

2xf

1 x22x3 y 2xf1f 例11設wf(xyz, f具有二階連 2w偏導數(shù)，求x和xzf2(f2(x+y+z,f1(x+y+z,解f1(x+y+z,

yzf22w (f1yzf2)

yz f11xyf12yf2yz(f21xyf22f11y(xz)f12xy2zf22yf2例12設zf

y),(f具有二階連續(xù)偏導數(shù)2 2求y2,yx解zf(xxf

2z

2x

2x

2