新高考二輪復(fù)習(xí)真題源講義第25講 三角形面積問題（解析版）

第25講三角形面積問題參考答案與試題解析一．解答題（共19小題）1．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離和為10，橢圓經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作與軸垂直的直線，直線上存在、兩點(diǎn)滿足，求面積的最小值．（3）若與軸不垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交軸于定點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)橢圓的方程為，橢圓上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離和為10，所以，，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入橢圓方程，求得，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)，，，由，所以，，故面積的最小值為9；（3）設(shè)直線的方程為：，則點(diǎn)，聯(lián)立，消去得，，，所以，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，得，則直線的方程為：，令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，比值為定值，此時點(diǎn)，為，故或．2．如圖，橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為3，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，不過原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且線段被直線平分．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求面積最大值時的直線的方程．【解答】解：（1）由題意可知：，左焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為3，即使，可解得：，，，所求橢圓的方程為：；（4分）（2）易得直線的方程：，設(shè)，，，，，其中，，在橢圓上，，（6分）設(shè)直線的方程為，代入橢圓：，整理得：，根據(jù)韋達(dá)定理可知：，，（8分），點(diǎn)到直線的距離為：丨丨丨丨，，（10分）當(dāng)時，取最大值，此時直線的方程．（12分）3．如圖，橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，不過原點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，且線段被直線平分．（1）求橢圓的方程；（2）求直線的斜率；（3）求面積的最大值．【解答】解：（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由已知可得，且，解得，，所以，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，，，，的中點(diǎn)為，，則，兩式作差可得：，又，且，即，所以，故直線的斜率為；（3）由（2）設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立方程，消去整理可得：，所以，所以，所以三角形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時三角形的面積的最大值為．4．已知點(diǎn)，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程．【解答】解：（1）設(shè)，由條件知．又，可得，，橢圓的方程：．（2）依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線，設(shè)，，，將代入橢圓的方程：．得，當(dāng)△，即．，從而．又點(diǎn)到直線的距離．所以的面積設(shè)，則，．當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，且滿足△，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時，的方程為：或．5．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求證：直線過定點(diǎn)；（2）求與面積之和的最小值．【解答】解：（1）設(shè)直線的方程為：，點(diǎn)，，，，由，可得，①，點(diǎn)，，，在拋物線上可得，，②由①②可得或1（舍去），由可得根據(jù)韋達(dá)定理有，直線過定點(diǎn)；（2）點(diǎn)，位于軸的兩側(cè)，不妨設(shè)在軸的上方，則，又焦點(diǎn)，．當(dāng)且僅當(dāng)，取“”號，與面積之和的最小值是3，6．如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，且拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，．（1）若中點(diǎn)為，且滿足，的中點(diǎn)均在上，證明：垂直于軸；（2）若點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)），且與的面積分別為和，求最小值．【解答】解：（1）證明：設(shè)，，，，，，因?yàn)橹本€，的中點(diǎn)在拋物線上，所以，為方程的兩個根，即，的兩個不同的實(shí)數(shù)根，所以，所以垂直于軸．（2）根據(jù)題意可得，，設(shè)，，，，則，，所以，則或，因?yàn)?，位于軸的兩側(cè)，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，則，所以直線過定點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為6．7．如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在上．（Ⅰ）設(shè)中點(diǎn)為，證明：垂直于軸；（Ⅱ）若是半橢圓上的動點(diǎn)，求面積的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）證明：可設(shè)，，，，，中點(diǎn)為的坐標(biāo)為，，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在上，可得，，化簡可得，為關(guān)于的方程的兩根，可得，，可得，則垂直于軸；（另解：設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，交于，為的中位線，，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，，由，，，解得，所以垂直于軸）（Ⅱ）若是半橢圓上的動點(diǎn)，可得，，，由（Ⅰ）可得，，由垂直于軸，可得面積為，可令，可得時，取得最大值；時，取得最小值2，即，則在遞增，可得，，面積的取值范圍為，．8．已知橢圓，，為左、右焦點(diǎn)，直線過交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）若直線垂直于軸，求；（2）當(dāng)時，在軸上方時，求、的坐標(biāo)；（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）依題意，，當(dāng)軸時，則，，得；（2）設(shè)，，，，又在橢圓上，滿足，即，，解得，即．直線，聯(lián)立，解得，；（3）設(shè)，，，，，，直線，則，．聯(lián)立，得．則，．由直線的方程：，得縱坐標(biāo)；由直線的方程：，得的縱坐標(biāo)．若，即，，，，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得．存在直線或滿足題意．9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，且的斜率為．（1）求橢圓的離心率的值；（2）若，為過橢圓的右焦點(diǎn)的任意直線，且直線交橢圓于點(diǎn)，，求△內(nèi)切圓面積的最大值．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，直線和直線的斜率之積為，由于點(diǎn)、在橢圓上，則有，上述兩式相減得，化簡得，所以，，因此，橢圓的離心率為；（2）由（1）知，，由于，得，由于，得，所以，，，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，△的周長為，橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，、，，將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得，△，由韋達(dá)定理可得，，△的面積為，令，則，所以，，由于函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，△的面積取到最大值，設(shè)△的內(nèi)切圓的半徑為，則，所以，，當(dāng)△的面積取到最大值時，其內(nèi)切圓的半徑取到最大值，因此，△內(nèi)切圓面積的最大值為．10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是和，離心率為，以在橢圓上，且△的面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）直線過橢圓右焦點(diǎn)，交該橢圓于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，射線交橢圓于，記的面積為，的面積為，若，求直線的方程．【解答】解：（1）依題意，顯然當(dāng)在短軸端點(diǎn)時，△的面積最大為，即，又由離心率為，，解得，，，所以橢圓的方程為．（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)斜率不存在時，，不合題意，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，則，兩式作差得：，即，故直線的方程為：，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，因?yàn)?，所以，即，解得：，所以直線的方程為．11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，點(diǎn)在橢圓上，直線過交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時，點(diǎn)在軸上方時，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；（3）若直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，是否存在直線，使得與的面積滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由題意可知，，，又，聯(lián)立方程組可解得：，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，依題意，，，因?yàn)椋?，即，又在橢圓上，滿足，即，，解得，即，直線，聯(lián)立方程組，解得．（3）存在直線或，使得與的面積滿足，設(shè)，，，，，，直線（斜率不存在時不滿足題意），則，．聯(lián)立方程組，整理得．則，．由直線的方程：，得縱坐標(biāo)．由直線的方程：，得縱坐標(biāo)，由，得．所以，所以，，代入根與系數(shù)的關(guān)系式，得，解得．存在直線或滿足題意．12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，橢圓離心率．（1）求橢圓的方程；（2）直線過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，若△的面積為，求直線的方程．【解答】解：（1）可得，，，橢圓的方程為：．（2），該直線的方程設(shè)為，聯(lián)立可得．設(shè)，，，，則，．△的面積．解得．直線的方程為．13．已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的動直線交橢圓于、兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)和面積的最大值；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）設(shè)，，由，即為，，，即有，又，解得，又，則，，因此所求橢圓的方程為：；（2）動直線的方程為，由，得，設(shè)，，，，則，，假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，滿足題設(shè)，則，，，，，由假設(shè)得對于任意的，恒成立，即，解得．因此，在軸上存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過這個點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為這時，點(diǎn)到的距離，，，設(shè)則得，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立．因此，面積的最大值是．14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，△的周長為8，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)檫^橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，△的周長為8，則由橢圓的定義可得，所以，又，所以，則，故橢圓的方程為；（Ⅱ）由（Ⅰ）值，，則可設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程可得：，設(shè)，，，，則，，所以，原點(diǎn)到直線的距離為，所以三角形的面積為，令，所以，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，故三角形的面積的最大值為．15．已知拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）如圖，設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，，，且，過弦的中點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于點(diǎn)，連接，．試判斷的面積是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由．【解答】解：由拋物線，可得焦點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．，．，把代入拋物線方程，解得．聯(lián)立，得：，△，即，，．，，，，的面積．16．已知點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線與到點(diǎn)，的距離之和的最小值為．（1）求拋物線的方程；（2）如圖，設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，，且，過弦的中點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于點(diǎn)，求的面積．【解答】解：（1）點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線與到點(diǎn)，的距離之和的最小值為，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)與到點(diǎn)，的距離之和的最小值為，，，拋物線的方程為；（2）聯(lián)立直線與拋物線得：，△，即，，．，，，，，，的面積．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率是，曲線是拋物線在橢圓內(nèi)的一部分，拋物線的焦點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是上的動點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn)．（ⅰ）求證：點(diǎn)在定直線上；（ⅱ）直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)樵跈E圓上，所以，又因?yàn)殡x心率，所以可得，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)，，因?yàn)椋裕邳c(diǎn)的切線的方程，即，設(shè)，，，，，聯(lián)立，整理可得：，由△，得且，，因此，將其代入，得，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立方程，解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上；由知直線的方程為，令，得，所以，又，，，，所以，，，設(shè)，則，當(dāng)，即時，取到最大值，此時，滿足式，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，．18．已知，橢圓的離心率，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程．【解答】解：（1）設(shè)，由條件知，得，又，所以，，故的方程；（2）依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線，設(shè)，，，，將代入，得，當(dāng)△，可得，即或，，，從而，又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，且滿足△，所以當(dāng)