講稿概率習題課

1概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題課（三）基本內(nèi)容與重要結(jié)論：1.隨機變量的數(shù)學期望及其性質(zhì)。佚名統(tǒng)計學家公式（隨機變量獨立時）

2.隨機變量的方差及其性質(zhì)。請關(guān)注：常見分布的數(shù)學期望和方差。23.隨機變量的協(xié)方差及其性質(zhì)。4.隨機變量的相關(guān)系數(shù)。若X與Y獨立特別地,對正態(tài)分布隨機變量,獨立與不相關(guān)等價.34.隨機變量的相關(guān)系數(shù)（續(xù)）。5.正態(tài)分布的相關(guān)性質(zhì)。6.切比雪夫不等式：7.三個大數(shù)定律。8.兩個中心極限定理。①獨立同分布中心極限定理；②棣莫弗—拉普拉斯定理。4

例1.設(shè)隨機變量X取值為其對應(yīng)概率為盡管但由于可見E(X)不存在，從而D(X)也不存在。點評：級數(shù)條件收斂而不絕對收斂，E(X)不存在。5例2從一個裝有a只黑球和b只白球的袋中每次取出一只球，直到取出黑球時為止，如果每次取出的球仍放回原袋中，求取出白球數(shù)的數(shù)學期望和方差。解:

設(shè)Y表示取出的白球數(shù),則Y的分布律為記則X=Y+1服從幾何分布.6

只記首次成功前的失敗次數(shù)，也常被定義為另一種“幾何分布”，請注意兩種幾何分布定義的聯(lián)系與區(qū)別！評點：7例3設(shè)一次試驗成功的概率為p，進行100次獨立試驗，求成功次數(shù)的數(shù)學期望和方差；當

p為何值時，成功次數(shù)的方差最大？預(yù)報晴雨難還是預(yù)測出正面難？—評點：

通過擲硬幣決定命運最無把握！8例4設(shè)隨機變量X

的概率密度為對X獨立地重復(fù)觀察4次，用Y

表示觀察值大于π/3的次數(shù)，求Y2數(shù)學期望。注：此題為研究生入學試題。解:9例5設(shè)隨機變量U

在[-2，2]上服從均勻分布，隨機變量求：①X和Y的聯(lián)合分布；②D(X+Y).解:①10X和Y的聯(lián)合分布律：②X+Y的分布為：注：此題為研究生入學試題。11例6游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯于每個整點的第5分鐘，25分鐘和55分鐘從底層起行。假設(shè)一游客在早上8點的第X分鐘到達底層的候梯處，且X在[0，60]上均勻分布，求該游客等候時間的數(shù)學期望。評點：此題是碩士研究生入學試題。例7設(shè)隨機變量X在[a,b]中取值，證明下列不等式成立，并說明等號在何種情況下成立。評點：實際中要真正理解方差的含義!12計算數(shù)學期望和方差的方法與技巧小結(jié)：①直接利用定義求解。求離散型隨機變量的數(shù)字特征時，常遇到級數(shù)求和，常用的公式有：②利用常見分布的數(shù)學期望和方差公式。13③利用數(shù)學期望和方差的性質(zhì)。此法常使復(fù)雜問題簡單化。④在求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望和方差時，不必先求出隨機變量函數(shù)的分布，而是直接用原來隨機變量的概率分布。例8設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布如下：0.150.200.180.320.070.0801-1YX01求X2和Y2的協(xié)方差。評點：此題是2002年碩士研究生入學試題。14例9將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，求X和Y的相關(guān)系數(shù)。評點：此題是根據(jù)2001年碩士研究生入學試題改編。重在介紹離散型隨機變量協(xié)方差的計算。例10設(shè)隨機變量X與Y都只取兩個值，且相關(guān)系數(shù)為零。證明：X與Y獨立。評點：①不相關(guān)與獨立等價的重要特例有兩個。一個是二維正態(tài)分布，另一個是本例。②本題的證法是捷徑。若直接對一般場合證明，須經(jīng)煩瑣的運算。③2000年研究生入學試題曾采用本題的變形。15例11

設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨立同分布，已知證明：當n充分大時，隨機變量近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù)。評點：此題是歷史上碩士研究生入學試題。例12一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的。假設(shè)每箱