概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第二章2-1

二、隨機變量的概念一、隨機變量的引入三、小結(jié)第一節(jié)隨機變量

概率論是從數(shù)量上來研究隨機現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機現(xiàn)象，就要用數(shù)學分析的方法來研究，因此為了便于數(shù)學上的推導和計算，就需將任意的隨機事件數(shù)量化．當把一些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字來表示時，就建立起了隨機變量的概念．1.為什么引入隨機變量?一、隨機變量的引入2.隨機變量的引入例1

在第一章§4例1中，將一枚硬幣拋擲三次，觀察正反面的情況，樣本空間是S={e}={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.以X表示三次投擲得到正面Ｈ的總數(shù)，那么對于樣本空間中的每一個樣本點e，X都有一個數(shù)與之對應(yīng)，即X是S上的一個實值函數(shù)，值域為{0,1,2,3}X是一個實值函數(shù)，有可能好幾個e的值對應(yīng)同一個X的值．單值函數(shù)事件(S的子集)，可以用X來表示了．比如{X>1},…,而此事件的概率就寫成P{X>1}省略了一層小括號．2.隨機變量的引入例２在一袋中裝有編號分別為1,2,3的3只球．在袋中任取一只球，放回，再任取一只球，記錄兩次的號碼．試驗的樣本空間為S={e}={(i,j)|i,j=1,2,3}.i,j分別為第１,２次取到的球的號碼．以X記兩球號碼之和．那么，對于每一個試驗結(jié)果e=(i,j)∈S,X都有一個指定的值i+j與之對應(yīng)．X是一個函數(shù),定義域為S.函數(shù)X可以寫成X=X(e)=X((i,j))=i+j,i,j=1,2,3.這就相當于一個函數(shù):f=f(z)=f((x,y))=x+y,二元函數(shù).其實這里的X,X(e)即是＊＊隨機變量＊＊．｛Ｘ2｝？{X=2}？P{X=2}=?2.隨機變量的引入例３在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色.S={紅色、白色}

非數(shù)量將S數(shù)量化可采用下列方法紅色白色此R表示實數(shù)相當于函數(shù)

f(x)，只是寫法不同．即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這樣便將非數(shù)量的S={紅色，白色}數(shù)量化了.P{X=1}=P{X=0}=1/2.例４

拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).S={1，2，3，4，5，6}樣本點本身就是數(shù)量恒等變換，相當于函數(shù)f(x)=x且有則有二、隨機變量的概念1.定義如果一個試驗的結(jié)果本身就是一個數(shù)，那么令X=X(e)=e即可，X就是一個隨機變量．例如：用Ｙ記某車間一天的缺勤人數(shù)，以Ｗ記某地區(qū)第一季度的降雨量，以Ｚ記某工廠一天的耗電量，以Ｎ記某醫(yī)院某一天的掛號人數(shù)．等等等等等．一般的，隨機變量用大寫字母表示,X,Y,Z,W,U,...,小寫字母x,y,z,w,a,b,c…表示實數(shù)．如何用隨機變量表示事件．前面例1:S={e}={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.

事件Ａ＝{HHT,HTH,THH}，表示出現(xiàn)兩次正面，所以可以用{X=2}表示．P(A)=P{X=2}=3/8.一般，若Ｌ是一個實數(shù)集合，將X在L上取值寫成{X

L}.它表示事件B={e|X(e)

L}，即B是由S中使得X(e)

L的所有樣本點e所組成的事件，此時有

P{X

L}=P(B)=P{e|X(e)

L}.隨機變量隨著試驗的結(jié)果不同而取相應(yīng)的值,由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,因此隨機變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機變量是一個函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的(把數(shù)變成數(shù)),

而隨機變量是定義在樣本空間S上的(樣本空間中的元素不一定是實數(shù)).2.說明(1)隨機變量與普通的函數(shù)不同隨機事件包容在隨機變量這個范圍更廣的概念之內(nèi).或者說:隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象,而隨機變量則是從動態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象.(3)隨機變量與隨機事件的關(guān)系實例3

擲一個硬幣,觀察出現(xiàn)的面,共有兩個結(jié)果:若用X表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則有即X(e)是一個隨機變量.實例4

在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個樣本點:若用X表示該家女孩子的個數(shù)時,則有可得隨機變量X(e),實例5

設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一個隨機變量.實例6

設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則是一個隨機變量.且X(e)的所有可能取值為:且X(e)的所有可能取值為:實例7

設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標射擊,直到擊中目標為止,則是一個隨機變量.且X(e)的所有可能取值為:實例8

某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達該車站的時刻是隨機的,則是一個隨機變量.且X(e)的所有可能取值為:3.隨機變量的分類離散型(1)離散型隨機變量所取的可能值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機變量.

觀察擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù).隨機變量X

的可能值是:隨機變量連續(xù)型實例11,2,3,4,5,6.非離散型其它實例2

若隨機變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時的射擊次數(shù)”,則X

的可能值是:實例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機變量X記為“擊中目標的次數(shù)”,

則X

的所有可能取值為:實例2

隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測量誤差”.則X的取值范圍為(a,b).實例1

隨機變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機變量.則X的取值范圍為