《用向量方法討論立體幾何中的位置關(guān)系（2）》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

《用向量方法討論立體幾何中的位置關(guān)系（2）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行關(guān)系．2．能用向量方法證明有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理．3．能用向量方法證明空間中的直線、平面的關(guān)系．4．會用三垂線定理及逆定理解題．5．學(xué)會用向量方法證明幾何問題．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：用向量方法證明立體幾何中的垂直與平行問題．難點(diǎn)：用空間向量表達(dá)幾何的位置關(guān)系．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入回顧舊知：我們知道，平行和垂直是立體幾何中主要的位置關(guān)系，可以利用直線的方向向量與平面的法向量對直線與平面的平行、垂直等位置關(guān)系進(jìn)行表示.設(shè)向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，nl//m或l與m重合?

l//m?

l=km；l//α或l?a?

l⊥n1?

l本節(jié)課繼續(xù)探討利用空間向量證明幾何問題.教師小結(jié)引出本節(jié)內(nèi)容，出示課題：用向量方法討論立體幾何中的位置關(guān)系（2）．設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)舊知，引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過的知識，對即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行思考和交流，教師進(jìn)行總結(jié)出示課題，順利進(jìn)入本節(jié)課內(nèi)容．二、應(yīng)用舉例例1已知：如下圖，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BAC=π2（1）求證：MN//平面A（2）求證：平面CMN⊥平面A'證明：由直三棱柱ABC-A'B'C'，可知AA'⊥平面ABC，又∠BAC=π2設(shè)AA'=1，因?yàn)锳B=AC=因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別為A'B和B'C'（1）由圖知AB=（2，0，0）是平面AMN//平面A'ACC'.又因?yàn)镸N?（2）依題意有CN=（22，-22，1），所以22x-22y+z=0，22y+12因?yàn)閚1·n2=例2．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分析：一種思路是不建系,利用基向量法證明D1M與平面另一種思路是建立空間直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算證明D1M與平面EFB11內(nèi)的兩個不共線向量都垂直；還可以在建系的前提下，求得平面EF證明：（1）因?yàn)镋，F(xiàn)，M分別為棱AB，BC，B1B的中點(diǎn),所以D1M=D1B1+B1M=DA+DC+12B1B，而B1E=B1B+BE另外兩種解法學(xué)生去解決.例3如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)分析：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線進(jìn)行證明.解：如圖所示,分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，在CC1上任取一點(diǎn)Q,連接BQ，D1Q.設(shè)正方體的棱長為1,則O12,12,0,P0(方法一)因?yàn)镺P=－12,－12,12,BD1=(AP=－1,0,12,BQ=(－1,0,m),當(dāng)m=12時,AP=BQ,即AP∥BQ,有平面PAO∥平面D(方法二)設(shè)平面PAO的法向量為n=（x，y，z）,則OP?n=0AP?n=0，即因?yàn)槠矫鍰1BQ∥平面PAO，所以n⊥平面D1BQ所以－1+2m=0，m=12.故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時,平面設(shè)計(jì)意圖：通過三個例子對用向量方法表示幾何位置關(guān)系、用向量方法證明一些立體幾何中的定理進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，加深對用向量方法解決問題的理解，學(xué)生在實(shí)踐中加強(qiáng)練習(xí)，懂得運(yùn)用方法進(jìn)行問題解決，嘗試自主實(shí)踐，進(jìn)行遷移應(yīng)用．三、課堂練習(xí)1.長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DA=2，DC=33.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn)，E是B1C的中點(diǎn).參考答案：1.證明過程詳見解析解析：RS=RC+∴RS=PQ，∴RS∥PQ，即RS2．證明過程詳見解析解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N2，32，4，E0，32，4，F(xiàn)(1，3，4).∴MN=1，32，0,EF=1，32，0，3．存在，理由詳見解析解析：假設(shè)存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B1DF.不妨設(shè)AF=b，則F(2a，0，b)，CF=(2a，-2a，b)，B1F=(2a，0，b-3a)，B1D=22a，22a，0.∵CF·B1D=a2-a2+0=0，∴CF⊥B1D恒成立.由B1F·CF=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a四、課堂小結(jié)1.利用空間向量證明平行/垂直關(guān)系：設(shè)向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n平行關(guān)系：l//m或l與m重合?

l//m?

l=km；l//α或l?a?

l垂直關(guān)系：l⊥m?

l⊥m；l⊥α?

2.利用空間向