2021-2022學(xué)年山西省臨汾市東下坪中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年山西省臨汾市東下坪中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.滿足{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A的個(gè)數(shù)（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：D【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【分析】由題意得1，3和5可能是集合B的元素，把集合B所有的情況寫出來(lái)．【解答】解：∵{1，3}∪A={1，3，5}，∴1和2和3可能是集合B的元素，則集合B可能是：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，5，3}共4個(gè)．故選D．2.（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合?U（A∪B）={1，3}，A∩?UB={2，4}，則集合B等于（） A． {1，3，5，6，7} B． {2，4，5，6，7} C． {5，6，7} D． {1，2，3，4}參考答案：C考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．專題： 集合．分析： 將集合關(guān)系用Venn圖進(jìn)行表示即可得到結(jié)論．解答： 作出對(duì)應(yīng)的Venn圖，由圖象知B={5，6，7}，故選：C點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用Venn圖表示集合關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．3.對(duì)于函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的是(

)A．內(nèi)是遞增的 B．f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．f（x）的最小正周期為2π D．f（x）的最大值為1參考答案：B【考點(diǎn)】二倍角的余弦；兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的對(duì)稱性．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】函數(shù)f（x）解析式前兩項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后得到一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，周期性，以及值域，即可做出判斷．【解答】解：函數(shù)f（x）=﹣1=（cos2x+sin2x﹣cos2x+sin2x）=sin2x，令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的遞增區(qū)間為，k∈Z，當(dāng)x∈（，）時(shí)，2x∈（，π），此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，且正弦函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)B正確；∵ω=2，∴最小正周期T==π，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵﹣1≤sin2x≤1，∴f（x）=sin2x的最大值為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的對(duì)稱性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．4.函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，其中P是圖象的最高點(diǎn)，A，B是圖象與x軸的交點(diǎn)，則（

）A. B. C. D.參考答案：D函數(shù)的周期為，四分之一周期為，而函數(shù)的最大值為，故，由余弦定理得，故.5.不等式的解集是

A．

B．

C．

D．

參考答案：B6.已知是第三象限角，且，則所在的象限是（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：Dα是第三象限角，則,.當(dāng)時(shí)，有，所以位于第四象限.

7.函數(shù)f（x）=的大致圖象為(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷函數(shù)的圖象．【解答】解：∵f（﹣x）==f（x），且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，即函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A，B當(dāng)x＞1是函數(shù)y=lg|x|為增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)y=lg|x|為減函數(shù)，當(dāng)x＞0，函數(shù)y=為減函數(shù)，故函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）為減函數(shù)，故圖象為先增后減，故排除C，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的圖象的識(shí)別，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．8.設(shè)集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，則A∩B=(

)A．（﹣4，3） B．（﹣4，2] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3）參考答案：B【考點(diǎn)】區(qū)間與無(wú)窮的概念；交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】由集合A和集合B的公共元素構(gòu)成集合A∩B，由此利用A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，∴A∩B={x|﹣4＜x≤2}，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其去運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．9.如圖,矩形ABCD的長(zhǎng)為π,寬為2,以每個(gè)頂點(diǎn)為圓心作4個(gè)半徑為1的扇形,若從矩形區(qū)域內(nèi)任意選取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D10.已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），則f（4）的值為（）A．16 B．2 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】求出冪函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)值即可．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)為y=xα，∵冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），∴=2α，解得α=．y=x．f（4）==．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的零點(diǎn)為，若，，則n=__________.參考答案：2由零點(diǎn)定理，，，12.（5分）如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積為

．參考答案：8考點(diǎn)： 平面圖形的直觀圖．專題： 空間位置關(guān)系與距離．分析： 根據(jù)題意，把該平面圖形的直觀圖還原為原來(lái)的圖形，得出原來(lái)的圖形是平行四邊形，求出它的面積即可．解答： 根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示；把該平面圖形的直觀圖還原為原來(lái)的圖形，如圖所示；[來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)]∴四邊形A′B′C′D′是平行四邊形，且A′D′=AD=2，B′D′=2BD=4∴平行四邊形A′B′C′D′的面積是A′D′?B′D′=2×4=8．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平面圖形的直觀圖的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．13.函數(shù)的定義域?yàn)開_____________.參考答案：略14.已知向量，滿足且與的夾角為，則

.參考答案：15.設(shè)函數(shù)，已知，則___________.

參考答案：16.設(shè)數(shù)列，分別為正項(xiàng)等比數(shù)列，、分別為數(shù)列與的前項(xiàng)和，且，則 參考答案：17.如果定義在的函數(shù)是偶函數(shù)，則

.參考答案：5如果定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，而具有奇偶性的函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故有，解得又函數(shù)是偶函數(shù)，則由可得故.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的兩個(gè)根x1,x2滿足0<x1<x2<．⑴當(dāng)x(0,x1)時(shí)，證明x<f(x)<x1；⑵設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明x0<．參考答案：證明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因?yàn)閤1，x2是方程f(x)－x=0的根，所以F(x)=a(x－x1)(x－x2)．當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，由于x1<x2，得(x－x1)(x－x2)>0，又a>0，得F(x)=a(x－x1)(x－x2)>0，即x<f(x)．因?yàn)樗詘1－x>0，1+a(x－x2)=1+ax－ax2>1－ax2>0．得 x1－f(x)>0．由此得f(x)<x1．…6分(Ⅱ)依題意知因?yàn)閤1，x2是方程f(x)－x=0的根，即x1，x2是方程ax2+(b－1)x+c=0的根．∴，因?yàn)閍x2<1，所以． …12分略19.已知函數(shù)（是常數(shù)），且，.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性并證明；（3）若不等式成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.參考答案：解：（1）由題意知，.∴將上式聯(lián)立方程組解得.（2）在區(qū)間上是增函數(shù).證明如下：設(shè)，則.∵，∴，，∴，∴，即，∴在區(qū)間上是增函數(shù).（3）∵，，∴，∴，解得或.故的取值范圍是.

20.明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺離地,送行二步恰竿齊,五尺板高離地…”某教師根據(jù)這首詞的思想設(shè)計(jì)如下圖形,已知,,,,,,,則在扇形BCD中隨機(jī)取一點(diǎn)求此點(diǎn)取自陰影部分的概率.參考答案：【分析】設(shè)扇形的半徑為，利用勾股定理求出的值，并求出，求出扇形的面積，并計(jì)算出陰影部分區(qū)域的面積，最后利用幾何概型的概率公式可得出所求事件的概率。【詳解】記“在扇形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自陰影部分”為事件設(shè),則，根據(jù)勾股定理,得，解得：，，由幾何概型概率計(jì)算公式，得.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率公式的應(yīng)用，考查平面區(qū)域幾何概型概率的計(jì)算，解題關(guān)鍵在于求出相應(yīng)區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題。21.提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù).當(dāng)橋上的的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)時(shí)，車流速度是車流密度x的一次函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；（Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀察點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/每小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時(shí)）．參考答案：

略22.如圖，摩天輪的半徑為40m，O點(diǎn)距地面的高度為50m，摩天輪按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，且每2min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最高點(diǎn).（Ⅰ）試確定點(diǎn)P距離地面的高度h（單位：m）關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：min）的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距離地面超過(guò)70m？參考答案：（1）（2）【分析】（1）由圖形知，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在直線為y軸，過(guò)O且與垂直的向右的方向?yàn)閤軸建立坐標(biāo)系，得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，由起始位置得即可得出在時(shí)刻tmin時(shí)P點(diǎn)距離地面的高度的