信號(hào)與線性系統(tǒng)管致中課件系統(tǒng)講稿ch5-3

1四、拉普拉斯反變換

由，常為s的有理函數(shù)

一般形式：

（為實(shí)數(shù)，m、n為整數(shù)）

如

R(s)的拉氏變換為沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)——理想情況

一般情況下：

求拉氏反變換有三種方法：

查表、部分分式展開(kāi)法和圍線積分法（留數(shù)法）

(一）部分分式展開(kāi)法

（）2要點(diǎn)：將分解，逐個(gè)求反變換，再疊加基本形式：

1．的根無(wú)重根[的極點(diǎn)為單階]極零點(diǎn)

極點(diǎn)：

使＝∞的s根值，如為的極點(diǎn)

零點(diǎn)：

使的s根值，

如，

為的零點(diǎn)

求求、

3求系數(shù)的兩種方法

[方法一]（2）式兩邊乘以（）：

令

則

[方法二]用微分求（形式）

——羅彼塔法則

（

)4例1求的反變換

[為真分式，極點(diǎn)為實(shí)數(shù)]

解：

1）求：2）求：【方法一】

【方法二】

用微分求

53）求：例2

[為假分式，極點(diǎn)為實(shí)數(shù)]解：

求的反變換：

求的反變換：

例3求的反變換

[為真分式，極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)]解：

【方法一】

1）求：

得62）求：

3）求：

【方法二】

為二次多項(xiàng)式

72．當(dāng)＝0有重根的情況[有多重極點(diǎn)]設(shè)＝0共有n個(gè)根，其中一個(gè)根s1為p重根，其余為單根（異根），

即令異根項(xiàng)

其系數(shù)的求法如上所述

重根項(xiàng)的求取

（1）求：

式（2）乘以，再令得8（2）求（系數(shù)）

引入

將式（4）對(duì)s取導(dǎo)一次：

將式（5）對(duì)s取導(dǎo)一次，再令得

一般情況：

總結(jié)：

9例求的反變換解：

1）求系數(shù)

單根項(xiàng)

重根項(xiàng)

求

2)求

10（二）

圍線積分法（留數(shù)法）

拉氏反變換：

留數(shù)定理：

上式左邊的積分是在s平面內(nèi)沿一不通過(guò)被積函數(shù)極點(diǎn)的封閉曲線C進(jìn)行的，右邊則是在此圍線C中被積函數(shù)各極點(diǎn)上留數(shù)之和。

為應(yīng)用留數(shù)定理，在求拉氏反變換的積分線（）上應(yīng)補(bǔ)足一條積分線以構(gòu)成一個(gè)封閉曲線。

當(dāng)然要求必須有

或或上式在滿足以下兩個(gè)條件（約當(dāng)引理）時(shí)成立

①

時(shí)，

一致地趨近于零；

②

因子的指數(shù)st的實(shí)部應(yīng)小于，

即

11一般條件①都能滿足（除外），

當(dāng)

或條件②滿足

即積分沿左半圓弧進(jìn)行；積分沿右半圓弧進(jìn)行。因此＝圍線中被積函數(shù)所有極點(diǎn)的留數(shù)之和

留數(shù)的求取：

[的極點(diǎn)即為的極點(diǎn)]

規(guī)則Ⅰ：

若為一階極點(diǎn)，則（Ⅰ）

規(guī)則Ⅱ：

若為p階極點(diǎn)，

則（Ⅱ）

12注意：

若及其導(dǎo)數(shù)時(shí)，需先將分為多項(xiàng)式與真分式之和。

例1求的反變換

解：

(均為左側(cè)極點(diǎn))13例2求，收斂域?yàn)榈臅r(shí)間原函數(shù)

解：

，又若收斂域?yàn)椋?/p>

則兩極點(diǎn)均為左側(cè)極點(diǎn)

若