新高考數(shù)學(xué)真題源復(fù)習(xí)講義之專(zhuān)題01 線(xiàn)性回歸方程（原卷版）

專(zhuān)題1線(xiàn)性回歸方程例1．蟋蟀鳴叫可以說(shuō)是大自然優(yōu)美、和諧的音樂(lè)，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：存在著較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．某地觀(guān)測(cè)人員根據(jù)如表的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，則當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫56次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為（次數(shù)分鐘）20304050602527.52932.536A． B． C． D．例2．已知下列說(shuō)法：①對(duì)于線(xiàn)性回歸方程，變量增加一個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位；②在線(xiàn)性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)越接近于1，則模型回歸效果越好；③兩個(gè)隨機(jī)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1；④互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件；⑤演繹推理是從特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段論”．其中說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4例3．變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線(xiàn)性回歸方程為，則的值為45678.27.86.65.4A． B． C． D．例4．我國(guó)技術(shù)研發(fā)試驗(yàn)在年進(jìn)行，分為關(guān)鍵技術(shù)試驗(yàn)、技術(shù)方案驗(yàn)證和系統(tǒng)驗(yàn)證三個(gè)階段實(shí)施．2020年初以來(lái)，技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，手機(jī)的銷(xiāo)量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了近5個(gè)月來(lái)手機(jī)的實(shí)際銷(xiāo)量，如表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號(hào)12345銷(xiāo)量部5096185227若與線(xiàn)性相關(guān)，且求得線(xiàn)性回歸方程為，則下列說(shuō)法正確的是A． B．與正相關(guān) C．與的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù) D．12月份該手機(jī)商城的手機(jī)銷(xiāo)量約為365部例5．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：012335.57已求得關(guān)于與的線(xiàn)性回歸方程，則的值為．例6．邢臺(tái)市物價(jià)部門(mén)對(duì)市區(qū)的天一城、北國(guó)商城、恒大城、家樂(lè)園、中北世紀(jì)城5家商場(chǎng)的某件商品在7月15號(hào)一天銷(xiāo)售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)元和銷(xiāo)售量件之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：價(jià)格8.591111.5銷(xiāo)售量12675已知銷(xiāo)售量與價(jià)格之間有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，其線(xiàn)性回歸方程是，且，則其中的．例7．已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)：用最小二乘法得到其線(xiàn)性回歸方程為，若數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為1，則．例8．垃圾是人類(lèi)日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污染性，所以需要無(wú)害化、減量化處理．某市為調(diào)査產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)，，2，，，其中和分別表示第個(gè)縣城的人口（單位：萬(wàn)人）和該縣年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸），并計(jì)算得，，，，．（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線(xiàn)性回歸模型進(jìn)行擬合；（2）求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（3）某科研機(jī)構(gòu)研發(fā)了兩款垃圾處理機(jī)器，如表是以往兩款垃圾處理機(jī)器的使用年限（整年）統(tǒng)計(jì)表：使用年限臺(tái)數(shù)款式1年2年3年4年5年甲款520151050乙款152010550某環(huán)保機(jī)構(gòu)若考慮購(gòu)買(mǎi)其中一款垃圾處理器，以使用年限的頻率估計(jì)概率．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，該機(jī)構(gòu)選擇購(gòu)買(mǎi)哪一款垃圾處理機(jī)器，才能使用更長(zhǎng)久？參考公式：相關(guān)系數(shù)．對(duì)于一組具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，，2，，，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．例9．近年來(lái)，高鐵的發(fā)展逐漸改變了人們的出行方式，我國(guó)年高鐵運(yùn)營(yíng)里程的數(shù)據(jù)如表所示．年份20152016201720182019年份代碼12345高鐵運(yùn)營(yíng)里程（萬(wàn)千米）1.92.22.52.93.5（Ⅰ）求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（Ⅱ）每一年與前一年的高鐵運(yùn)營(yíng)里程之差即為該年新增的里程，若用年每年新增里程的頻率代替之后每年新增相應(yīng)里程的概率，求2023年中國(guó)高鐵運(yùn)營(yíng)里程大于或等于5萬(wàn)千米的概率．附：線(xiàn)性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．例10．某地區(qū)2013年至2019年居民純收入（單位：千元）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：年份2013201420152016201720182019年份代號(hào)1234567人均純收入3.94.34.65.45.82018和2019年的居民純收入（單位：千元）數(shù)據(jù)采用隨機(jī)抽樣的方式獲得，用樣本的均值來(lái)代替當(dāng)年的居民人均純收入，其數(shù)據(jù)如下：2018年抽取的居民純收入（單位：千元）數(shù)據(jù)：5.24.86.55.66.07.16.17.35.97.52019年抽取的居民純收入（單位：千元）數(shù)據(jù)：6.27.86.65.87.16.87.27.95.97.7（Ⅰ）求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（Ⅱ）當(dāng)?shù)卣疄榱颂岣呔用袷杖胨剑F(xiàn)從2018和2019年居民純收入（單位：千元）高于7.0千元的樣本中隨機(jī)選擇3人進(jìn)行座談，了解其工作行業(yè)及主要收入來(lái)源．設(shè)為選出的3人中2018年純收入高于7.0千元的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，．例11．為了緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實(shí)施車(chē)牌競(jìng)價(jià)策略，以控制車(chē)輛數(shù)量．某地車(chē)牌競(jìng)價(jià)的基本規(guī)則是：①“盲拍”，即所有參與競(jìng)拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報(bào)價(jià)，每個(gè)人不知曉其他人的報(bào)價(jià)，也不知道參與當(dāng)期競(jìng)拍的總?cè)藬?shù)；②競(jìng)價(jià)時(shí)間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期車(chē)牌配額，按照競(jìng)拍人的出價(jià)從高到低分配名額．某人擬參加2020年12月份的車(chē)牌競(jìng)拍，他為了預(yù)測(cè)最低成交價(jià)，根據(jù)競(jìng)拍網(wǎng)站的公告．統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月參與競(jìng)拍的人數(shù)（見(jiàn)表）月份2020.072020.082020.092020.102020.11月份編號(hào)12345競(jìng)拍人數(shù)（萬(wàn)人）0.50.611.41.7（1）由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)1可用線(xiàn)性回歸模型擬合競(jìng)拍人數(shù)（萬(wàn)人）與月份編號(hào)之間的相關(guān)關(guān)系．請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程：，并預(yù)測(cè)2020年12月份參與競(jìng)拍的人數(shù)．（2）某市場(chǎng)調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)200位擬參加2020年12月份車(chē)牌競(jìng)拍人員的報(bào)價(jià)價(jià)格進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下的一份頻數(shù)表：報(bào)價(jià)區(qū)間（萬(wàn)元），，，，，，頻數(shù)206060302010（ⅰ）求這200為競(jìng)拍人員報(bào)價(jià)的平均數(shù)值和樣本方差（同一區(qū)間的報(bào)價(jià)可用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（ⅱ）假設(shè)所有參與競(jìng)價(jià)人員的報(bào)價(jià)可視為服從正態(tài)分布，且與可分別由（?。┲兴蟮臉颖酒骄鶖?shù)及估值．若2020年12月份實(shí)際發(fā)放車(chē)牌數(shù)量是3174，請(qǐng)你合理預(yù)測(cè)（需說(shuō)明理由）競(jìng)拍的最低成交價(jià)．參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，；②；③若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．④方差．例12．某醫(yī)療專(zhuān)家組為了研究新冠肺炎病毒在特定環(huán)境下一周內(nèi)隨時(shí)間變化的繁殖情況，得到如下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：天數(shù)（天1234567繁殖個(gè)數(shù)（千個(gè)）1123446（1）由如表數(shù)據(jù)可知，可用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（Ⅱ）若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)0.5，則該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．例13．在線(xiàn)教育的發(fā)展，有利于彌補(bǔ)鄉(xiāng)村教育短板，為我國(guó)各地區(qū)教育均衡發(fā)展提供了條件年《政府工作報(bào)告》明確提出發(fā)展“互聯(lián)網(wǎng)教育”促進(jìn)優(yōu)質(zhì)資源共享．下面是年我國(guó)在線(xiàn)教育網(wǎng)絡(luò)使用率的統(tǒng)計(jì)表：年份20152016201720182019使用率1618.820.124.327.2其散點(diǎn)圖如圖：設(shè)日期代碼．（Ⅰ）求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（Ⅱ）根據(jù)線(xiàn)性回歸方程，預(yù)測(cè)2025年我國(guó)在線(xiàn)教育網(wǎng)絡(luò)使用率約達(dá)到多少？附：回歸直線(xiàn)中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式：，．例14．學(xué)校食堂統(tǒng)計(jì)了最近5天到餐廳就餐的人數(shù)（百人）與食堂向食材公司購(gòu)買(mǎi)所需食材（原材料）的數(shù)量（袋，得到如下統(tǒng)計(jì)表：第一天第二天第三天第四天第五天就餐人數(shù)（百人）13981012原材料（袋3223182428（1）根據(jù)所給的5組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的