2010年全國大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽總決賽(答案)

2010年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽答tian27546這是獻(xiàn)給博士論壇一個(gè)禮物轉(zhuǎn)載時(shí)請(qǐng)勿注明是博士論壇一、（20分）計(jì)算下列各題：1．求極限解法1因（*）而（**）將（**）代入（*），然后取極限，得原式上式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，含的項(xiàng)的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為解法2Step1因故Step2因因此(*)于是原式2．計(jì)算，其中為下半球面的上側(cè),.解記為平面的上側(cè)，為下半球面的下側(cè)，是由和所圍成的立體，則，設(shè)則3．現(xiàn)設(shè)計(jì)一個(gè)容積為的圓柱體容器.已知上下兩底的材料費(fèi)為單位面積元，而側(cè)面的材料費(fèi)為單位面積元.試給出最節(jié)省的設(shè)計(jì)方案；即高與的上下底直徑之比為何值時(shí)所需費(fèi)用最少？解設(shè)圓柱體的底半徑為，高為，則，總造價(jià)為，則，由知，解得，，因?yàn)槭俏┮坏鸟v點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，所需費(fèi)用最少.4．已知，，求解因，，故令，則令，，則令，則，因此二、（10分）求下列極限1．,則解設(shè)原式=2．，其中，，解因故原式=三、（10分）設(shè)在處可導(dǎo)，，，，求解設(shè)在處可導(dǎo)，，則四、（10分）設(shè)在上連續(xù)，收斂，求.解令，則因收斂，故，不妨設(shè)，則五、（12分）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，且，，證明：（1）存在使得；（2）存在使得.證（1）記，則函數(shù)，即在上連續(xù)，且，，故由零點(diǎn)存在性定理知存在使得.（2）因故令,則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，使得,,,故由羅爾定理知,存在,.六、設(shè)證因在上有定義，在的某鄰域內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明級(jí)數(shù)條件收斂.，故存在一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有因此（），于是，當(dāng)時(shí)，，，，這表明級(jí)數(shù)發(fā)散，即級(jí)數(shù)發(fā)散.下證原級(jí)數(shù)收斂：由知，，由在的某鄰域內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)知，，因此存在一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有因此且（）.特別地，在上單調(diào)增，于是當(dāng)時(shí)，，.最后由Leibniz判別法知，原級(jí)數(shù)收斂.綜上可知，原級(jí)數(shù)條件收斂.六、（14分）設(shè)為整數(shù)，，證明：方程在內(nèi)至少有一個(gè)根.證記,,則,且當(dāng)時(shí),,,.記，則,因，故函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，且,（若，則左邊的兩個(gè)不等式都成立）,故由零點(diǎn)存在性定理知,存在使得,即.七、（12分）是否存在中的可微函數(shù)使得?若存在，請(qǐng)給出一個(gè)例子；若不存在，請(qǐng)給出證明.解不存在假如存在中的可微函數(shù)則使得，，若，則矛盾。下面只需證明.記，則，,即移項(xiàng)得分解因式得因此八、（12分）設(shè)在上一致連續(xù)，且對(duì)于固定的，當(dāng)自然數(shù)時(shí).證明：函數(shù)序列在上一致收斂于0.證若函數(shù)序列在上不一致收斂于0,則存在一個(gè)正數(shù)使得對(duì)任何正整數(shù)，存在列和使得,可以假設(shè),則因數(shù)列存在收斂子,,,故不妨設(shè).事實(shí)上,由知,對(duì)上述的,存在正整數(shù)使得當(dāng)時(shí),有;由由在上一致連續(xù)知,對(duì)上述的,存在正數(shù)使得當(dāng)知,對(duì)于上述的,存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí),有;時(shí),;取一個(gè)自然數(shù),使得,則,,,,,這與矛盾.廣義的Stirling(斯特林)公式其中為正整數(shù)，,.Stirling(斯特林)公式其中為正整數(shù),.補(bǔ)充題1設(shè)在上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：存在，使得.證因和在上連續(xù)，在，使得內(nèi)可導(dǎo)，且，故由Cauchy中值定理