高中數(shù)學高考66第十一章 概率 高考專題突破6 高考中的概率與統(tǒng)計問題

高考專題突破六高考中的概率與統(tǒng)計問題題型一古典概型與幾何概型例1(1)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，0≤x<1，,lnx＋e，1≤x≤e))在區(qū)間[0，e]上隨機取一個實數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是()A.eq\f(1,e)B．1－eq\f(1,e)C.eq\f(e,1＋e)D.eq\f(1,1＋e)(2)現(xiàn)有2名女教師和1名男教師參加說題比賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)跟蹤訓練1(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為()A.eq\f(7,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9)D.eq\f(2,3)(2)如圖所示，正方形BCDE和正方形ABFG的邊長分別為2a和a，連接CE和CG，現(xiàn)將一把芝麻隨機地撒在該圖形中，則芝麻落在陰影部分的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,20)D.eq\f(3,8)題型二概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用例2(2016·全國Ⅰ)某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖．記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)，n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)．(1)若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式；(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；(3)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？跟蹤訓練2某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中實數(shù)a的值；(2)若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)；(3)若從數(shù)學成績在[40,50)與[90,100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2名學生，求這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的概率．題型三概率與統(tǒng)計案例的綜合應(yīng)用例3某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；(2)已知在被調(diào)查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率．附：P(χ2≥k0)0.1000.0500.010k02.7063.8416.635χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2).跟蹤訓練3某校計劃面向高一年級1200名學生開設(shè)校本選修課程，為確保工作的順利實施，先按性別進行分層抽樣，抽取了180名學生對社會科學類、自然科學類這兩大類校本選修課程進行選課意向調(diào)查，其中男生有105人．在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45人．(1)分別計算抽取的樣本中男生、女生選擇社會科學類的頻率，并以統(tǒng)計的頻率作為概率，估計實際選課中選擇社會科學類的學生人數(shù)；(2)根據(jù)抽取的180名學生的調(diào)查結(jié)果，完成以下2×2列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關(guān)？選擇自然科學類選擇社會科學類合計男生女生合計附：χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k0)0.5000.4000.2500.1500.100k00.4550.7081.3232.0722.706P(χ2≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.8281．在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,0<x≤3，,y>\f(1,x)))所表示的平面區(qū)域內(nèi)的所有格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點)中任取3個點，則該3點恰能作為一個三角形的3個頂點的概率為________．2.如圖所示，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形，且直角三角形中較小的銳角θ＝eq\f(π,6).現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是________．3．(2018·大連模擬)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80的為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？P(χ2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2).4．某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東、西部各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位：千人)，并畫出如下莖葉圖，其中一個數(shù)字被污損．(1)求東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)的概率；(2)該節(jié)目的播出極大地激發(fā)了觀眾對成語知識學習積累的熱情，現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了4位觀眾學習成語知識的周均時間(單位：小時)與年齡(單位：歲)，并繪制了如下對照表：年齡x20304050周均學習成語知識時間y2.5344.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試求回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并預(yù)測年齡為55歲的觀眾周均學習成語知識的時間．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).5．長沙某購物中心在開業(yè)之后，為了解消費者購物金額的分布情況，在當月的電腦消費小票中隨機抽取n張進行統(tǒng)計，將結(jié)果分成6組，分別是[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600]，制成如圖所示的頻率分布直方圖(假設(shè)消費金額均在[0,600]元的區(qū)間內(nèi))．(1)若按分層抽樣的方法在消費金額為[400,600]元區(qū)間內(nèi)抽取6張電腦小票，再從中任選2張，求這2張小票均來自[400,500)元區(qū)間的概率；(2)為做好五一勞動節(jié)期間的商場促銷活動，策劃人員設(shè)計了兩種不同的促銷方案．方案一：全場商品打八折．方案二：全場購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)惠，不重復減免，利用直方圖的信息分析：哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由(直方圖中每個小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的替代值)．6．某校高三期中考試后，數(shù)學教師對本次全部數(shù)學成績按1∶30進行分層抽樣，隨機抽取了20名學生的成績?yōu)闃颖?，成績用莖葉圖記錄如圖所示，但部分數(shù)據(jù)不小心丟失，同時得到如下表所