【高考數(shù)學(xué)專題】專題21 等差等比數(shù)列性質(zhì)的求解策略解題模板-高中數(shù)學(xué)解題模板

等差等比數(shù)列性質(zhì)的解題模板【考點綜述】在數(shù)學(xué)高考中，考查數(shù)列的有關(guān)知識時，常常會涉及對學(xué)生運用數(shù)列“基本量”或“等差、等比數(shù)列的性質(zhì)”解決有關(guān)問題的考查．學(xué)生如能靈活運用“等差、等比數(shù)列的性質(zhì)”解題，則往往收到“事半功倍”的效果．從內(nèi)容上看，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)一直是高考的熱點；在能力方面，要求學(xué)生具備一定的創(chuàng)新能力和抽象概括能力；從命題形式上看，以選擇、填空題為主，難度不大．【解題方法思維導(dǎo)圖預(yù)覽】【解題方法】解題方法模板一：廣義通項法使用情景：涉及等差、等比數(shù)列三項關(guān)系類型解題模板：第一步先確定等差數(shù)列對應(yīng)的項；第二步再根據(jù)等差、等比通項公式廣義定義列式；第三步得出結(jié)論解題模板應(yīng)用：例1在等差數(shù)列中，為其前項和．若，且，則等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解題模板選擇：本題中涉及等差數(shù)列三項關(guān)系，故選取解題方法模板一廣義通項法進行解答．解題模板應(yīng)用：第一步先確定等差數(shù)列對應(yīng)的項；∵是等差數(shù)列，為其前項和，所以數(shù)列是等差數(shù)列，因此數(shù)列第第二步再根據(jù)等差、等比通項公式廣義定義列式；第三步得出結(jié)論：，，故選D練習(xí)：1.正項等比數(shù)列中，存在兩項使得，且，則的最小值是A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由得解得，再由得，所以，所以.考點：數(shù)列與基本不等式.【思路點晴】本題主要考查等比數(shù)列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解決等比數(shù)列的首項和公比，也即求出等比數(shù)列的基本元，在求解過程中，先對具體的數(shù)值條件進行化簡，可求出，由此化簡第一個條件，可得到；接下來第二步是基本不等式常用的處理技巧，先乘以一個常數(shù)，再除以這個常數(shù)，構(gòu)造基本不等式結(jié)構(gòu)來求.2.在正項等比數(shù)列中，，則的最小值為_______.【答案】20【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，則，由于是等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為20.考點：等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式.解題方法模板二：項等距法使用情景：已知涉及各項項數(shù)成等距類型解題模板：第一步觀察各項項數(shù)的等距特征；第二步利用等差、等比性質(zhì)化簡；第三步得出結(jié)論．解題模板應(yīng)用：例2等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解題模板選擇：本題中具有項數(shù)成等距特征，故選取解題方法模板二等距法進行解答．解題模板應(yīng)用：第一步，觀察各項數(shù)的等距特征；因為第二步，利用等差、等比性質(zhì)化簡；由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以．．則，第三步，得出結(jié)論：故選B．練習(xí)：3.在等差數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，將已知式子和所求式子都轉(zhuǎn)化為，即可求解【詳解】因為在等差數(shù)列中，，所以.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得，再結(jié)合對數(shù)運算，即可求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以..則，故選：B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，涉及對數(shù)運算，屬綜合基礎(chǔ)題.5.在等比數(shù)列中，若，，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把代入中，用上即可【詳解】解：是等比數(shù)列故選：C【點睛】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求值，基礎(chǔ)題.6.已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時，__________________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：因為，l，2，…，且，所以=n（2n-1）．考點：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．點評：簡單題，在等比數(shù)列中，．解題方法模板三：和項等距法使用情景：已知涉及各和項項數(shù)成等距類型解題模板：第一步觀察各和項項數(shù)的等距特征；第二步利用等差、等比性質(zhì)化簡；第三步得出結(jié)論．解題模板應(yīng)用：例3已知等比數(shù)列的前項和為，已知，則（）A．－510B．400C．400或－510D．30或40【答案】B【解析】解題模板選擇：本題中涉及各和項項數(shù)成等距，故選取解題方法模板三和項等距法進行解答．解題模板應(yīng)用：第一步，觀察各和項項數(shù)等距特征；因為依次為連續(xù)10項的和第二步，利用等差、等比性質(zhì)化簡；所以依次構(gòu)成等比數(shù)列，舍負．第三步，得出結(jié)果．故選B．練習(xí)：7.等比數(shù)列前n項和為，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比，從而列出關(guān)系式，又，接著用表示，代入到關(guān)系式中，可求出的值.【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和為，則成等比，且，所以，又因為，即，所以，整理得.故答案為：.【點睛】本題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，是一道基礎(chǔ)題。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比.8.如果一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有A.13項 B.12項 C.11項 D.10項【答案】A【解析】【詳解】試題分析：設(shè)這個數(shù)列有n項，則，因此即，則，故；考點：1．等差數(shù)列的性質(zhì)，2．等差數(shù)列的前n項和公式；解題方法模板四：數(shù)列函數(shù)性質(zhì)法使用情景：涉及數(shù)列最值范圍問題．解題模板：第一步根據(jù)條件化簡揭示一元函數(shù)關(guān)系；第二步根據(jù)函數(shù)性質(zhì)、方程有解、不等式成立等轉(zhuǎn)化列式；第三步解得結(jié)果．解題模板應(yīng)用：例4若等差數(shù)列滿足，則的最大值為__________．【答案】【解析】解題模板選擇：本題中涉及和項最值問題，故選取解題方法模板四函數(shù)性質(zhì)法進行解答．解題模板應(yīng)用：解題模板：第一步根據(jù)條件化簡揭示一元函數(shù)關(guān)系；數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為，所以，因為，所以，所以，所以．因為，所以，所以，所以，第二步根據(jù)函數(shù)性質(zhì)、方程有解、不等式成立等轉(zhuǎn)化列式；因為方程有解，所以，第三步解得結(jié)果．所以，則的最大值為．故答案為：．練習(xí)：9.已知等差數(shù)列，滿足，，且數(shù)列的前n項和有最大值，那么取最小正值時，（）A.4037 B.4036 C.4035 D.4034【答案】A【解析】【分析】由題意易得該數(shù)列為遞減數(shù)列，且前2019項為正數(shù)，從第2020項開始為負數(shù)，由等差數(shù)列求和公式的性質(zhì)可得，，，即得答案.【詳解】因為數(shù)列的前n項和有最小值，所以數(shù)列是遞減的等差數(shù)列又，，所以即數(shù)列的前2019項為正數(shù)，從第2020項開始為負數(shù)，由等差數(shù)列求和公式和性質(zhì)可知，，所以當(dāng)取最小正值時，4037故選：A【點睛】本題考查由等差數(shù)列求和公式的性質(zhì)求數(shù)列的前n項和的最小正數(shù)值時的項數(shù)，屬于中檔題.10.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，若，，，則的最大值為A.3 B.4 C. D.【答案】B【解析】【詳解】∵S4≥10，S5≤15

∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15

∴a5≤5，a3≤3

即：a1+4d≤5，a1+2d≤3

兩式相加得：2（a1+3d）≤8

∴a4≤4

故答案是411.若等差數(shù)列的公差，前n項和為，若，都有，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，都有，可得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷.【詳解】等差數(shù)列的公差，，都有，，.故選：.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且公比，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先將等式展開，并根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進一步化簡，然后提煉出與的關(guān)系式，即可解得的取值范圍．【詳解】由，得∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，∴又，∴．∵，∴，故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式與等比數(shù)列的性質(zhì)，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算．13.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，其前項積為，且，則取得最大值時，的值是（）A.9 B.8或9 C.10或11 D.9或10【答案】D【解析】【分析】首先求出首項和公比，解不等式組，代入通項公式求解出即可【詳解】（法一）∵等比數(shù)列，其前項積為，且.∴，∴，∴.故.∵，所以前項積有.又因為，所以為前項積的最大值.（法二）∵，.∴.當(dāng)時，有最大值，解得.∴時，有最大值.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列前項積的最大值.其實質(zhì)是求等差數(shù)列前項和的最值的變型.第一步：求出等比數(shù)列首項，公比.第二步：解不等式組.滿足不等式組的的值，即為使前項積取最大值時的項數(shù).解題方法模板五：和項與通項綜合性質(zhì)法使用情景：涉及和項與通項綜合問題．解題模板：第一步利用通項估計和項符號；第二步根據(jù)等差數(shù)列和項性質(zhì)求最值；第三步得出結(jié)果．解題模板應(yīng)用：例5{an}為等差數(shù)列，若，且它的前n項和Sn有最小值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時，n＝（）A．2019B．2020C．4039D．4040【答案】C【解析】解題模板選擇：本題涉及和項與通項綜合問題，故選取解題方法模板五和項與通項綜合性質(zhì)進行解答．解題模板應(yīng)用：第一步利用通項估計和項符號；若，且它的前n項和Sn有最小值，∴a2019＜0，a2020＞0．∴a2019+a2020＜0．第二步根據(jù)等差數(shù)列和項性質(zhì)求最值；S4038＝2019（a1+a4038）＝2019（a2019+a2020）＜0．S40394039a2020＞0．第三步得出結(jié)果．那么當(dāng)Sn取得最小正值時，n＝4039．故選：C．練習(xí)：14.若等差數(shù)列中，，則（）A.1000 B.500 C.250 D.50【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得,再由等差數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式可得故選：B.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.已知等差數(shù)列的前n項和為，且，當(dāng)時，n的值為（）A.20 B.21 C.22 D.23【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性、性質(zhì)，求和公式列出不等式，求解即可.【詳解】因為且，所以，所以數(shù)列首項為負，單調(diào)遞增，第11項開始為正，因為，所以，因為，，所以，故選：A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，考查了運算能力，屬于中檔題.16.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差性質(zhì)可知,即可求得,進而求得的解.【詳解】等差數(shù)列,,則有.,.故選:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的求和,三角函數(shù)求值,難度較易.17.已知函數(shù)在上單調(diào)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，則的前100項的和為A.300 B.100 C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)y＝f（x﹣2）的圖象關(guān)于x＝1軸對稱，平移可得y＝f（x）的圖象關(guān)于x＝﹣1對稱，由題意可得a50+a51＝﹣2，運用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，計算即可得到所求和．【詳解】函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)，且函數(shù)y＝f（x﹣2