【高考數(shù)學(xué)專題】多項選擇題的解題策略-高考數(shù)學(xué)（高考數(shù)學(xué)題型解題策略與方法）復(fù)習(xí)

綠色備課經(jīng)濟復(fù)習(xí)高考新題型解題策略【高考題型解題策略與方法】一、多項選擇題的求解策略多項選擇題是選擇題的一種，它具有備選答案不唯一，存在多個正確選項的特點．它由一個題干和四個備選項組成，備選項中至少2個正確最符合題意選項和1個干擾項，所選正確答案一般是2個或3個。如果應(yīng)考者所選答案中有錯誤選項，該題得零分，不倒扣分；如果答案中沒有錯誤選項，但正確選項未全數(shù)選出，則得2分；如果答案中沒有錯誤選項，并全數(shù)選出正確選項，則該題得5分。多項選擇題各選擇支干擾因素的設(shè)計大致分為六種類型，即(1)條件疏漏(將容易疏漏的條件所產(chǎn)生的結(jié)果設(shè)計為干擾項)；(2)實際背景忽視(細心模擬學(xué)生的演算過失和差錯，得到迷惑性較強的干擾項，對提高試題的針對性和鑒別力十分有效)；(3)概念混淆(針對學(xué)生容易混淆的概念、性質(zhì)設(shè)計干擾項)；(4)題意誤解(讀題不慎，審題不細，誤解題意，由此引發(fā)的錯誤結(jié)論設(shè)計為干擾項)；(5)推理錯亂(由不合邏輯的推理而造成的錯誤結(jié)果設(shè)計為干擾項)；(6)思維定式(熟悉的內(nèi)容，相似的形式，常會令人產(chǎn)生類比與聯(lián)想，可能產(chǎn)生負遷移，由此導(dǎo)致的錯誤設(shè)計為干擾項)．一、依據(jù)概念辨析設(shè)計考題[典例1](2020·新高考全國卷Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1()A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為eq\r(n)C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))xD．若m＝0，n>0，則C是兩條直線[解析]對于A，當(dāng)m>n>0時，有eq\f(1,n)>eq\f(1,m)>0，方程化為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確．對于B，當(dāng)m＝n>0時，方程化為x2＋y2＝eq\f(1,n)，表示半徑為eq\r(\f(1,n))的圓，故B錯誤．對于C，當(dāng)m>0，n<0時，方程化為eq\f(x2,\f(1,m))－eq\f(y2,－\f(1,n))＝1，表示焦點在x軸上的雙曲線，其中a＝eq\r(\f(1,m))，b＝eq\r(－\f(1,n))，漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))x；當(dāng)m<0，n>0時，方程化為eq\f(y2,\f(1,n))－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1，表示焦點在y軸上的雙曲線，其中a＝eq\r(\f(1,n))，b＝eq\r(－\f(1,m))，漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))x，故C正確．對于D，當(dāng)m＝0，n>0時，方程化為y＝±eq\r(\f(1,n))，表示兩條平行于x軸的直線，故D正確．綜上可知，正確的選項為ACD.[答案]ACD[點評]正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)的條件、結(jié)論、內(nèi)涵和外延，可采用直接法判斷某選項的正確性，也可采用反例法、特值法等排除某些不符合題目要求的選項，理解同一問題在不同條件、不同背景下的多樣性這一辯證思維方法．二、通過運算推理設(shè)計考題[典例2](2021·新高考全國卷Ⅰ)已知為坐標(biāo)原點，點，，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【解析】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC[點評]利用數(shù)學(xué)運算法則、性質(zhì)、定理及常用方法對題干中的數(shù)學(xué)問題進行變形、轉(zhuǎn)化、推理、計算，結(jié)合各選擇支給出的結(jié)論進行判斷，從而達到得出正確選擇結(jié)果之目的．此類題目難度較大，數(shù)學(xué)知識、方法考查量大，一般作為壓軸題呈現(xiàn)．借用變量分類設(shè)計考題[典例3](2020·新高考全國卷Ⅰ)正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時，的周長為定值B.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時，有且僅有一個點，使得D.當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【解析】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當(dāng)時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當(dāng)時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設(shè)，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．四、依托幾何位置設(shè)計考題[典例4](2020·新高考全國卷Ⅰ)已知點在圓上，點、，則（）A.點到直線的距離小于B.點到直線的距離大于C.當(dāng)最小時，D.當(dāng)最大時，【答案】ACD【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【解析】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.[點評]位置關(guān)系的多選題往往由不合邏輯的推理而造成錯誤，解決此類問題可以通過構(gòu)造符合題意的直觀模型，然后利用模型直觀地做出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯誤，如對于線面、面面位置關(guān)系(平行、垂直)的判定，可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷，也可用特殊值法．五、借助思維情境設(shè)計考題【典例5】信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（）A若n=1，則H(X)=0B.若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C.若，則H(X)隨著n的增大而增大D.若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【分析】對于A選項，求得，由此判斷出A選項的正確性；對于B選項，利用特殊值法進行排除；對于C選項，計算出，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項的正確性；對于D選項，計算出，利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項的正確性.【解析】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機變量的所有可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選AC?！拘〗Y(jié)】多項選擇題的解題方法也可采用直接選擇法、排除法、比較法和邏輯推理法，但一定要慎用感覺猜測法。應(yīng)考者做多項選擇題時，要十分慎重，對正確選項有把握的，可以先選；對沒有把握的選項最好不選，寧“缺”勿“濫”。在做題時，應(yīng)注意多選題至少有2個正確答案，如果已經(jīng)確定了2個（或以上）正確選項，則對略有把握的選項，最好不選；如果已經(jīng)確定的正確選項只有1個，則對略有把握的選項，可以選擇。如果對每個選項的正誤均無把握，可以使用感覺猜測法，至少可以隨機猜選一個。總之，要根據(jù)自已對各選項把握的程度合理安排應(yīng)答策略[跟蹤訓(xùn)練]1．已知雙曲線：（）的一條漸近線方程為，則下列說法正確的是（）．A．的焦點在軸上 B．C．的實軸長為6 D．的離心率為【答案】AD解：由，可知雙曲線的焦點一定在軸上，故A正確；根據(jù)題意得，所以，故B錯誤；雙曲線的實軸長為，故C錯誤；雙曲線的離心率，故D正確．故選AD．2.函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的圖象關(guān)于點成中心對稱C．將的圖象向左平移個單位后與的圖象重合D．若則【答案】ACD，時，，此時遞增，A正確；，B錯誤；將的圖象向左平移個單位后得解析式，C正確；易知函數(shù)周期為，因此當(dāng)則，D正確．故選：ACD．3．已知數(shù)列的前項和為,則下列說法正確的是（）1.已知logeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(a))x＋logeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(a))y＝loga(ax2)＋loga(ay2)(a>1)，當(dāng)x≥1，y≥1時，下列結(jié)論中正確的是()A.動點(logax，logay)在圓心坐標(biāo)為(1，1)，半徑為2的圓上B．logaxy的最小值為1＋eq\r(3)C．logaxy的最小值點為x＝a1＋eq\r(3)或x＝1D．logaxy的最大值為2＋2eq\r(2)[解析]令X＝logax，Y＝logay，因為x≥1，y≥1，a>1，所以X≥0，Y≥0，這時原式可化為(X－1)2＋(Y－1)2＝4(X≥0，Y≥0)，故問題轉(zhuǎn)化為在約束條件下，求X＋Y的最大值與最小值．再令X＝1＋2cosθ，Y＝1＋2sinθ，由X≥0，Y≥0得－eq\f(π,6)≤θ≤eq\f(2π,3)，于是logaxy＝X＋Y＝2＋2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).因為eq\f(π,12)≤θ＋eq\f(π,4)≤eq\f(11π,12)，當(dāng)θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)時，(logaxy)max＝2＋2eq\r(2)，此時x＝a1＋eq\r(2)，當(dāng)θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,12)或eq\f(11,12)π時，(logaxy)min＝1＋eq\r(3)，此時x＝a1＋eq\r(3)或x＝1，綜上A、B、C、D均正確．[答案]ABCD4．(多選)(2021·全國統(tǒng)一考試模擬演練)已知函數(shù)f(x)＝xln(1＋x)，則()A．f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增B．f(x)有兩個零點C．曲線y＝f(x)在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))處切線的斜率為－1－ln2D．f(x)是偶函數(shù)解析：選ACf(x)＝xln(1＋x)定義域為(－1，＋∞)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(x,x＋1).選項A，當(dāng)x＞0時，f′(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(x,x＋1)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故A正確；選項B，當(dāng)－1＜x＜0時，f′(x)＜0，f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，又因為f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(0)＝0，所以f(x)≥0且只有一個零點，故B錯誤；選項C，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋1))＋eq\f(－\f(1,2),－\f(1,2)＋1)＝－1－ln2，故C正確；選項D，因為f(x)的定義域為(－1，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，所以f(x)不是偶函數(shù)，故D錯誤．5.(多選)在底面邊長為6米，高為3米的正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1教室內(nèi)，寬為1米的黑板MNOP處在教室正前方中間，如圖，則下列說法中正確的是()A.平面MNOP⊥平面B1F1FBB．AF上某學(xué)生Q看黑板的縱向視角(即∠PQM)最大時，QF＝eq\r(2)C．當(dāng)∠PQM最大時，PQ與黑板平面所成角為30°D．當(dāng)∠PQM最大時，PQ與黑板平面所成角為45°解析：選ABC因為在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，EF⊥BF，又FF1⊥平面AD，EF?平面AD，所以EF⊥FF1，于是EF⊥平面B1F1FB，而EF?平面MNOP，所以平面MNOP⊥平面B1F1FB，所以A正確．設(shè)AF上某學(xué)生Q與點F的距離為x，tan∠MQF＝eq\f(1,x)，tan∠PQF＝eq\f(2,x)，所以tan∠PQM＝eq\f(\f(2,x)－\f(1,x),1＋\f(2,x)·\f(1,x))＝eq\f(1,x＋\f(2,x))≤eq\f(1,2\r(2))，當(dāng)且僅當(dāng)QF＝x＝eq\r(2)時，取得最大，所以B正確．過Q點向EF引垂線QS，垂足為S(圖略)，則eq\f(QS,QF)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，QS＝eq\f(\r(6),2)，又PQ＝eq\r(6)，所以PQ與黑板平面所成角為30°，C正確，D不正確.6.正方體中，E是棱的中點，F(xiàn)在側(cè)面上運動，且滿足平面.以下命題