如何準(zhǔn)確地刻畫無限接近這一過程呢

如何準(zhǔn)確地刻畫無限接近這一過程呢?十九世紀(jì)以前，人們用樸素的極限思想計(jì)算了圓的面積、體積等．十九世紀(jì)之后，柯西以物體運(yùn)動(dòng)為背景，結(jié)合幾何直觀，引入了極限概念．后來，維爾斯特拉斯給出了形式化的數(shù)學(xué)語言描述．極限概念的創(chuàng)立，是微積分嚴(yán)格化的關(guān)鍵．它奠定了微積分學(xué)的基礎(chǔ)．背景

1.2函數(shù)的極限

1.2.1

函數(shù)的極限的概念

（一）函數(shù)的極限

（二）函數(shù)的極限

1.2.2單側(cè)極限

1.2.3數(shù)列的極限

1.2.4無窮大與無窮小

1.2.5函數(shù)極限的運(yùn)算

一、案例

二、概念和公式的引出

三、進(jìn)一步練習(xí)1.2.1函數(shù)極限的概念（一）一、案例將一盆800C的熱水放在一間室溫為200C的房間里，水的溫度將逐漸降低，隨著時(shí)間的推移，水溫會(huì)越來越接近室溫200C。案例1[水溫的變化趨勢(shì)

]

在某一自然保護(hù)區(qū)中生長的一群野生動(dòng)物，其群體數(shù)量會(huì)逐漸增長，但隨著時(shí)間的推移，由于自然環(huán)境保護(hù)區(qū)內(nèi)各種資源的限制，這一動(dòng)物群體不可能無限地增大，它應(yīng)達(dá)到某一飽和案例2[自然保護(hù)區(qū)中動(dòng)物數(shù)量的變化規(guī)律]

狀態(tài)，如右圖所示.飽和時(shí)野生動(dòng)物群的數(shù)量．狀態(tài)就是時(shí)間

二、概念和公式的引出

當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限當(dāng)自變量設(shè)函數(shù),（或）的絕對(duì)值無限增大時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于，則稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作．

三、進(jìn)一步練習(xí)

練習(xí)1(讓取值越來越大)．0.0000010.000010.00010.0010.010.111000000100000100001000100101x

…

…

…-0.00001-0.0001-0.001-0.01-0.1-1

…-100000-10000-1000-100-10-1x-1000000-0.000001下面考察函數(shù)在自變量時(shí)的變化情況可以觀察出，當(dāng)自變量與0無限接近．

時(shí)，

練習(xí)2[并聯(lián)電路電阻]

一個(gè)5的電阻器與一個(gè)電阻為R的可變電阻并聯(lián)，電路的總電阻，當(dāng)可變電阻總電阻的極限，即.通過列表法或圖形法可知:這條支路斷路時(shí)電路的總電阻為時(shí)電路的

一、案例

二、概念和公式的引出

三、進(jìn)一步練習(xí)1.2.1函數(shù)極限的概念（二）一、案例[人影長度

]

考慮一個(gè)人沿直線走向路燈的正下方時(shí)其影子的長度．若目標(biāo)總是燈的正下方那一點(diǎn)，燈與地面的垂直高度影子長度越來越短，當(dāng)人越來越接近）時(shí)，其影子的長度越來越短，逐漸趨于0

（）。為H。由日常生活知識(shí)知道，當(dāng)此人走向目標(biāo)時(shí)，其目標(biāo)（當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限

二、概念和公式的引出

)或(若函數(shù)f(x)當(dāng)自變量x無限趨近于時(shí)無限趨近于x0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于常數(shù)A，則稱A為函數(shù)其中“l(fā)im”代表極限(limit)，極限符號(hào)下面的表示自變量x無限趨近于時(shí)無限趨近于x0

．時(shí)的極限，記作f(x)當(dāng)為了正確理解函數(shù)極限的概念，下面就函數(shù)極限說明兩點(diǎn)(1)x趨近于x0的方式是任意的，即x既可能從x0的左側(cè)趨近于x0，也可能從x0的右側(cè)趨近于x0，而相應(yīng)的函數(shù)值都應(yīng)無限接近于A．

有定義無關(guān)．

(2)與函數(shù)f(x)在x0處是否觀察下面6個(gè)函數(shù)圖形從上圖可以看出，當(dāng)

，只有(a)、(b)、(c)中的函數(shù)f(x)、g(x)、h(x)趨近于l，即

(a)(b)(c)(d)(e)(f)函數(shù)在處無意義

三、進(jìn)一步練習(xí)

練習(xí)1時(shí)，當(dāng)討論函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。分母分子，由此可見，當(dāng)時(shí)，函數(shù)．0.92.711.0013.0031?函數(shù)讓（）取值，3，0.990.999

2.97

2.997

1.01

1.1

3.03

3.31

練習(xí)2[人影長度的極限分析]

即設(shè)H為路燈的高度，h為人的高度，x為人離目標(biāo)的距離。由解出人影高度為，其中是常數(shù)，當(dāng)人越來越接近路燈的目標(biāo)（）時(shí)，顯然，人影高度

一、案例

二、概念和公式的引出

三、進(jìn)一步練習(xí)1.2.2單側(cè)極限一、案例[矩形波形曲線分析

]

矩形波在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)為函數(shù)處的極限是多少？在

二、概念和公式的引出

函數(shù)單側(cè)極限(左極限、右極限

)

若函數(shù)f(x)當(dāng)自變量x從x0的左側(cè)（右側(cè)）

無限趨近于x0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于某個(gè)常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)在x0處的左（右）極限，記作

（或）函數(shù)極限與函數(shù)左右極限的關(guān)系

三、進(jìn)一步練習(xí)

練習(xí)1[矩形波分析]下圖所示的矩形波的函數(shù)表達(dá)式為因?yàn)樗?，此函?shù)在x=0處的極限不存在．而

練習(xí)2[電流]在一個(gè)電路中的電荷量Q由下式定義其中C、R為正的常數(shù)值，分析電荷量Q在時(shí)間

時(shí)的極限．解因?yàn)橛捎冢?/p>

一、案例

二、概念和公式的引出

三、進(jìn)一步練習(xí)1.2.3數(shù)列的極限一、案例[圓面積的計(jì)算

]

用圓的內(nèi)接或外切多邊形窮竭的方法求圓面積和圓周長。割圓術(shù)

An，這樣得到一數(shù)列“割圓術(shù)”求圓面積的作法和思路：A1，A2，A3，…，An，…先作圓的內(nèi)接正三邊形，把它的面積記作A1，再作內(nèi)接正六邊形，其面積記作A2，再作內(nèi)接正十二邊形，其面積，其面積記作A3，…，照此下去，把圓的內(nèi)接正3×2n-1(n=1,2,…)邊形的面積由圖形可以直觀看出An圓的面積。

二、概念和公式的引出

數(shù)列的極限

若對(duì)于數(shù)列｛xn｝,當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)xn無限接近于常數(shù)A，則稱A是數(shù)列｛xn｝的極限，或稱數(shù)列｛xn｝收斂于A，記作或若數(shù)列｛xn｝沒有極限，則稱數(shù)列｛xn｝是發(fā)散的。三、進(jìn)一步練習(xí)

練習(xí)1[循環(huán)數(shù)]

觀察循環(huán)數(shù)列的變化趨勢(shì)，可以看出，隨著項(xiàng)數(shù)n的無限增大，此數(shù)列無限接近于1，即

練習(xí)2[彈球模型]

一只球從100米的高空掉下，每次彈回的高度為，這樣下去，用球第上次高度的

次的高度來表示球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則得數(shù)列從數(shù)列的變化趨勢(shì)可以看出，隨著次數(shù)n的無限增大，數(shù)列無限接近于0，即

練習(xí)3[存款分析]

若某人有本金A元，銀行存款的年利率為r，不考慮個(gè)人所得稅．試建立此人n年末的本利和數(shù)列，并分析此數(shù)列的極限，解釋其實(shí)際意義．解

n年末的本利和為其實(shí)際意義為：存款時(shí)間越長，本利和越大，當(dāng)存款時(shí)間無限長時(shí)，本利和也無限增大．

一、案例

二、概念和公式的引出

三、進(jìn)一步練習(xí)1.2.4無窮大與無窮小一、案例[洗滌效果]

在用洗衣機(jī)清洗衣物時(shí)，清洗次數(shù)越多，衣物上殘留的污質(zhì)就越少。當(dāng)洗滌次數(shù)無限增大時(shí)，衣物上的污質(zhì)量趨于零。

二、概念和公式的引出

無窮小無窮大若，則稱函數(shù)f(x)當(dāng)時(shí)為無窮小（量）。若當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)的絕對(duì)值無限增大，則稱f(x)當(dāng)時(shí)為無窮大(量)。記作．注：無窮小是一個(gè)變量，而不是常量。很小的數(shù)除0外）都不是無窮小。無窮小和無窮大的關(guān)系是無窮小是無窮大。注：同理，無窮大也是一個(gè)變量，而不是常量。很大的數(shù)（如1萬，1億等）都不是無窮大。三、進(jìn)一步練習(xí)

練習(xí)1[單擺運(yùn)動(dòng)]

單擺離開鉛直位置的偏度可以用角θ來度量，如下圖所示．這個(gè)角可規(guī)定當(dāng)偏到一方（如右方）時(shí)為正，而偏到另一方（如左方）為負(fù)．如果讓單擺自己擺，則由于機(jī)械摩擦力和空氣阻力，振幅就不斷地減小．在這個(gè)過程中，角θ是一個(gè)無窮小量．

練習(xí)2[游戲銷售]

銷售量會(huì)迅速增加，然后開始下降，其函數(shù)請(qǐng)計(jì)算游戲推出后第6個(gè)月、第12(2)如果要對(duì)該產(chǎn)品的長期銷售做出當(dāng)推出一種新的電子游戲程序時(shí)，在短期內(nèi)為月份。關(guān)系為，個(gè)月和第三年的銷售量.預(yù)測(cè)，請(qǐng)建立相應(yīng)的表達(dá)式.解(1)8.82359.83615.1576即無窮大的倒數(shù)為無窮小(2)從上面的數(shù)據(jù)可以看出，隨著時(shí)間的推移，游戲.人們購買此游戲會(huì)越來越少，從而轉(zhuǎn)向購買新的時(shí)的銷售量.該產(chǎn)品的長期銷售應(yīng)為時(shí)間上式說明當(dāng)時(shí)間時(shí)，銷售量的極限為0，即

一、案例

二、概念和公式的引出

三、進(jìn)一步練習(xí)1.2.5函數(shù)極限的運(yùn)算一、案例用列表法或圖形法討論較復(fù)雜的函數(shù)的極限，不僅下表列出在x=0處附近取值時(shí)的函數(shù)值．00.249910.009900.000000005？我們可能會(huì)估計(jì)，但這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的．工作量大，而且還不一定準(zhǔn)確，如求

二、概念和公式的引出

極限的四則運(yùn)算法則

設(shè)則，（1）（2）（3）極限的四則運(yùn)算法則表明函數(shù)和、差、積、商(分母0極限不為0)的極限等于它們極限的和、差、積、商．法則1、2可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形.注：復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則

設(shè)由函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)與滿足，而函數(shù)f(u)在a點(diǎn)連續(xù)，則另外，下面給出一個(gè)重要極限通過圖形法（見下圖）和列表法（見下表）可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)10.50.10.01…0.8414710.958850.998330.99998…三、進(jìn)一步練習(xí)

練習(xí)1[細(xì)菌培養(yǎng)]

已知在時(shí)刻t（單位：min）容器中的細(xì)菌個(gè)為（k為常數(shù)）(見下圖)．(1)若經(jīng)過30min，細(xì)菌個(gè)數(shù)增加一倍，求k值；(2)預(yù)測(cè)時(shí)容器中細(xì)菌的個(gè)數(shù)．解

(1)時(shí)刻t容器中的細(xì)菌個(gè)數(shù)為

經(jīng)過30分鐘，即t+30時(shí)細(xì)菌個(gè)數(shù)為

由題意知，

解之，得

。(2)由此可知，當(dāng)時(shí)間無限增大時(shí)，容器中的細(xì)菌個(gè)數(shù)也無限增大．

練習(xí)2[產(chǎn)品價(jià)格預(yù)測(cè)]

隨著時(shí)間的推移，產(chǎn)品價(jià)格會(huì)隨之變化，請(qǐng)你對(duì)設(shè)一產(chǎn)品的價(jià)格滿足(單位：元)，該產(chǎn)品的長期價(jià)格做一預(yù)測(cè).解下面通過求產(chǎn)品價(jià)格在時(shí)的極限來分析該產(chǎn)品的長期價(jià)格．(元)即該產(chǎn)品的長期價(jià)格為20元．

練習(xí)3[產(chǎn)品利潤中的極限問題]

已知某廠生產(chǎn)x個(gè)汽車輪胎的成本為(元)生產(chǎn)x個(gè)汽車輪胎的平均成本為，當(dāng)產(chǎn)量很大時(shí)，每個(gè)輪胎的成本大致為,試求這個(gè)極限．解

柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857），十