第26課時(shí) 全等三角形

第26課時(shí)三角形全等一、知識鏈接1、命題與定理定義：判斷一件事情的語句叫做命題。命題的組成：命題都是由和兩局部組成，題設(shè)事項(xiàng)，結(jié)論是由事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。命題的形式：命題通常寫成“如果……那么……〞的形式?！叭绻暫竺媸穷}設(shè)，“那么〞后面是結(jié)論。命題的真假：正確的命題是，錯(cuò)誤的命題是。判斷一個(gè)命題為假命題時(shí)，只需舉出一個(gè)反例；要論證一個(gè)命題是真命題時(shí)，那么需要加以推理和證明。逆命題：假設(shè)兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果把其中的一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。定理：經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理?；ツ娑ɡ恚阂话愕兀绻粋€(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么這個(gè)逆命題也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理互為逆定理。2、反證法定義：先假設(shè)命題中結(jié)論的反面成立，推出與條件或是定義、定理等相矛盾，從而結(jié)論的反面不可能成立，借此證明原命題結(jié)論是成立的，這種證明的方法叫做反證法。步驟：〔1〕假設(shè)命題的結(jié)論的反面成立；〔2〕從假設(shè)的結(jié)論出發(fā)，推出矛盾；〔3〕由矛盾的結(jié)果說明假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論是正確的。方法：〔1〕有些用直接證法不易證明的問題?？煽紤]反證法；〔2〕證明唯一性和存在性問題常用反證法。3、全等三角形定義：能夠完全的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。4、全等三角形的性質(zhì)性質(zhì)：〔1〕對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等；〔2〕對應(yīng)線段〔角平分線、中線、高〕相等，周長相等，面積相等。5、全等三角形的判定一般三角形的判定有四種：，，，。直角三角形全等，除了可用以上方法外，還有。注意：“AAA〞和“SSA〞不能判定兩個(gè)三角形全等。二、基訓(xùn)熱身1．〔2022?廣州〕命題：“如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的面積相等〞寫出它的逆命題：，該逆命題是_____命題〔填“真〞或“假〞〕．2．〔2022?莆田〕如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，BE=CF，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ABC≌△DEF．3．〔2022?婁底〕如圖，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，應(yīng)添加的條件是〔添加一個(gè)條件即可〕．〔〔圖1〕〔圖2〕4．〔2022?宜賓〕如圖，：在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求證：AD=BC．中考教練類型一三角形全等的條件【例1】〔2022?鐵嶺〕如圖，在△ABC和△DEB中，AB=DE，還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是〔〕A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D【點(diǎn)析】此題考查三角形全等的判定方法，關(guān)鍵是注意：〔1〕邊和角要對應(yīng)相等；〔2〕SSA不能判定兩個(gè)三角形全等．反應(yīng)1〔2022?安順〕如圖，AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加以下一個(gè)條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是〔〕A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC類型二三角形全等的證明【例2】〔2022?瀘州〕如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且AE⊥BF，垂足為點(diǎn)G．求證：AE=BF．【點(diǎn)析】關(guān)健是找到全等三角形。如果一個(gè)圖形中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的直角，那么可考慮用同角的余角相等來證明角相等。反應(yīng)2〔2022?荊州〕如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D在AB上，連結(jié)BE。請找出一對全等三角形，并說明理由.類型三全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用【例3】〔2022?懷化〕如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分線．求證：〔1〕△ABE≌△AFE；〔2〕∠FAD=∠CDE．【點(diǎn)析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，第2問可證明△AFD≌△DCE，也可利用外角的性質(zhì)進(jìn)行證明。反應(yīng)3等邊△ABC中，D是AB邊上一動點(diǎn)，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE?！?〕求證：AE∥BC?！?〕假設(shè)△ABC的邊長為cm，D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求四邊形ABCE的面積。類型四三角形全等的應(yīng)用【例4】〔2022岳陽〕如圖，兩個(gè)邊長相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的頂點(diǎn)E固定在正方形ABCD的對稱中心位置，正方形EFGH繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)它們重疊局部的面積為S，旋轉(zhuǎn)的角度為θ，S與θ的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是〔〕ABCDABCD【點(diǎn)析】關(guān)鍵是注意到點(diǎn)E是正方形ABCD的對稱中心，故可過點(diǎn)E向AB\BC邊作垂線段，從而構(gòu)造全等三角形。反應(yīng)4〔2022?四川〕如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔〕A． B． C． D． 四、總分值訓(xùn)練一、選擇題1．〔2022·東營〕以下命題中是真命題的是〔〕A．如果a2=b2，那么a=bB．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形對應(yīng)點(diǎn)所連線段相等D．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.2．〔2022·貴陽〕如圖1，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需要添加一個(gè)條件是〔〕A．∠BCA=∠FB．∠B=∠EC．BC∥EFD．∠A=∠EDF3．如圖2，將兩根鋼條AA′、BB′的中點(diǎn)O連在一起，使AA′、BB′能繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個(gè)測量工具，那么的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定≌的理由是〔〕A．SASB．ASAC．SSSD．HL〔〔圖2〕〔圖1〕4．以下判斷中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．有一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等5．〔2022·瀘州〕如圖3，在等腰直角中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點(diǎn)P。那么以下結(jié)論：〔1〕圖形中全等的三角形只有兩對；〔2〕的面積等于四邊形CDOE面積的2倍；ABCDEOABCDEOP〔圖3〕〔4〕其中正確的結(jié)論有〔〕A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)二、填空題6．〔2022·白銀〕如圖，BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，那么應(yīng)添加的一個(gè)條件為AC=CD．〔答案不唯一，只需填一個(gè)〕7．〔2022·黑龍江〕如圖4，己知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，那么只需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是〔填一個(gè)即可〕〔〔圖4〕〔圖5〕8．如圖6，AD=AE，BE=CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝50°，那么∠C＝〔圖6〕9．〔2022·臨沂〕如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點(diǎn)E，使EC=BC，過點(diǎn)E作EF⊥AC交CD的延長線于點(diǎn)F，假設(shè)EF=5cm，那么AE=〔圖6〕10．〔2022·泰安〕如圖8，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，假設(shè)AB=5㎝，CD=3㎝，那么EF的長是㎝?！矆D8〔圖8〕〔圖7〕〔圖6〕三、解答題11．〔2022?玉林〕如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求證：△ABC≌△AED．12．〔2022?北京〕如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE。求證：BC=AE。13．〔2022鞍山〕如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE．〔1〕求證：CE=CF；〔2〕假設(shè)點(diǎn)G在AD上，且∠GCE=45°，那么GE=BE+GD成立嗎？為什么？14．〔2022?蘇州,〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、F分別在AB、AC上，CF=CB，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，連接EF．〔1〕求證：△BCD≌△FCE；〔2〕假設(shè)EF∥CD，求∠BDC的度數(shù)．15．〔2022·河南〕〔1〕如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE。填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是?！?〕如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900,點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE。請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。一、知識鏈接1．題設(shè)，結(jié)論，真命題，假命題3．重合5．SSS，SAS，ASA，AAS，HL二、基訓(xùn)熱身1．如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等。假2．AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠F或AC∥DF3．∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠BEC或AE=AD或CE=BD4．證明：∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE〔AAS〕，∴AD=BC．三、中考教練例1．C；反應(yīng)1．B例2．證明：∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∴∠ABG+∠CBF=90°，∵AE⊥BF，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠BAG=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF〔ASA〕，∴AE=BF．反應(yīng)2．解：△ACD≌△BCE理由：∵△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝90°∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE例3．證明：〔1〕∵EA是∠BEF的角平分線，∴∠1=∠2，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE〔AAS〕；〔2〕法一：∵△ABE≌△AFE，∴AB=AF，∵四邊形ABCD平行四邊形，∴AB=CD，AD∥CB，AB∥CD，∴AF=CD，∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，∵∠B=∠AFE，∠AFE+∠AFD=180°，∴∠AFD=∠C，在△AFD和△DCE中，，∴△AFD≌△DCE〔AAS〕，∴∠FAD=∠CDE．法二：∵△ABE≌△AFE，∴∠B=∠AFE，∵四邊形ABCD平行四邊形，∴∠B=∠ADC，∴∠AFE=∠ADC，又∵∠AFE=∠FAD+∠ADF，∠ADC=∠CDE+∠ADF，∴∠FAD=∠CDE.反應(yīng)3．解：〔1〕∵△ABC、△EDC是正三角形，∴∠ACB=∠ECD，∴∠DCB=∠ECA,在△DBC與△EAC中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠DCB=∠EAC，,BC=AC，,DC=EC,))∴△DBC≌△EAC(SAS),∴∠EAC=∠B=60°，又∵∠ACB=60°∴∠EAC=∠ACB∴AE∥BC.〔2〕∵△ABC是正三角形，D為AB的中點(diǎn)∴，∴∵△DBC≌△EAC∴，，∴S四邊形AECB=(cm2)例4．B；反應(yīng)4．A總分值訓(xùn)練1－5：DBABC6．AC=CD或∠B=∠E或∠A=∠D7．∠ACB=∠DBC或AB=CD8．60°9．310．111．證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED〔AAS〕．12．13．〔1〕證明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF〔SAS〕．∴CE=CF．〔2〕解：GE=BE+GD成立．理由是：∵由〔1〕得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG〔SAS〕．∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．14．〔1〕證明：∵將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE〔SAS〕．〔2〕解：由〔1〕可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．15．解:〔1〕①60；②AD=BE.提示：〔1〕①可證△CDA≌△CEB,∴∠CEB=∠CDA=120°，又∠CED=60°，∴∠AEB=120°－60°=60°.②可證△C