專題集合第四緝教師版含解析2015-2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競(jìng)賽和歷屆各省市預(yù)賽試題分類匯編

備戰(zhàn)2022年高中數(shù)賽之分類匯編(2015-04【202110個(gè)不|同點(diǎn)??1(??1??1)??2(??2??2)??10(??10??10)，若????=????或????=????,則稱????與????為一個(gè)“同標(biāo)點(diǎn)對(duì)”(不考慮????與????的次序).10個(gè)不同點(diǎn)滿足：與每個(gè)點(diǎn)構(gòu)成“同標(biāo)點(diǎn)對(duì)”的點(diǎn)均不超過(guò)??5個(gè)點(diǎn)對(duì)，錢個(gè)點(diǎn)對(duì)都不是“同標(biāo)點(diǎn)對(duì)”.求??的最大值.【答案】)))105個(gè)點(diǎn)對(duì)，每個(gè)點(diǎn)對(duì)都不是“同標(biāo)點(diǎn)對(duì)”.所以??≤4105對(duì)、設(shè)為{??1??1}{??2??2}{??3??3}{??4??4}{??5若????與????(??=1,2,3,4,5)均不構(gòu)成“同標(biāo)點(diǎn)對(duì)”，只需按上述分法即可若存在某對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成“同標(biāo)點(diǎn)對(duì)”Q1，R1構(gòu)成“同標(biāo)點(diǎn)對(duì)”，考慮如下的調(diào)整方法：1:將{??1,??1},{??2??2}換為{??1,??2}{??1,??2},共余組不變:2:將{??1??1}{??2??2}換為{??1??2}{??1??2},其余組不變3:將{??1??1}{??3??3}換為{??1??3}{??1??3},其余組不變4:將{??1??1}{??3??3}換為{??1??3}{??1??3},5:將{??1??1}{??4??4}換為{??1??4}{??1??4},6:將{??1??1}{??4??4}換為{??1??4}{??1??4},7:將{??1??1}{??5??5}換為{??1??5}{??1??5},其余組不變8:將{??1??1}{??5??5}換為{??1??5}{??1??5},其余組不變由于??1,??1除了??1,??1外，至多各還有3個(gè)點(diǎn)與之構(gòu)成“同標(biāo)點(diǎn)對(duì)”，故上述8種方法中必存在法，使綜上,??【2021年高中數(shù)賽A卷二試】求具有下述性質(zhì)的最小正數(shù)??：對(duì)任意整數(shù)??≥4，以及集合??{1,2??},若|??|>????,則存在函數(shù)????→{11},滿足|∑??(??)???|≤【解析】所求最小的??=3首先,當(dāng)??6??={1,4,5,6}時(shí),不存在滿足要求的??(因?yàn)??16,且??8子集的并).此時(shí)|??|=2??,故??<2不具有題述性質(zhì) 下面證明??=2符合要求,即當(dāng)3

>23

引理:設(shè)??1,??2,?,????是正整數(shù),總和為??,且??<2??,則對(duì)任意整數(shù)??∈[0,??],存在指標(biāo)集???{1,2,?,??},滿足∑??∈I????=??(對(duì)空指標(biāo)集求和認(rèn)為是零引理的證明：對(duì)??歸納證明.??=1時(shí),只能??1=??=1,結(jié)論顯然成立.假設(shè)??>1,且結(jié)論在???1時(shí)成立.不妨設(shè)??1≤??2≤?≤????,則??+??+?+ ≤???1?(??+??+?+??)<???1?2??=2(???1) 又由于??1??2?????1≥??因此????≤??≤1+??1+??2+?+ 對(duì)任意整數(shù)??∈[0,??],若??≤??1+??2+?+?????1,由①及歸納假設(shè)知存在指標(biāo)集???{1???1},使得????=??.若??≥1+??1+??2?????1,則對(duì)???????用歸納假設(shè)(由②知???????≥0),存在指標(biāo)集???{1???1},使得∑??∈??????=???????.此時(shí)指標(biāo)集??′=??∪{??}?{1,2??}滿足∑??∈??′????=??.引理獲證.回到原問(wèn)題.注意到??≥4,分兩種情形討論(1)|??|為偶數(shù),設(shè)|??|=2??.??中元素從小到大依次記為??1<??1<??2<??2<?<????<令????=????????>0,1≤??≤??,則??=∑??????=(??????1∑???1(????+1????≤??1(??1)????<2??(2??=|??|>2??).??,??,?,

3

1

1,??∈??=[]∈0,??利用引理可知存在???{1,2,?,??},使得??∈??????=[],令????= ?1,??∈{1,2,?,??}?則∑????(?????)=

??=1

??=1????????=[]?(???[])=2[]???∈{0, 從而結(jié)論成立（只需令??(????)=???????(????)=??1,即可(2)|??|為奇數(shù),設(shè)|??|=2??1,則??≥1.將??中元素從小到大依次記為??<??1<??1<?<????<令????=?????????>0,1≤??≤??同情形(1可知??=??1??2????<2??又顯然有??≥??由于2??+1=|??|>2??,故??≤3??+1.從而??≤???2??≤??+1≤??+3因??,??,?,

滿足引理的條件,對(duì)??,??,?,??

??+??]∈[0??]用引理,可知存在???{1,2??},使得1

1

??=2

????=??=[21,??∈令??= ?1,??∈{1,2,?,??}?則|???+∑??????|=|???+

? ??|=|???+???(?????)|=|2[??+??]?(??+??)|≤??=1??

??∈??

??≠?? 從而結(jié)論成立（只需對(duì)??∈??令??(????)=?1??(????)=1對(duì)??∈{1,2??}???令??(????)=1??(????)=?1并令??(??)=?1即可【2021年高中數(shù)賽B卷二試】求最大的正整數(shù)??,使得存在8個(gè)整數(shù)??1,??2,??3,??4和??1,??2,??3,??4,滿足:{0,1??}?{|?????????|∣1≤??<??≤4}∪{|?????????|∣1≤??<??≤4}.【答案】【解析】設(shè)??符合要求,則整數(shù)??1??2??3??4??1??2??3??4滿足:0,1??都屬于集合??∪其中??={|????????|∣1≤??<??≤4},??={|?????????|1≤??<??≤注意到0∈??∪??,不妨設(shè)0∈??,則??1??2??3??4中必有兩個(gè)數(shù)相等,不妨設(shè)??1=于是??={0|?????????|∣2≤??<??≤4},所以|??|≤13=4又|??|≤??2=6,故??+1≤|??∪??|≤|??|+|??|≤10,得??≤4另一方面,令(??1??2??3??4)=(0,0,7,8)(??1??2??3??4)=(0,4,6,9)，則??={0,1,7,8},??={2,3,4,5,6,9}即0,19都屬于集合??【2020高中數(shù)賽B卷（第02試】設(shè)集合??={1,2,?,19}.是否存在集合A的非空子集??1,??2,滿??1∩??2=?,??1∪??2=??1??24個(gè)元素設(shè)??2=1,2,x,y﹐2<x<y≤19,則121912?????=故x=7,y=12是一組解,=則這樣的??1??2滿足條件【2020年預(yù)賽】設(shè)m是給定的正整數(shù).證明:對(duì)于任意給定的正整數(shù)??(???2),均存在集合??{??1,??2,?,????}?

,使得對(duì)于任意的正整數(shù)??(1??????),均有

∣(??+??(??)),其中,??(??)表示集合??的元積【解析】(1)證明??=1時(shí),結(jié)論成立.對(duì)??(???2)進(jìn)行歸納證明.當(dāng)??=2時(shí),取??1=1??2=2,知結(jié)論成立假設(shè)結(jié)論對(duì)???1(???3)成立,即存在?????1={??1??2?????1}???+，對(duì)于任意的正整數(shù)??(1???????1),均有

∣(1+令????=??(?????1)+1.????={??1,??2,?,????}?顯然,??(????)=??(?????1)(??(?????1)+故1=1+=1+??(?????1)+??(?????1) )

當(dāng)1???????1時(shí),顯然

|(1+

∣(1+當(dāng)??=??時(shí),1+??(????)=1+

)=????

∣(1+故結(jié)論對(duì)??也成立由歸納原理,知對(duì)于任意給定的正整數(shù)??(???2),均存在集合??={??1??2????}???+使得對(duì)于任意的正整數(shù)??(1??????),

∣(1+因此,當(dāng)??=1時(shí),原結(jié)論成立(2)證明???2時(shí),結(jié)論成立當(dāng)??=2時(shí),令??1=1??2=??+1,易知結(jié)論成立當(dāng)???3時(shí),由（1）,知存在??={??1??2?????1}???+使得對(duì)于任意的正整數(shù)??(1???????1),均有

∣(1+取????=??(??)+??,??={??1,??2,?,????}???+從而,??(??)=??(??)????故??=??+=??(1+??(??))+??(??) 當(dāng)1???????1時(shí),顯然

|(1+

∣(??+當(dāng)??=??時(shí),??+??(??)=??+??(??)=

∣(??+于是,結(jié)論對(duì)???3也成立因此,當(dāng)???2時(shí),原結(jié)論成立綜上,對(duì)任意的正整數(shù)??,結(jié)論都成立【2019年】設(shè)V是空間中2019個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，其中任意四點(diǎn)不共面.某些點(diǎn)之間連有線段，記E為這些線段構(gòu)成的集合.nEnE908個(gè)二Hn個(gè)頂點(diǎn)，m條邊，則一定可以將其邊集劃分為??[]個(gè) 集， 2m≤km=k+1時(shí)，考慮所有葉子頂點(diǎn)??1??2????，若有兩片葉子????????BAiBAjB[ [2

]=2

]?1個(gè)二集且兩兩不相交，結(jié)論成立否則設(shè)??1??2????分別接在頂點(diǎn)??1??2????上，若存在1≤??≤??????2BiAi，C相連，將????????否則對(duì)任意1??≤????(????)>2，將??1??2????去掉，得圖??′，則在??′中沒(méi)有葉子結(jié)點(diǎn)，??′連通，則??′為一【2019年浙江預(yù)賽】設(shè)??是有限集，??為正整數(shù)，??是包含??個(gè)子集的子集族:??={??1??2如果??中的部分子集構(gòu)成的集族??滿足:對(duì)??中任意兩個(gè)不相等的集合?????，???????????為反鏈.設(shè)??1為包含集合最多的反鏈，??2是任意反鏈.證明存在??2到??1的單射??，滿足???∈??2??(??)???或?????(??)【解析】記|??1|??，稱包含??個(gè)元素的反鏈為最大反鏈，最大反鏈可能不唯一稱??的子集??為鏈，如果???,??∈????????????之一成立，我們證明結(jié)論??可以拆分為??個(gè)鏈 (1≤??≤??)的并(即Dilworth定理對(duì)??進(jìn)行歸納證明.??=1顯然成立設(shè)命題對(duì)??1成立，先假設(shè)存在一個(gè)最大反鏈??，使得??中既有集合真包含??中的某個(gè)集合，也有集合是??中即??1={????∈??|????包含??中的某個(gè)集合??2={????∈??|????是??中的某個(gè)集合的子集則??1????2??均是????1S??2??都可以拆成??個(gè)鏈的并.??1S中的鏈以??中的元素開(kāi)始，??2∪??中的鏈以??中的元素結(jié)束.將這些鏈“接”起來(lái)就將??分成了??條鏈.現(xiàn)在假設(shè)不存在這樣的反鏈，從而每個(gè)最大反鏈要么滿足??1，要么滿足??2.前者意味著??中的子集都小子集?????，將??,??都去掉.用歸納假設(shè)將剩下的集合拆分成??1條鏈，再加上鏈?????即可.如果其中之一【2019年預(yù)賽】已知集合??={2,0,1,9},??是??的子集,且??中各元和為3的倍數(shù),則滿足條件的子?? 【答案】【2019高中數(shù)賽A卷（第02試】設(shè)V是空間中2019個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，其中任意四點(diǎn)不共面某E為這些線段構(gòu)成的集合.n，滿足條件:En個(gè)元素，則E一定含有908個(gè)二集，其中每個(gè)二集中的兩條線段有公共端點(diǎn)，且任意兩個(gè)二集的交為【答案】G=(V，E)GG|??|個(gè)兩兩無(wú)公共邊的角(這里[a]a[2部分引理的證明:E的元素個(gè)數(shù)|E|歸納證明.當(dāng)|E|=0，1，2，3時(shí)，結(jié)論顯然成立.Ga、bGa、b這兩條邊后，剩下的圖含有一個(gè)連通分支包含|E|－2條邊.對(duì)這個(gè)連通分支應(yīng)用歸納假設(shè)即得結(jié)論成立.G中的最長(zhǎng)路????1??2????，其中??1??2????是互不相同的頂點(diǎn).G情形1:deg(??1)?2.由于P是最長(zhǎng)路，v1的鄰點(diǎn)均在??2,?,????中，設(shè)??1????∈??，其中3≤i≤k.則 v1v1v1成為孤立點(diǎn)，其余頂點(diǎn)仍互相連通.總之在剩下的圖中有通分支含有|E|－2條邊.2:deg(??1)=1deg(??2)=2.則{??1??2??2??3}G中刪去這兩條邊后，??1??2都成為孤立點(diǎn)，其余的點(diǎn)互相連通，因此有通分支含有|??|?2條邊.情形3:deg(??1)=1,deg(??2)?3，且v2與??4,?,????中某個(gè)點(diǎn)相鄰. 中刪去這兩條邊后，v1成為孤立點(diǎn)，其余點(diǎn)互相連通，因此有通分支含有|??|?2條邊4:deg(??1)=1deg(??2)?3v2與某個(gè)???{??1??3????}相鄰.Pu??2????之中.因{??1??2??2??}Gv1是孤立點(diǎn)uv2u也是孤立點(diǎn)，而其余點(diǎn)互相連通.uuvi，3≤i≤k，則刪去所述邊后，除v1外其余點(diǎn)互相連通.總之，剩下的圖中有通分支含有|??|?2條邊引理獲證VE設(shè)??={??1??2??2019}.在??1??2??6115條邊(例如??1??2??1??3共連了??2?15=181561個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖是連通圖.201－61=1958個(gè)角必須使用??,??,?,

相連的邊，因此至多有[1815]=907個(gè)兩兩無(wú)公共邊的角.n

1 另一方面，若|E|≥2795，可任意刪去若干條邊，只考慮|??|2795的情形Gk個(gè)連通分支，分別有??1????個(gè)點(diǎn)，及??1????條邊.下面證明??1????979個(gè)奇數(shù)反證法，假設(shè)??1????980個(gè)奇數(shù)由于??1????=2795是奇數(shù)，故??1????981個(gè)奇數(shù)，k≥981.不妨設(shè)??1??2,?,??981都是奇數(shù)，顯然??1,??2,?,??981?2.令??=??981?????2，則有C2?????(1????980C2>??981 故2795=

?????C2+

利用組合數(shù)的凸性，即對(duì)x≥y≥3，有C2+C2? + ，可知當(dāng)m1，…，m980，m由980個(gè)2以及

個(gè)59構(gòu)成時(shí)，??2+ ??2取得最大值

于是??2+

???2+980??2=2691<

這與①.從而??1,?,????中至多有979個(gè)奇數(shù)

其中??= []?(∑??=1?????979)=(2795?979)= n【2018M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，MSS3個(gè)元素a，b，c（不必不同a+b+c≠0.S的元素個(gè)數(shù)的最大值.【答案】SB.若??=?，則|??|=|??|≤2018；若??=?，則|??|=|??|≤A、B非空的情形XY，記??+??={??+??|??∈??，??∈??}???={???|??∈中元素≤－1A+B中元素≤2017；同理，A+B中元素≥－1027.）.∵a1+b1<a2+b1<a3+b1<…<ak+bl<ak+b2<…<∴A+Bk+l－1個(gè)元素，即結(jié)合?????{??|??∈??，且|??|≤2017}????????，且(??????)=?，可得(??????)?又由?2018???+??，2018???+??k=1，2，3，…，1009，k2018－kS，－k與－2018+k中也至少有一個(gè)不屬S.因此，|A|≤1009，|B|≤1009. =2018，因此，|??|≤綜上可得，|??|≤【2018年湖南預(yù)賽】已知集合??={??|2<??<3}??={??|??<??<??+若????=??m的取值范圍若????≠??m的取值范圍2]（2）(?11,3)(1)∵集合??={??|?2<??<3}??={??|??<??<∴{??≤??+9≥

，解得?6≤??≤m的取值范圍是(2)∵集合??={??|2<??<3}??={??|??<??<A∩B=?時(shí)，3≤??m+9≤?2，m≥3m≤?11，m的取值范圍是【2018年預(yù)賽】已知正整數(shù)n都可以唯一表示為??=??0+??1?9+??2?92+?+?????9?? 形式，其中m為非負(fù)整數(shù)，????∈{0,1,?,8}（??=0，1,?,???1，????∈{1,?,8}.試求①中的數(shù)列??0??1??2????n的和AB分別表示①中數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增和遞減的所有正整數(shù)構(gòu)成的集合.S（M）表示數(shù)集M中所有數(shù)的和，并將滿足①式的正整數(shù)記為??=?????????1???1??0.A分成如下兩個(gè)不交子集??0={??∈??|??0=0}和??1={??∈??|??0≠0我們有??(??)=??(??0)=對(duì)任意??∈??1，令??(??)=9??∈??0，則??是??1到??0的雙射由此得??(??0)=9??(??1)，從而??(??)=又對(duì)任意??=?????????1??0∈??，令??=??(??)=(9?????)(9??????1(9???0)∈??1，gB到??的雙射，其中??+??=9??+1+9??+?+9=9(9??+1?1). 因?yàn)??={?????????1??0|1≤????<?????1<?<??0≤8??=0,177B中共有7

????+1個(gè)元素，因此??(??)+??(??)=9

????+1(9??+1???=0 ??=08 ??

8= 8

?8∑??=0

=8

?2又令??2表示A中最數(shù)????=8的正整數(shù)全體，A中其余的數(shù)和零所構(gòu)成的集合記為??3，則??(??)=??(??2)+??(??3).對(duì)任意??=?????????1??0∈??，令??=??(??)=(8?????)(8??????1(8???0)∈則??B到??3的雙射，其中????89??89???189??+1所以??(??)+??(??)= ????+1(9??+1?1)= ????(9???1)=108? ??=0 ??=0最后對(duì)任意??=8??????0∈??2{8}，令??=??(??)=(8?????(8???0)∈則??是??2?{8}B的雙射，其中??+??=8?9??+1+8?9??+?+8=9??+2?所以??(????(??8

????+1(9??+2? ??=088=8+8

????(9??+1?1)=9?108???(??)+1??(??)=9(108?于是 2??(??)+??(??)=109?解之得??(??)=31×109+80 ，??(??) 由于A和B中都含有1，2，…，8，因此所求正整數(shù)的和等于??(??)+??(??)?36 【2018年山東預(yù)賽】證明對(duì)所有的正整數(shù)??4，存在一個(gè)集合????由都小于2???1的??當(dāng)??=4時(shí)，取??={3,5,6,7}，則??其次，當(dāng)??≥5時(shí)，令??={323242???22???1?32???1?22???1?1}．令??(??)表示集合??的所有元和，要證明的目標(biāo)是??(??)≠不妨設(shè)????，注意到，對(duì)任意?????均有1242???12??1所以，當(dāng)??=2???1?3，??=2???1?2，??=2???1?1都不屬于??∪??時(shí)，均有??(??)≠??(??)．進(jìn)一步，由于3+23+24+?+2???2=2???1?5，所以當(dāng)??、??、??中恰有一個(gè)屬于??∪??時(shí)，例如??∈??，將有??(??)>??(??)，此時(shí)??(??)≠??(??)；類似地討論??、??、??3個(gè)同時(shí)屬于??∪??時(shí)，均可得出??(??)≠??(??)．綜上所述，當(dāng)??≥4時(shí)滿足條件的??【2018年江西預(yù)賽】將前12個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合??={1,2,?,12}中的元素分成四個(gè)三集，使得每個(gè)三集中的三數(shù)都滿足：其中一數(shù)等于另外兩數(shù)之和，試求不同的分法種數(shù)．【答案】設(shè)四個(gè)子集為????=(????????????)，??=1，2，3，4，其中????=????+????，????>????，??=設(shè)??<??<??<??，則

=12，??+??+??+??=1(1+2+?+12)=78=

所以??1??2??3=27，故3??3>27，因此10≤??3≤若??3=10，則由??1??2=17，??2<10，2??2>??1??2=17，得??2=9，??1=8，即有(??1,??2,??3,??4)=(8,9,10,12)，再由8=??1??1，9=??2??2，10=??3??3，12=??4+必須??4=11，??4=1，共得兩種情況：12=111，10=73，9=54，8=62；以及12=11+1，10=6+4，9=7+2，8=5+3，對(duì)應(yīng)于兩種分法：若??3=11，則??1??2=16，于是8<??2<11，分別得(??1??2)=(6,10)，(7,9)．對(duì)于(??1,??2,??3,??4)=(6,10,11,12)，得到三種分法：對(duì)于(??1??2??3??4)=(7,9,11,12)，也得三種分法：【2018高中 賽A卷（第02試】設(shè)n、k、m是正整數(shù)，滿足k≥2，且?????<2???1??.設(shè)A{1，2，…，m}的n集

)a－a'【解析】用反證法.假設(shè)存在整數(shù)??∈(0,

1，2，…，mxxxrq+1項(xiàng)，xr個(gè)等差q項(xiàng).AxAx為公差的等差數(shù)列的相鄰兩項(xiàng).從

?????+1 2?2??=|??|???

?+(?????)??=

???2

+ 由條件，我們有??>

??=??

(????+ 又??∈(0,

)，故??>(??? 情形一q是奇數(shù).則由①知，?????? 2結(jié)合②，④可知，?????+1???>??(????+??)?

???? 再由q是奇數(shù)可知，q≤2k－3，于是????????+1?(???1)??，與③2q是偶數(shù).則由①知，?????2

+ 結(jié)合②，⑤可知，??????????>??(????+??)

<

??

q是偶數(shù)可知，q≤2k－4，于是?????2

+???(???2)??+??<(???與③【2018高中數(shù)賽B卷（第02試】設(shè)集合A={1，2，…，n}，X、Y均為A的非空子集(允)【答案】22???2??(??+【解析】先計(jì)算滿足max??min??的有序集合對(duì)(X，Y)的數(shù)目.m=maxXX是集合2，…，m－1}的任意一個(gè)子集與{m}的并，故共有2???1種取法minY≥MY是{m，m+1，…，n}的任意一個(gè)非空子集，共有2??+1????1種取法因此，滿足max???min??的有序集合對(duì)(X，Y)的數(shù)目是(2???1)2????2??+2???1=22???2??(??+1).由于有序集合對(duì)(X，Y)有(2???1)?(2???1)=(2???1)2個(gè)，于是滿足max??>min??的有序集合對(duì)(X，Y)的數(shù)目是(2???1)2????2??+2???1=22???2??(??+1).【2017高中數(shù)賽B卷（第02試】給定正整數(shù)m，證明:存在正整數(shù)k，使得可將正整數(shù)集N+分拆k個(gè)互不相交的子集??1??2????Ai4a、b、c、d(可以相同)ab－k=m+1，令????={??|??≡??mod??+1??∈a，b，c，d∈Ai，則????????≡???????????=0mod??m+1|ab－cd，而??1???A4a、b、c、d，滿足????????=【2017年河北預(yù)賽】已知集合??={1,2,3,4,?,101},集合?????,且集合??中的最小元素是偶數(shù).(1)若集合??2,13,求滿足條件的集合??的個(gè)數(shù);【答案】(1)1024；(250100 故??的個(gè)數(shù)共有??0+??1+??2+?+??10=210=1024個(gè) (2)設(shè)??=2????=1,250,當(dāng)??中最小元素是??時(shí),最大元素可取????+1最大元素是??的集合??1個(gè);最大元素是??+1的集合??有20個(gè);101的集合??有2101?(???1)個(gè)故最小元素是??的所有集合??的最大元素之和為??=??×1(??1)×20(??2)×21100×299???+101×2100???.記??=(??+1)×20+(??+2)×21+?+100×299???+101× 則2??=(??+1)×21+(??+2)×22+?+100×2100???+101× ①-②得???=(??1221222100???1012101???=??12(2100???11012101???=???1?100×2101???，故??1100故集合{1,2,3,4,?,101}中最小元素是偶數(shù)的所有子集??的最大元和為∑50(1+100×2101?2??)=50

2101?2??=50+100×2(450?1)=?50+100×

【2017年山西預(yù)賽】求所有的正整數(shù)??,使得集合??={1,2,?,4??}可以分拆成??個(gè) 集:??= 對(duì)于每個(gè)子集????={????????????????}(??=1,2??)中的????????????????四個(gè)元素而言,其中的一個(gè)元素等于另外三

????的算術(shù)平均

=????+????+????,則有3

=

+

+?+

)=1+24??=4??(4??+1),因此,2∣2另一方面,當(dāng)2∣??時(shí),集合??確有滿足條件的劃分為此記??=2??,??={1,28??}=∪???1 ????={8??+1,8??+2,?,8??+8}=????∪??′,????={8??+1,8??+3,8??+8,8??+4}{????,????,????,????},??′={8??+2,8??+6,8??+7,8??+5}={??′,??′,??′,??′ ???? 有8??+4=(8??+1)+(8??+3)+(8??+8)8??+5= 【2017年江西預(yù)賽】設(shè)??={12,22,32,?}是由全體正整數(shù)的平方所構(gòu)成的集合；如果數(shù)??能夠表示為【解析】證法一首先,我們可以將前十個(gè)自然數(shù)分別表示為：0=?32?42+521=122=?12?22?3242,3=?12+22,4=22,5=12+22,6=?12?32+42,7=?32+42,8=?12+32,9=再考慮區(qū)間(3242]中的數(shù),其中除了16=42之外,其余的數(shù)??皆可表示為??=42???(1≤??≤6)的形式;并且注意到,在1、2,3、4,5,6中每個(gè)數(shù)的???表示中,凡是表示式有42參與時(shí),42皆以正項(xiàng)形式出現(xiàn),于是由??=42???可知,此時(shí)42被抵消(不會(huì)出現(xiàn)2×42的項(xiàng)因此,區(qū)間(3242]中的數(shù)皆具有???表示,也就是≤42的每個(gè)數(shù)都具有???表示,且其中最大項(xiàng)至多為42,而凡是含下面使用歸納法,假若已證得，≤??2的每個(gè)數(shù)都具有???表示,且其中最大項(xiàng)至多為??2,而凡是含有??2的表示中,??2皆以正項(xiàng)形式出現(xiàn)(其中??≥4).對(duì)于區(qū)間(??2,(??+1)2]中的數(shù),除了最大數(shù)可以直接表示為(??+1)2之外,其余元素??皆可表示為:??=(??+1)2???(1≤??≤2??).由歸納假設(shè),??≥4,則2??<??2,并且此??具有???表示,其中每項(xiàng)皆≤??2.因此,數(shù)??證法二首先,0=?32?42+521=122=?12?22?32+423=?12+224=225=12+22當(dāng)??≥時(shí),2??=(??+1)2??2?122??+1=(??+1)2?【2016A={1，2，…，n}63個(gè)兩兩不相交的子集(它們非空且并集A)A1，A2，…，A63x、yA1(1≤i≤63)x>y，31x≤32y.求滿足條件的n.【答案】63A63于是，對(duì)每個(gè)Ai(1≤i≤63)及任意的x、y∈Ai(x>y)，均有x-y≤x-63，x≤n?32y-31≤32(x-63)-31x=x-32×63≤n-【2016A、B均是由正整數(shù)組成的集合，且|??|=20|??|=16.A滿足以下a、b、m、n∈Aa+b=m+n，則{????????}.定義????={????|??∈??,??∈??}.試確定|????|最小值【答案】記??={??1??2??20??={??1??2??={????????|??=1,220，其中，??=1,2于是，??+??=∪16????下面證明：|????∩????|≤1(??≠事實(shí)上，設(shè)存在????、????(??≠??)，|????∩????|≥2.則存在??1、??2、??1、??2????1????、????2????、????1????、????2????????∩????，????1+????=????2+????=????1+????=????2+????1≠????2,????1≠????2. 而????1?????2=????1?????2?????1+????2=????2+????1，則{????1,????2}={????2,????1}.又由結(jié)論①，知????1=????1????2=????2????1+????∈????,????2+????∈?????1=????,????2=????，即????∩????中最多只有一個(gè)元素，從而，|????∩????|≤1(??≠|(zhì)??+??|=|∪ ≥∑|????| =320?120=又令??={222??={2,22,?,mnk????∩????={2??+2??},????∩????∩????=因此，|????|=綜上，|????|【2016年預(yù)賽】設(shè)A是由n個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合,且A中所有元和小于2???1.證明:集合AAn個(gè)元素,A的非空子集的個(gè)數(shù)為2??設(shè)B為集合A的任一非空子集,且????為集合B的元和.由集合A中所有元和小于2-1,知1≤????≤2???因此,由抽屜原理,A的兩個(gè)非空子集C、D,滿足????若??∩??=?,則命題得證若??∩??≠?,??′=???(??∩??),??′=???(??∩顯然,??′∩??′=?,且????′=S??′.最后,只需證明??′≠?且??′≠?.若??′=?,則??=??∩??,故?????.由于??≠??,故?????,但此時(shí),????<????,與????=????.因此,??′≠類似地,??′≠?綜上,集合A至少有兩個(gè)沒(méi)有公共元素的非空子集,其元和相同【2016年浙江預(yù)賽】設(shè)集合??={??∈

|??的十進(jìn)制表示中數(shù)碼不含2、0、1、6}。用 1表示集合??∈?? 1<3??∈??成集合??）的各有6???1.從而，在所有的??位數(shù)中，∑1<

=6???1

1.??

10???1(3+4+5+7+8+ 1<??∈??

(6

1(13

1+

+1+

+1)<9【2016年預(yù)賽】設(shè)??為一個(gè)含有??個(gè)元素的集合，??1,??2,???,????為集合??的互不相同的??個(gè)子集.證明：在集合??中存在一個(gè)元素??，使得??1{??}，??2{??}，…，????{??}仍為互不相同的集合，其中，????{??}{??∈????|??≠??假設(shè)命題不成立，則對(duì)任何??∈??1?{??}，??2?{??}，…，?????{??}中必有兩個(gè)集合相同構(gòu)造圖??，其頂點(diǎn)標(biāo)記為??1，??2，…，????，且????與????(1??≠??≤??)連一條邊（標(biāo)記為??）.若????{??=????易見(jiàn)，圖??′??=????1????2?????????????1(??≥后返回到????1卻是相同的集合. 【2016年預(yù)賽】已知??={??|??2<??}，??={??|??2<log????}，且?????．求實(shí)數(shù)a的取值范圍1【答案】??∈(0,1)∪[??2??易知??={??|0<??<1顯然，a＞0且0＜a＜1時(shí)，若??2<log????此時(shí)，恒有???a＞10＜x＜1x，一定有??2<0log????<0.此時(shí)，必有??2>故????=?又?????,于是，??=?設(shè)??(??)=??2?log????.則??=?等價(jià)于??(??)≥0在區(qū)間(0)上恒成立令??′(??)=2???

=0

.=.要使得??(??)≥0在區(qū)間(0，+∞)上恒成立，只需??(??0)≥O．1?

?

√1≥01?

1ln? 2ln??≥?1+ln(2ln??)≥1???≥1綜上，??∈(0,1)??2??【2015年】設(shè)??、??、??、??為四個(gè)有理數(shù)，使

. ??1??2+??3??4的值

{????????|1≤??<??≤4}={?24,?2,?2,?8,

+

+

+

=±4由條件知????????(1≤??<??≤4)為六個(gè)互不相同的數(shù)，且其中沒(méi)有兩個(gè)為相反數(shù)于是??1、??2、??3、??4的絕對(duì)值互不相等.不妨設(shè)|??1|<|??2|<|??3|<則|????||????|(1≤??<??≤4)中最小的、次小的兩個(gè)數(shù)分別為|??1||??2|與1??1??2=?8故??1??3= ????=

=?13=132 ??=

={??3??4=

{ ?{??2??3,??1??4}={?2,

2

∈??，只可能

=±414(??1,??2,??3,??4)=4

,?2

46)或14

1,2

+

+

+

=±4【2015年】設(shè)??={??1,??2,???,????}(??≥2)，其中，??1,??2,???,????為??個(gè)互不相同的有限集合，滿足對(duì)意????、????∈??????????∈??.若??=min|????|≥2（|??|表示有限集合X的元素個(gè)數(shù)??∈∪?? 使得??屬于??,??,???,??

不妨設(shè)|??1|=設(shè)在??1??2????中與??1不相交的集合有??個(gè)，重新記為??1??2,???,????；設(shè)包含??1的集合有??個(gè)，重新記為??1,??2,???,????.由已知條件，得??????1∈??，即??????1∈{??1??2于是，得到一個(gè)映射????1??2????}→{??1??2????}，??(????)=????顯然，??為單射.從而，??≤設(shè)??1={??1??2在??1??2????中除去??1??2????，??1??2????后，在剩下的????????個(gè)集合中，設(shè)包含????(1≤??≤??)的集合有????個(gè)，由于剩下的????????個(gè)集合中，設(shè)包含????(1≤??≤??)的集合有????個(gè)，由于剩下的????????個(gè)集合中??1+??2+???+????≥?????? 不妨設(shè)??1=則由式①知??≥????????，即在剩下的????????個(gè)集合中，包含??的集合至少有????????個(gè) 又由于??1?????(??=1,2??)，故??1??2????均包含?????? +

?????+(???≥?????+??≥ 【2015年預(yù)賽】已知31名學(xué)生參加了某次考試，考試共有10道題，每名學(xué)生至少解出了6道題設(shè)??為所有試題的集合，????是第??名學(xué)生解出的試題的集合，??????\????為第??名學(xué)生未解出的試題的集合原題即證：存在??≠??，使得|????????|≥不妨設(shè)對(duì)任意的??(??=1,231)，均有|????|=6，|????|=注意到，集合??共有C3=120個(gè)三集，每個(gè)集合??恰包含4個(gè)三集 因此，存在??≠??，使得集合????、????包含相同的三集，即|????∩????|≥=6+6?(10?|????∩????|)≥【2015年預(yù)賽】集合??1、??2為??={2,3,???,2015}的一個(gè)等濃二分劃（即??1∪??2=??，??1∩??2=?，|??1||??2|1007.記集合??1中所有數(shù)的積為??，集合??2中所有數(shù)的積為??，稱??????為??的等濃二分劃的特2的倍數(shù)，則該特征數(shù)為201533的倍數(shù).（2）201533|??（1）集合??20141007個(gè)偶數(shù)，1007個(gè)奇數(shù)于是，??與??2整除.因此，??=??+??2整除于是，??與??3的倍數(shù).因此，??=??+??3整除.因?yàn)??3，所以，??為合數(shù).（2）已知??=??+??不為2的倍數(shù).則??為奇數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)??、??一個(gè)為奇數(shù)一個(gè)為偶數(shù).不妨設(shè)??為奇數(shù).則集合??1的元素只能是3,5,???, 注意到，2015=513在集合??131的數(shù)記為31??(??=1,3因?yàn)?61=313131，所以，集合??13134個(gè)從而，在集合??113??型的數(shù)中除去403=31131334個(gè)類似地，在集合??15??型的數(shù)中除去65=135315534個(gè).于是，201534|??.集合??2的元素只能是2,4,???, 注意到，2015=5×13×31.在集合??23162??=2×31??(??=1,2,???因?yàn)?922=2313131，所以，集合??23133個(gè)從而，在集合??210??=25??型或26??=213??51333個(gè).于是，201533|??.因此，201533|(??+??)，即201533|??【2015年山西預(yù)賽】若集合??={1,2200}A中的每個(gè)元素均可表為兩個(gè)自然數(shù)（允許相同）的平方和，求集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值.【答案】200的平方數(shù)為021222首先，1222142中的每個(gè)數(shù)??2可表為??2+0214而1222102中的每一對(duì)數(shù)（允許相同）M中，這種數(shù)有??2+10=55個(gè)，其中，??2+??210個(gè)，??2+??2(??≠??)形式的數(shù)??2個(gè).其次，112+??2(??=1,28)8122+??2(??=1,27)7132+??2(??=1,25)5142+??2(??=1,2)222個(gè)再考慮重復(fù)的情形：注意到，若??=??2+??2??=??2+??2(??≠????≠??)，則????=(????+????)2+(?????????)2=(?????????)2+(????+????)2.40且能表示為兩個(gè)不同正整數(shù)的平方和的數(shù)有、、、、、、、、7、40，5的積，以及132M中，且均可用兩種方式表示為平方和，故各被計(jì)算了兩次，累計(jì)有12次重復(fù)（、、、 與10的積已包含在以上乘積組中）.因此，集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值為14+55+22?12=79.【2015??{1,236}中刪去??2015=5×13×3171的正因數(shù)有、、、、，故在集合??的二集中，5的有13的有65的有17個(gè)數(shù).另一方便，刪去適當(dāng)?shù)?7個(gè)數(shù)，可以使得余下的數(shù)滿足條件.例如，在圖中（甲）中刪去 、、、， 、、、、.此時(shí)，圖中所有的線段均已被斷開(kāi)【2015年吉林預(yù)賽】已知???{1,2,???,2014}，設(shè)實(shí)數(shù)??1、??2、??3、??1、??2、??3（i）??1、??2、??3∈{?1,0,1}（ii）??1、??2、??3∈（iii）若????=????，則????????≠?1(1≤????≤若所有形如??1??2??3和??1??1+??2??2+??3??32014的倍數(shù)，則稱集合??為“好集”.求好集??所含元素個(gè)【答案】503元好集??.設(shè)??={1,3,5,???,1005}.若??1、??2、??30??1??1+??2??2+??3??3≡??1+??2+??3≡于是，??1??1+??2??2+??3??