高等數(shù)學(xué)：6-3 曲面及其方程、二次曲面

第五節(jié)曲面及其方程、二次曲面一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面四、二次曲面曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡．曲面方程的定義：如果曲面與三元方程有如下關(guān)系：(2)不在曲面上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程.(1)曲面上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程;那么，方程就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程的圖形．一、曲面方程的概念以下給出幾例常見(jiàn)的曲面.解根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí),方程為例1建立球心在

,半徑為R的球面的方程.解根據(jù)題意有所求方程為例2求與原點(diǎn)O及的距離之比為的點(diǎn)的全體所組成的曲面的方程.即根據(jù)題意有化簡(jiǎn)得所求方程為解以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

由一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.設(shè)在平面上有一已知曲線C,它的方程為把這條曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個(gè)以z

軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.它的方程可以求得如下：當(dāng)曲線C

繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，也繞z軸且點(diǎn)M到z軸的距離為得方程yoz坐標(biāo)面上的已知曲線f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.同理，yoz坐標(biāo)面上的已知曲線f(y,z)=0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為解

yoz面上直線方程為圓錐面方程

例4直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面.兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線的夾角叫做圓錐面的半頂角.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為的圓錐面的方程.例5將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．(1)雙曲線分別繞軸和軸：繞軸旋轉(zhuǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.旋轉(zhuǎn)拋物面(2)橢圓繞軸和軸：(3)拋物線繞軸：這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)橢球面.三、柱面定義平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.柱面舉例拋物柱面平面從柱面方程看柱面的特征：橢圓柱面//軸雙曲柱面//軸拋物柱面//軸實(shí)例：一般地，只含、而缺的方程，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于軸的柱面，其準(zhǔn)線是面上的曲線：.

二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面．相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的截痕法：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．四、二次曲面

（一）橢球面橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：常見(jiàn)的二次曲面

橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.

橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面的特點(diǎn)：方程可寫為

球面截面上圓的方程為方程可寫為

（二）拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).

當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.

它的軸平行于軸頂點(diǎn)

橢圓拋物面的圖形如下：

旋轉(zhuǎn)拋物面當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種圓的中心都在軸上.

雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：圖形如下：

（三）雙曲面單葉雙曲面

當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.實(shí)軸與軸相合，虛軸與軸相合.