【高考數(shù)學專題】雙空題的解題策略- 高考數(shù)學（高考數(shù)學題型解題策略與方法）復習

綠色備課經(jīng)濟復習【高考新題型解題策略2】雙空題的解題策略雙空題是填空類題目的一種，一般兩空涉及的問題有相互平行的兩個結(jié)論或具有遞進關(guān)系的兩個結(jié)論，求解思維(方法)與解答單空題基本相同．一、結(jié)論平行互補[典例1](2020·浙江高考)已知tanθ＝2，則cos2θ＝________，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________．解析：法一：因為tanθ＝2，所以sinθ＝2cosθ，由sin2θ＋cos2θ＝1可知，sin2θ＝eq\f(4,5)，cos2θ＝eq\f(1,5)，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(1,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(3,5)，tan(θ－eq\f(π,4))＝eq\f(tanθ－1,1＋tanθ)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3).法二：因為tanθ＝2，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f(1－4,1＋4)＝－eq\f(3,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(tanθ－1,1＋tanθ)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3).答案：－eq\f(3,5)eq\f(1,3)[點評]此類問題平行設(shè)計關(guān)聯(lián)性弱，解答互不影響．直接從題設(shè)出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果．對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，也可快速得出正確結(jié)果．二、結(jié)論遞進增強[典例2](1)(2021·浙江杭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4)，則sinC＝________，當a＝2，2sinA＝sinC時，b＝________．(2)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展開式中各項系數(shù)絕對值之和為256，則n＝________，該展開式中含eq\f(1,x)項的系數(shù)為________．[解析](1)由二倍角公式知1－2sin2C＝－eq\f(1,4)，所以sinC＝eq\f(\r(10),4).因為2sinA＝sinC，所以由正弦定理知c＝2a＝4，易知cosC＝±eq\f(\r(6),4)，由余弦定理知22＋b2－2×2·bcosC＝42，所以當cosC＝eq\f(\r(6),4)時，b2－eq\r(6)b－12＝0，解得b＝2eq\r(6)，當cosC＝－eq\f(\r(6),4)時，b2＋eq\r(6)b－12＝0，解得b＝eq\r(6)，綜上，b＝eq\r(6)或b＝2eq\r(6).(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展開式中各項系數(shù)絕對值之和與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展開式中各項系數(shù)之和相等，令x＝1，則4n＝256，則n＝4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(1,x)))eq\s\up12(4)展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(4))(3eq\r(x))4－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝(－1)r34－rCeq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(4))x2－eq\f(3,2)r，令2－eq\f(3,2)r＝－1，則r＝2，則含eq\f(1,x)項的系數(shù)為(－1)232Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝54.[答案](1)eq\f(\r(10),4)eq\r(6)或2eq\r(6)(2)454[點評]遞進類雙空題，第一個空往往較簡單，第二個空難度較大，使得不同層次的考生都有展示自己的平臺，加大了試題的區(qū)分度．這類問題涉及圖形、符號、運算、推理和文字語言等多方面知識和能力的考查，解答該類題目要準確讀懂題意，快速鏈接所學知識，通過推理證明，運算求解等數(shù)學方法得出結(jié)論．三、結(jié)論開放探究[典例3]【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2021屆高三下學期3月教學情況調(diào)研】四面體的棱長為1或2，但該四面體不是正四面體，請寫出一個這樣四面體的體積___________；這樣的不同四面體的個數(shù)為___________.【答案】3由題意，可以構(gòu)成一個底面為邊長為1正三角形，側(cè)棱長均為2的正三棱錐，則三棱錐的高，則體積.由1和2可以構(gòu)成的三角形有：邊長為1的正三角形，邊長為2的正三角形，邊長為的三角形除了已求體積的正三棱錐外，還可以是四個的三角形拼成的三棱錐、兩個邊長為2的正三角形和兩個的三角形拼成的三棱錐，所以滿足題意的四面體共3個.故答案為：[點評]此類問題中有空會出現(xiàn)答案不唯一確定的情況,考生可以根據(jù)試題情境自行組織正確答案，考查學生的推理，運算思維.試題通過優(yōu)化情境設(shè)計，增強試題開放性、靈活性，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導向作用，引導減少了死記硬背和“機械刷題”現(xiàn)象。[跟蹤訓練]1.【廣東省廣州市天河區(qū)2021屆高考二?！恳阎瘮?shù)，且，則___________，曲線在處的切線方程為___________.【答案】由，則，因為，即，解得，所以，，所以，，所以曲線在處的切線方程為：.故答案為：；2．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2＝4，S6＝78，則an＝________，eq\f(Sn,n3)的最大值為________．解析：因為S6＝3(a2＋a5)＝78，所以a2＋a5＝26，又a2＝4，所以a5＝22.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，所以d＝eq\f(a5－a2,3)＝6，所以a1＝－2，所以an＝6n－8，Sn＝eq\f(（a1＋an）n,2)＝(3n－5)n，所以eq\f(Sn,n3)＝eq\f(（3n－5）n,n3)＝－eq\f(5,n2)＋eq\f(3,n).令f(x)＝－eq\f(5,x2)＋eq\f(3,x)(x>0)，則當x＝eq\f(10,3)時，f(x)取得最大值．因為當n＝3時，eq\f(Sn,n3)＝eq\f(4,9)，當n＝4時，eq\f(Sn,n3)＝eq\f(7,16)，且eq\f(4,9)>eq\f(7,16)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n3)))eq\s\do7(max)＝eq\f(4,9).答案：6n－8eq\f(4,9)3.【浙江省紹興市2021屆高三下學期一?！吭阡J角中，內(nèi)角A，B所對的邊分別為a，b，若，則___________；邊長a的取值范圍是___________.【答案】4由題可知：，所以所以，由正弦定