高中數(shù)學(xué)高考2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（安徽卷）理數(shù)試題精編版（解析版）

本試卷分第Ⅰ卷和第II卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第2頁(yè)，第II卷第3至第4頁(yè)．全卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．參考公式：如果事件A與B互斥，那么如果事件A與B相互獨(dú)立，那么第Ⅰ卷（選擇題共50分）選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.【2013，安徽理1】設(shè)是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，若，則=（）A．B．C．D．2.【2013，安徽理2】如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是（）A．B．C．D．3.【2013，安徽理3】在下列命題中，不是公理的是（）A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B．過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么他們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線【答案】A．【解析】B，C，D說(shuō)法均不需證明，也無(wú)法證明，是公理；C選項(xiàng)可以推導(dǎo)證明，故是定理．所以選A【命題立意】考查平面的基本性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)中注意回歸課本.課本上立體幾何的四個(gè)公理分別是①判斷直線在面上；②確定平面問(wèn)題；③兩面相交必交于一條直線；④空間平行傳遞性.區(qū)別它們的關(guān)鍵是公理不用證明，而定理是要求證明的.4.【2013，安徽理4】“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C方，在軸上方的圖像不變即可.5.【2013，安徽理5】某班級(jí)有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生，隨機(jī)詢問(wèn)了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)，五名男生的成績(jī)分別為86，94，88，92，90，五名女生的成績(jī)分別為88，93，93，88，93.下列說(shuō)法一定正確的是（）A．這種抽樣方法是一種分層抽樣B．這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣C．這五名男生成績(jī)的方差大于這五名女生成績(jī)的方差D．該班級(jí)男生成績(jī)的平均數(shù)小于該班女生成績(jī)的平均數(shù)【答案】C．6.【2013，安徽理6】已知一元二次不等式的解集為，則的解集為（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】由一元二次不等式的解集為，可以設(shè)函數(shù)解析式為：，將代入得，由指數(shù)函數(shù)的值域可得，，則D正確.【命題立意】考查不等式的解法．【名師點(diǎn)睛】對(duì)于一元二次不等式求解的問(wèn)題，首先要考慮到二次項(xiàng)前面系數(shù)的正負(fù)，通俗的解法是將二次項(xiàng)前系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，然后來(lái)進(jìn)行求解.另外，要熟悉指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，如.7.【2013，安徽理7】在極坐標(biāo)系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（）A．B．C．D．8.【2013，安徽理8】函數(shù)的圖像如圖所示，在區(qū)間上可找到個(gè)不同的數(shù)使得則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的幾何意義是曲線上點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，即過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的可能值.結(jié)合圖象可知，原點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是2或3或4，所以n的取值范圍為【命題立意】考查對(duì)函數(shù)圖象的理解和應(yīng)用．【易錯(cuò)警示】不理解代數(shù)式的幾何意義，不能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見(jiàn)錯(cuò)誤.【名師點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合思想在高考中經(jīng)常用到，常分為“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”，本題主要用到“以形助數(shù)”的思想，通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（的幾何意義是曲線上點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率），通過(guò)把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，通過(guò)對(duì)形的研究解決數(shù)的問(wèn)題、或獲得解決數(shù)的問(wèn)題解決思路去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想.9.【2013，安徽理9】在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)滿足，則點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積是（）A．B．C．D．方法二：考察三點(diǎn)共線向量知識(shí)10.【2013，安徽理10】若函數(shù)有極值點(diǎn)，且，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A．【解析】方法一：由題意可得方學(xué)科網(wǎng)程的兩個(gè)根是，而有兩個(gè)根，有一個(gè)根，所以關(guān)于x的方程的不同的實(shí)根個(gè)數(shù)是3.所以選A．方法二：使用特殊函數(shù)法．設(shè)...所以選A．【命題立意】考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)與方程以及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用．【舉一反三】方程實(shí)根個(gè)數(shù)的判斷經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合求解．【名師點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵有兩個(gè)：①注意到方程，就是把直接代入導(dǎo)函數(shù)，即；（2）解法中換元的作用是把一個(gè)復(fù)雜方程的零點(diǎn)問(wèn)題拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單方程的零點(diǎn)問(wèn)題.這種拆解是處理零點(diǎn)問(wèn)題的重要方法.第Ⅱ卷（非選擇題共100分）考生注意事項(xiàng)：請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．11.【2013，安徽理11】若的展開(kāi)式中的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)______．12.【2013，安徽理12】設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為．若，則則角_____.【答案】．【解析】由，得.又，所以.由余弦定理可得，所以【命題立意】考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】求解此類三角函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是能根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)差異（觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異）決定是用正弦定理還是余弦定理，尋找聯(lián)系（運(yùn)用相關(guān)三角公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系）決定三角恒等變換的形式，合理轉(zhuǎn)化（選擇恰當(dāng)?shù)娜枪剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化）.本題還有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是忽略題中角的范圍導(dǎo)致答案求解錯(cuò)誤.13.【2013，安徽理13】已知直線交拋物線于兩點(diǎn)．若該拋物線上存在點(diǎn)，使得為直角，則的取值范圍為_(kāi)_______．【2013，安徽理14】如圖，互不-相同的點(diǎn)和分別在角O的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等．設(shè)若則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_________．15.【2013，安徽理15】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是_____（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)R滿足；④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；⑤當(dāng)時(shí)，S的面積為．【答案】①②③⑤．【解析】三.解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．解答寫(xiě)在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)．16.【2013，安徽理16】（本小題滿分12分）已知函數(shù)的最小正周期為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）討論在區(qū)間上的單調(diào)性．18.【2013，安徽理17】（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間．（Ⅰ）求的長(zhǎng)度（注：區(qū)間的長(zhǎng)度定義為）；（Ⅱ）給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)度的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根，的解集為，因此區(qū)間，的長(zhǎng)度為．（Ⅱ）設(shè)，則，令，得，由于，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，的最小值必定在或取得，而，故．因此當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最小值．【命題立意】考查二次不等式的求解，以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查分類討論思想和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性、極值、最值等的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)可以討論的函數(shù)類型更加廣泛，可以這樣認(rèn)為，除了幾種基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖象可以直接應(yīng)用之外，其余函數(shù)性質(zhì)都是利用導(dǎo)數(shù)研究．要掌握求解步驟.安徽省主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值的求解，在求解過(guò)程中要對(duì)參數(shù)取值進(jìn)行討論.18.【2013，安徽理18】（本小題滿分12分）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上（Ⅰ）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸與點(diǎn)，并且，證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線上．【命題立意】考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線與直線、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.【易錯(cuò)警示】這類問(wèn)題一般運(yùn)算量較大，一般利用設(shè)而不求、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等簡(jiǎn)化運(yùn)算，否則，直接死算，很容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.【名師點(diǎn)睛】安徽省高考數(shù)學(xué)圓錐曲線題目的位置一般偏后，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)對(duì)三大曲線的重要性質(zhì)（特別是在課本例題習(xí)題中出現(xiàn)過(guò)的）要進(jìn)行深入挖掘，還要注意解答安徽解析幾何解答題時(shí)會(huì)利用整體代換的方法，使運(yùn)算量減小，但整體代換的切入點(diǎn)不再集中于根與系數(shù)的關(guān)系，需要考生平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)不斷積累經(jīng)驗(yàn)，輕松解題.19.【2013，安徽理19】（本小題滿分13分）如圖，圓錐頂點(diǎn)為．底面圓心為，其母線與底面所成的角為22.5°．和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為60°．（Ⅰ）證明：平面與平面的交線平行于底面；（Ⅱ）求．20.【2013，安徽理20】（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，證明：（Ⅰ）對(duì)每個(gè)，存在唯一的，滿足；（Ⅱ）對(duì)任意，由（Ⅰ）中構(gòu)成的數(shù)列滿足．【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析．【解析】（Ⅰ）對(duì)每個(gè)，當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞增．由于，當(dāng)，，故，又，∴存在唯一的，滿足．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，故，由在內(nèi)單調(diào)遞增知，，故為單調(diào)遞減數(shù)列．從而對(duì)任意的，21.【2013，安徽理21】（本小題滿分13分）某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系位學(xué)生參加（和都是固定的正整數(shù)）．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到．記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為．（Ⅰ）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；（Ⅱ）求使取得最大值的整數(shù)．【答案】（I）；(II)當(dāng)能被整除時(shí)，，故在和處達(dá)到最大值；當(dāng)不能被整除時(shí)，在處達(dá)到最大值．【解析】（Ⅰ）∵事件：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互【命題立意】考查古典概型，計(jì)數(shù)原理，分類討論思想等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．【易錯(cuò)警示】