高中數(shù)學(xué)高考2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）理數(shù)試題精編版（原卷版）

2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.(2013福建，理1)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)＝1＋2i(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2.(2013福建，理2)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“AB”的()．A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件3.(2013福建，理3)雙曲線－y2＝1的頂點到其漸近線的距離等于()．A．B．C．D．4.(2013福建，理4)某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為()．A．588B．480C．450D．1205.(2013福建，理5)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()．A．14B．13C．12D．106.(2013福建，理6)閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的k＝10，則該算法的功能是()．A．計算數(shù)列{2n－1}的前10項和B．計算數(shù)列{2n－1}的前9項和C．計算數(shù)列{2n－1}的前10項和D．計算數(shù)列{2n－1}的前9項和7.(2013福建，理7)在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為()．A．B．C．5D．108.(2013福建，理8)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，x0(x0≠0)是f(x)的極大值點，以下結(jié)論一定正確的是()．A．?x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的極小值點C．－x0是－f(x)的極小值點D．－x0是－f(－x)的極小值點9.(2013福建，理9)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，則以下結(jié)論一定正確的是()．A．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qmB．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2C．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2D．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qmm10.(2013福建，理10)設(shè)S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)y＝f(x)滿足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)對任意x1，x2∈S，當(dāng)x1＜x2時，恒有f(x1)＜f(x2)，那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”．以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是()．A．A＝N*，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0＜x≤10}C．A＝{x|0＜x＜1}，B＝RD．A＝Z，B＝Q二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.11.(2013福建，理11)利用計算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1＞0”12.(2013福建，理12)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是________．13.(2013福建，理13)如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝，AD＝3，則BD的長為________．14.(2013福建，理14)橢圓Γ：(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2C．若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．15.(2013福建，理15)當(dāng)x∈R，|x|＜1時，有如下表達(dá)式：1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝.兩邊同時積分得：，從而得到如下等式：.請根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計算：________.三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.(2013福建，理16)(本小題滿分13分)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機(jī)會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎品．(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X≤3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大？17.(2013福建，理17)(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程；(1)求函數(shù)f(x)的極值．18.(2013福建，理18)(本小題滿分13分)如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(10,0)，點C的坐標(biāo)為(0,10)．分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9.連結(jié)OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi交于點Pi(i∈N*,1≤i≤9)．(1)求證：點Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；(2)過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M，N，若△OCM與△OCN的面積比為4∶1，求直線l的方程．19.(2013福建，理19)(本小題滿分13分)如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k(1)求證：CD⊥平面ADD1A1(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值；(3)現(xiàn)將與四棱柱ABCD－A1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼接成一個新的四棱柱．規(guī)定：若拼接成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案．問：共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f(k)，寫出f(k20.(2013福建，理20)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期為π，圖象的一個對稱中心為.將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象．(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式；(2)是否存在x0∈，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個數(shù)；若不存在，說明理由；(3)求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)內(nèi)恰有2013個零點．21.(2013福建，理21)本題設(shè)有(1)、(2)、(3)三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號右邊的方框涂黑，并將所選題號填入括號中．(1)(本小題滿分7分)選修4—2：矩陣與變換已知直線l：ax＋y＝1在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x＋by＝1.①求實數(shù)a，b的值；②若點P(x0，y0)在直線l上，且，求點P的坐標(biāo)．(2)(本小題滿分7分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ＝a，且點A在直線l上．①求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；②圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．(3)(本小題滿分7分)選修4—5：不等式選講設(shè)不等式|x－2|＜a(a∈N*)的解集為A，且∈A，A．①求a的值；②求函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．(1)選