代數(shù)運算的同態(tài)和同構

第講代數(shù)運算的同態(tài)和同構第一頁，共48頁。21-4運算性質

定義設°

為S上的二元運算,(1)如果對于任意的x,yS有

x°

y=y°

x,

則稱運算在S上滿足交換律.(2)如果對于任意的x,y,z∈S有

(x°

y)°

z=x°

(y

°

z),

則稱運算在S上滿足結合律.

(3)如果對于任意的x∈S有

x

°

x=x,

則稱運算在S上滿足冪等律.第二頁，共48頁。3實例分析Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R)為n階實矩陣集合,n2；P(B)為冪集；AA為A上A，|A|2.集合運算交換律結合律冪等律Z,Q,R普通加法+有有無普通乘法有有無Mn(R)矩陣加法+有有無矩陣乘法無有無P(B)并有有有交有有有相對補無無無對稱差有有無AA函數(shù)符合無有無第三頁，共48頁。4二元運算的性質（續(xù)）

定義設°

和?為S上兩個不同的二元運算,(1)如果

x,y,z∈S有

(x?y)°

z=(x°

z)?(y°

z)

z°(x?y)=(z°

x)?(z°

y)

則稱°

運算對?運算滿足分配律.

第四頁，共48頁。5實例分析集合運算分配律

Z,Q,R普通加法+與乘法對+可分配+對不分配

Mn(R)矩陣加法+與乘法對+可分配+對不分配

P(B)并與交對可分配對可分配交與對稱差對可分配對不分配Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R)為n階實矩陣集合,n2；P(B)為冪集；AA為A上A，|A|2.第五頁，共48頁。

補充題第六頁，共48頁。第七頁，共48頁。目錄復習代數(shù)運算及運算律11.8同態(tài)、同構2

1.9同態(tài)、同構3第八頁，共48頁。代數(shù)交換律結合律單位元逆元<Z,+>0x1=x<Z,×>11，-1可逆<R,+>0x1=x<R,×>1x1是x的倒數(shù)(0無逆元<Mn(R),+>0x1=x<Mn(R),*>×Ex可逆時<P(S),∪>的逆元為<P(S),∩>SS的逆元為S<{0,1,…,n-1},>001=0,x1=nx<{0,1,…,n-1},⊙>1<S(A),>恒等變換第九頁，共48頁。練習題判斷下列定義在有理數(shù)集合上的代數(shù)運算是否適合結合律、交換律？第十頁，共48頁。1問題的提出

結合律和交換律是只同一種代數(shù)運算發(fā)生關系,而分配律是同兩種代數(shù)運算發(fā)生關系的一種規(guī)律.1.6與兩種代數(shù)運算發(fā)生關系的運算律

——分配律第十一頁，共48頁。2第一(左)分配律第十二頁，共48頁。

Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R)為n階實矩陣集合，n2；P(S)為冪集；AA為從A到A的函數(shù)集，|A|2.

集合運算分配律

Z,Q,R普通加法+與乘法對+可分配+對不分配

Mn(R)矩陣加法+與乘法對+可分配+對不分配

P(S)并∪與交∩

∪對∩可分配∩對∪可分配

交∩與對稱差

∩對可分配

例題第十三頁，共48頁。第十四頁，共48頁。3第二(右)分配律第十五頁，共48頁。定理2第十六頁，共48頁。與代數(shù)運算發(fā)生關系的映射

—同態(tài)映射（8-9節(jié)）第十七頁，共48頁。1同態(tài)映射2同態(tài)滿射3同構映射4自同構映射5舉例第十八頁，共48頁。1.最初的思想如何比較兩個代數(shù)系統(tǒng)?回憶兩個三角形全等的定義:經(jīng)過運動,頂點可以重合.這里涉及兩個步驟:第一,點間有一個對應(映射);第二,對應后可以重合.我們比較兩個代數(shù)系統(tǒng)和.

第一,我們需要一個映射;

第二,這個映射還能夠使“運算重合”或曰：保持運算.具體的說,假如和是的兩個元,那么和都有意義,都是的元.保持運算即下面等式成立:第十九頁，共48頁。上面的等式即:換一種表示，假定在之下的像，第二十頁，共48頁。第二十一頁，共48頁。2同態(tài)映射與性質注:同態(tài)映射簡稱為態(tài)射.＝{所有整數(shù)},的代數(shù)運算是普通加法.,的代數(shù)運算是普通乘法.定義1

一個到的映射稱為對于代數(shù)運算和的同態(tài)映射,假如,,都有:定義與例子第二十二頁，共48頁。例1證明

(是的任一元)是一個到的同態(tài)映射.證明……例2:

,若是偶數(shù)

,若是奇數(shù)

證明:是一個到的滿射的同態(tài)映射.證明:顯然,是到的滿射.對于的任意兩個整數(shù)和來說,分三種情況:(1)若,都是偶數(shù),那么也是偶數(shù)

,,所以,(2)若,都是奇數(shù)……(3)若和奇偶性相反,……….第二十三頁，共48頁。例3:(是的任一元)固然是一個到的映射,但不是同態(tài)映射.因為,對于任意的和來說,第二十四頁，共48頁。定義2(1)單同態(tài):同態(tài)+單射(2)滿同態(tài):(3)同構映射:進一步的定義第二十五頁，共48頁。性質1

設是三個代數(shù)系統(tǒng),并且

是兩個同態(tài)映射(單同態(tài)、滿同態(tài)、同構映射).那么,

仍然是同態(tài)映射(單同態(tài)、滿同態(tài)、同構映射)性質第二十六頁，共48頁。性質2設是一個同構.那么，也是一個同構.證明:(1)是雙射(2)保持運算.看一個關鍵等式第二十七頁，共48頁。性質1

（1）反身性:

（2）傳遞性:

注:對稱性不成立3同態(tài)的代數(shù)系統(tǒng)定義和是兩個代數(shù)系統(tǒng),如果存在一個到的同態(tài)滿射,就稱和同態(tài).記號:第二十八頁，共48頁。5舉例例3例2例1第二十九頁，共48頁。4可單向傳遞的性質定理1

假定,對于代數(shù)運算和來說,到同態(tài).那么,（1）若適合結合律,也適合結合律；（2）若適合交換律,也適合交換律.第三十頁，共48頁。于是證明我們用來表示到的同態(tài)滿射.

（1）假定是的任意三個元.由于是同態(tài)滿射,我們在里至少找得出三個元,,來,使得在之下,(2)同學們按照上面的方法,給出證明.

注:這種通過同態(tài)映射過渡的方法在證明具有一般性第三十一頁，共48頁。定理2

假定,都是集合的代數(shù)運算,都是集合的代數(shù)運算,并且存在一個到的滿射,使得與對于代數(shù)運算來說同態(tài),對于代數(shù)運算來說也同態(tài).那么

(1)若適合第一分配律,也適合第一分配律.(2)若適合第二分配律,也適合第二分配律.證明……注:,由的性質可以推出具有同樣的性質;反過來不成立.第三十二頁，共48頁。5同構的代數(shù)系統(tǒng)及其意義定義定義和是兩個代數(shù)系統(tǒng),如果存在一個到的同構映射,就稱和同態(tài).記號:自同態(tài)、自同構的概念可以自然的給出，同學們自己做。第三十三頁，共48頁。同構的代數(shù)系統(tǒng)意味什么例1

,

．012012

120201345345345453534012各是與的代數(shù)運算與的表．請比較兩個運算表,方向異同之處?第三十四頁，共48頁。在A的運算表,進行變換:

變成了什么?．它們可以用統(tǒng)一成為一個運算表……..第三十五頁，共48頁。

同構的兩個代數(shù)系統(tǒng)由運算所帶來的規(guī)律性是相同的,因此,同構的兩個代數(shù)系統(tǒng)盡管可能有這樣或那樣的差別,但從近世代數(shù)的宗旨來看,我們自然認為:它們的差別是表面上的,次要的,而它們的共同點——運算所體現(xiàn)的規(guī)律性則是本質的,主要的.于是,我們需要闡明近世代數(shù)的觀點是:凡同構的代數(shù)系統(tǒng)都認為是(代數(shù))相同的.同構的兩個集合之間關系的結論第三十六頁，共48頁。在上述的觀點下,一個代數(shù)系統(tǒng)經(jīng)同構映射而保持不變的性質叫做它的代數(shù)性質.于是,由代數(shù)運算所表述的任意一個性質都是代數(shù)性質.我們將代數(shù)體系的代數(shù)性質的總合統(tǒng)稱為它的代數(shù)結構.因此,同構的代數(shù)體系由于完全相同的代數(shù)結構.研究代數(shù)體系的首要目的就是確定所有互不同構的的代數(shù)結構.而為了確定一個代數(shù)結構,只須