一階動態(tài)電路分析

第4章一階動態(tài)電路分析4.1電容元件與電感元件4.2一階電路的零輸入響應4.3一階電路的零狀態(tài)響應4.4一階電路的全響應4.5一階電路的三要素分析法4.6一階電路的階躍響應和沖激響應4-1電容元件與電感元件

4-1-1電容元件

一、電容的定義和符號一個二端元件，如果在任一時刻t，它所存儲的電荷q

(t)與其端電壓u(t)之間的關系可以用u(t)-q

(t)平面上的一條曲線來確定,則稱該兩端元件為電容元件線性電容時變電容非線性電容非時變電容電容的分類：電容符號線性電容u-q

特性線性電容存儲的電荷q(t)和端電壓u(t)有如下關系C為與電荷、電壓無關的常量，表示元件存儲電荷的能力，稱為電容。二、電容的單位電容C的單位為法拉（F），但因法拉這個單位太大，所以通常采用微法（μF）或皮法（pF）

三、電容的伏安關系設電容上流過的電流與其兩端的電壓為關聯(lián)參考方向則根據(jù)電流的定義有對線性電容又有線性電容的伏安關系為四、電容的特點1．電容能隔直流通交流；電容的阻抗與頻率有關。由電容的伏安關系可知電容有如下基本性質(zhì)：2．在有限電容電流的前提下，電容上的電壓只能連續(xù)變化，不能發(fā)生跳變。電容電壓的連續(xù)性可表示為在動態(tài)電路分析中常用這一結(jié)論，并稱之為“換路定則”。3．電容是一種有記憶的元件。根據(jù)電容的伏安關系可得：任一時刻電容上的電壓不僅取決于該時刻的電流值，而是取決于從到所有時刻的電流值，即與電流的全部歷史有關，所以電容是一種“有記憶”元件。稱為電容的初始電壓，反映時刻之前電流的全部作用。五、電容的儲能在電容的電壓和電流為關聯(lián)參考方向下，其吸收的瞬時功率為由功率的定義，可得在t時刻電容吸收的電能為因為，故有上式表明，任一時刻電容的儲能只與該時刻電容的電壓有關[例4-1]圖（a）所示電容中電流i的波形如圖（b）所示，已知，試分別求時電容上的電壓。解：由的波形可寫出其數(shù)學表達式為因為

所以

[例4-2]電路如圖(a)所示，開關打開前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在時刻將開關K打開，求電容的初始值。解：因為在時，電路已達到穩(wěn)態(tài)，所以電容可看作開路。這時其等效電路如圖（b）所示。又根據(jù)換路定則，可得根據(jù)圖（b）可算出

4-1-2電感元件

一、電感的定義一個二端元件，如果在任一時刻穿過電感線圈的磁鏈與其流過的電流的關系可以用平面上的一條曲線來確定，則稱此二端元件為電感。

電感的符號

非時變線性電感二、電感的符號和單位電感的單位：亨利（H）三、電感的伏安關系對非時變線性電感有非時變線性電感L是與無關的常量，表示元件產(chǎn)生磁鏈的能力，稱為該元件的電感量。在電感上電壓、電流為關聯(lián)參考方向時，由電磁感應定律可得四、電感的特點1.電感具有通直流隔交流的作用,其阻抗也隨信號的頻率而變化.2．在有限電感電壓的前提下，電感上的電流只能連續(xù)變化，不能發(fā)生跳變。電感電流的連續(xù)性可表示為上式也稱為換路定則，在動態(tài)電路初始值確定時，該式也是非常重要的依據(jù)3．電感也是一種有記憶的元件。根據(jù)電感的伏安關系有任一時刻電感上的電留不僅取決于該時刻的電壓值，而是取決于從到所有時刻的電壓值，即與電壓的全部歷史有關，所以電感是一種“有記憶”元件。稱為電感的初始電流，反映時刻之前電壓的全部作用。五、電感的儲能由功率的定義，可得在t時刻電干吸收的電能為上式表明，任一時刻電感的儲能只與該時刻電感的電流有關[例4-3]圖(a)所示電路，電感上的電流波形如圖(b)所示，求電壓，電感吸收的功率，電感上的儲能，并繪出它們的波形。解：根據(jù)圖(b)，寫出的數(shù)學表達式：由電感的伏安關系可得

電感上吸收的功率為

電感上的儲能為[例4-4]圖(a)所示電路,時開關K閉合，電路已達到穩(wěn)態(tài)。在時刻，打開開關K，求初始值。解：時K閉合，電路已達到穩(wěn)態(tài)，此時電容相當于開路，電感相當于短路，故可求得t=0時,K打開,根據(jù)換路定則有t=0+時的等效電路見圖(b)4-2一階電路的零輸入響應一階電路就是包含一個動態(tài)元件的電路。分為一階RC電路和一階RL電路。所謂零輸入響應即是由動態(tài)元件的初始態(tài)在電路中產(chǎn)生的響應。4-2-1一階RC電路的零輸入響應

因為在換路前，電路已達到穩(wěn)態(tài)，所以換路后，根據(jù)KVL可得因為所以可得初始條件為其特征方程為特征根為故得該微分方程的通解為：系數(shù)K可由初始條件確定電容電壓的零輸入響應為稱為電路的時間常數(shù),單位為秒（S）由電容的伏安關系可求得電路中流過的電流為的波形圖從以上的分析,可以得到如下結(jié)論：1．一階RC電路的和均是隨時間呈指數(shù)衰減的。2．與隨時間衰減的快慢由決定與的關系t

0τ2τ3τ4τ5τ0.006US從上表中可以看出，時,已下降為初始值的1.8%，在工程中一般認為此時零輸入響應已基本結(jié)束。4-2-2一階RL電路的零輸入響應

在換路前電路已達到穩(wěn)態(tài)，根據(jù)換路定則知:換路后，根據(jù)KVL可得將電阻、電感的伏安關系代入上式，得初始條件為其特征方程為特征根為故得該微分方程的通解為：系數(shù)K可由初始條件確定所以是一階RL電路的時間常數(shù)由電感伏安關系可以得到電感上的電壓為一階電路零輸入響應的一般公式對RC電路有對RL電路有對任何一階電路，求其零輸入響應，關健就是求解其時間常數(shù)和初始值，這兩個參數(shù)一旦被確定，其響應就確定了。[例4-5]如圖所示電路，開關K在位置“1”時，電路已達到穩(wěn)態(tài)。當t=0時K由位置“1”切換到位置“2”，試求i(t)和u（t）。解：因為K在位置“1”時，電路已達到穩(wěn)態(tài)，所以電感相當于短路，由此可求得電感電流的初始值為時間常數(shù)為4-3一階電路的零狀態(tài)響應電路的初始狀態(tài)為零，僅由外加激勵產(chǎn)生響應稱為零狀態(tài)響應。由KVL可得將電阻、電容的伏安關系代入上式，得上式為非齊次微分方程，根據(jù)高等數(shù)學知識知，其通解由齊次解和特解兩部分組成，即由前面的分析可知，該微分方程對應的齊次解為其對應的特解是由外激勵強制建立的，應與外激勵具有相同的函數(shù)形式，當激勵為直流時,其特解為一常量。設該特解為，代入微分方程中可得故得代入初始值，確定系數(shù)K由上式知,電容兩端的電壓隨時間按始指數(shù)的規(guī)律增長,增長的快慢由時間常數(shù)決定所以的波形圖電容上的電流可根據(jù)電容的伏安關系求得其波形如圖(b)所示是隨時間逐漸衰減的。對于如圖所示的RL電路，同樣可求得其零狀態(tài)響應根據(jù)KCL可得電感兩端的電壓為一階RL電路與一階RC電路的零狀態(tài)響應具有相同的形式，iL(t)與uC(t)

的一般式為[例4-6]在圖(a)所示電路中,設開關閉合前電容無初始儲能。t=0時，開關K閉合，求時的。解：因為電容無初始儲能，所求為零狀態(tài)響應，有（1）求穩(wěn)態(tài)值由換路后的穩(wěn)態(tài)電路(電容相當于開路)知（2）求時間常數(shù)，R為從電容兩端看進去的戴維南等效電阻

于是所求響應為4-4一階電路的全響應當電路的初始狀態(tài)與外加激勵均不為零時，電路產(chǎn)生的響應稱為全響應根據(jù)疊加定理，可將初始狀態(tài)和外加激勵作為兩個獨立源，則全響應為零輸入響應和零狀態(tài)響應之和，即全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應對一階電路，全響應的一般公式可表示為[例4-7]如圖所示一階電路，t=0時開關閉合，已知,試求t>0時的解：設零輸入響應為uC1，零狀態(tài)響應為uC2

，則4-5一階電路的三要素分析法如前所述，在恒定激勵下，一階電路中的電壓和電流都是按指數(shù)規(guī)律變化的。圖（a）按指數(shù)規(guī)律增加圖（b）按指數(shù)規(guī)律減小并且在同一電路中，各支路電壓、電流具有相同的時間常數(shù)。由圖（a）可寫出f(t)的表達式為圖（a）按指數(shù)規(guī)律增加將后一項相乘展開并整理得由圖（b）可寫出f(t)的表達式為圖（b）按指數(shù)規(guī)律減小所以無論f(t)是按指數(shù)規(guī)律增加還是減小均可統(tǒng)一用上式表示。，稱為一階電路的三要素。在分析電路時，只要求出這三個要素，就能直接寫出響應的表達式，將這種求解一階電路響應的方法稱為三要素法。三要素法將一階RC電路、RL電路、零輸入響應、零狀態(tài)響應，全響應的表達式統(tǒng)一起來，這樣就使得一階電路的分析大為簡化

[例4-9]電路如圖(a)所示，當時開關K是斷開的，電路已處于穩(wěn)態(tài)。當時開關K閉合,求時的電流解：此電路因包含兩個動態(tài)元件,并非一階電路，但當開關K閉合后，電路可分解為兩個一階電路，如圖(b)、（c）所示。先利用三要素法分別求出兩個一階電路的電流，然后用KCL可得。2Ω（c）1Ω+12V-2H2ΩiLi2在t<0時，K是斷開的，電路已達到穩(wěn)態(tài)，所以電容相當于開路，電感相當于短路。由換路定則有換路后的(0+)等效電路如圖(d)所示。由圖可求得(2)求時間常數(shù)由圖（b）可知由圖（c）可知2Ω（c）1Ω+12V-2H2ΩiLi2利用三要素公式可得[例4-10]電路如圖(a)所示，N為線性電阻網(wǎng)絡，其零狀態(tài)響應為,如果用L=2H的電感代替電容，如圖(b)所示。試求該情況下的零狀態(tài)響應。解：圖(a)為一階RC電路，由其響應可求出電路的三要素為因為除L、C外，兩電路的結(jié)構參數(shù)完全相同，所以對RC電路，uC(0+)=0在求u0(0+)時，電容相當于短路；在求u0(∞)時，電容視為開路。對RL電路，iL(0+)=0在求u1(0+)時，電感相當于開路；在求u1(∞)時，電感視為短路。求u1(0+)時求u0(∞)等同于求u1(∞)時求u0(0+)等同于故有：對RC電路，可得對RL電路根據(jù)三要素法可得RL電路的響應為：4-6一階電路的階躍與沖激響應4-6-1單位階躍信號

一、單位階躍信號的定義二、單位階躍信號的電路實現(xiàn)三、單位延遲階躍信號四、用單位階躍信號表示各種脈沖信號單位階躍信號(電壓或電流)在零狀態(tài)電路中產(chǎn)生的響應，稱為單位階躍響應。4-6-2階躍響應

階躍響應實際上是恒定激勵下的零狀態(tài)響應，一般常采用三要素法求解。[例4-11]電路如圖(a)所示，已知,求階躍響應。解：（1）求初始值因為階躍響應是零狀態(tài)響應，所以當電路達到穩(wěn)態(tài)時，L可視為短路,等效電路如圖(b)所以（2）求穩(wěn)態(tài)值

（3）求時間常數(shù)等效電阻R為時間常數(shù)為故階躍響應為或表示為

[例4-12]電路如圖(a)所示，激勵如圖(b)所示。已知uC(0-)=2V,求t＞0時，電路的響應u(t)。

解：該電路的響應為全響應,可將其分為零輸入響應和零狀態(tài)響應,分別進行求解。1．求解零輸入響應uZi

因為時間常數(shù)零輸入響應2．求零狀態(tài)響應uZS（1）求單位階躍響應對應的單位階躍響應為u0(t)根據(jù)三要素法可得（2）將給定uS

(t)的用階躍函數(shù)表示（3）根據(jù)線性定常電路的性質(zhì)和疊加定理求uZS

線性定常電路有如下性質(zhì)：

若激勵為，電路的響應為S（t），則當激勵為時，其響應為。對應的響應對應的響應對應的響應所以根據(jù)疊加定理可得:3．求電路的全響應u(t)4-6-3單位沖激信號

一、單位沖激信號的定義

且

單位沖激信號可理解為一個寬度為τ，高度為1/τ的矩形脈沖函數(shù)在τ0時的極限所以沖激強度實際表示的是δ(t)的圖形面積為1。沖激信號還可以推廣為對于任意一個在處連續(xù)的函數(shù)，將有因此有有把一個函數(shù)在某一瞬間的值抽取出來的特性，這一特性稱為單位沖激函數(shù)的采樣。

單位階躍函數(shù)和單位沖激函數(shù)有如下關系：的上述關系可證明如下：實際上波形是不能躍變的，所以是上升速率很高的一種波形抽象化的結(jié)果。同樣也是矩形脈沖在時的近似對求導，結(jié)果恰好為是即當時，上式即可表示為4-6-4沖激響應

將單位沖激信號在零狀態(tài)電