中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用76010

第三章習(xí)題課中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一基本要求1、理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，會用他們證明一些等式或不等式。2、了解柯西中值定理及泰勒中值定理的條件和結(jié)論，會求簡單函數(shù)的泰勒公式及麥克勞林公式。3、熟練掌握洛必達(dá)法則，并利用它求未定式的極限。4、理解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)號的關(guān)系，會判斷函數(shù)的單調(diào)性。5、掌握極值的概念和求法，掌握最大(小)值的求法。6、了解函數(shù)圖形的凹凸性與拐點(diǎn)的概念，并會判斷曲線的凹凸性與拐點(diǎn)。7、了解微分作圖法。二要點(diǎn)提示1、洛必達(dá)法則若在自變量某一變化過程中(或)，（1）為（）或（）型未定式；（2），可導(dǎo)，且；（3）存在或；則運(yùn)用洛必達(dá)法則求未定式極限時(shí)應(yīng)該注意下述兩點(diǎn)：(1)先檢查法則的條件是否具備，特別要注意極限是否未定式，是否存在或。(2)配合使用其它求極限的方法，例如，化簡、分子(分母)有理化、先求出非零因式的極限，等價(jià)無窮小替代等，以使運(yùn)算簡便。注：對于及，，型未定式，可通過變形轉(zhuǎn)化為()或()型，再運(yùn)用洛必達(dá)法則。

2、判定函數(shù)單調(diào)性的方法若，，則在上單調(diào)增加；若，，則在上單調(diào)減少。3、判定曲線凹凸的方法若，，則在上的圖形是凹的；若，，則在上的圖形是凸的。4、極值

可能極值點(diǎn)為：駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。判定極值的方法：(1)第一種充分條件：設(shè)為可能極值點(diǎn)，考察兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否改變符號。(2)第二種充分條件：若，，則

當(dāng)時(shí)，在處取得極大值；

當(dāng)時(shí)，在處取得極小值。注：當(dāng)時(shí)，方法失效。

5、拐點(diǎn)連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)()?？赡艿墓拯c(diǎn)為：使和不存在時(shí)曲線上相應(yīng)的點(diǎn)()。判定()是拐點(diǎn)的方法：考察左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是否改變符號。三問題與思考問題1、下面例題方法對嗎？（1）（2） 不存在。答：均為錯(cuò)誤。(1)不是未定式.事實(shí)上，。(2)應(yīng)為 （）說明：洛必達(dá)法則不是萬能的。問題2、如果在取得極值，是否必有 ？答：不一定。因?yàn)楹瘮?shù)還可以在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)取得極值。問題3、如果可導(dǎo)函數(shù)當(dāng)時(shí)，有，則當(dāng)，有，該結(jié)論正確嗎？答：不對。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，只能說明當(dāng)時(shí)是單調(diào)增加的，不能保證。 例如，當(dāng)時(shí)，，但當(dāng) 時(shí)，。問題4、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法有哪些？(1)利用拉格郎日的中值定理。例(2)利用函數(shù)的單調(diào)性,例:當(dāng)時(shí),(3)利用泰勒公式，同（2）。(4)利用函數(shù)的最大最小值。(5)利用函數(shù)圖形的凹凸性。四典型題目1、求極限(1) (2)(3) (4)2、設(shè)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，試求 的導(dǎo)數(shù)？3、證明：當(dāng)時(shí)，