中值定理及導數(shù)的應用76010

第三章習題課中值定理及導數(shù)的應用一基本要求1、理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，會用他們證明一些等式或不等式。2、了解柯西中值定理及泰勒中值定理的條件和結論，會求簡單函數(shù)的泰勒公式及麥克勞林公式。3、熟練掌握洛必達法則，并利用它求未定式的極限。4、理解函數(shù)單調性與導數(shù)正負號的關系，會判斷函數(shù)的單調性。5、掌握極值的概念和求法，掌握最大(小)值的求法。6、了解函數(shù)圖形的凹凸性與拐點的概念，并會判斷曲線的凹凸性與拐點。7、了解微分作圖法。二要點提示1、洛必達法則若在自變量某一變化過程中(或)，（1）為（）或（）型未定式；（2），可導，且；（3）存在或；則運用洛必達法則求未定式極限時應該注意下述兩點：(1)先檢查法則的條件是否具備，特別要注意極限是否未定式，是否存在或。(2)配合使用其它求極限的方法，例如，化簡、分子(分母)有理化、先求出非零因式的極限，等價無窮小替代等，以使運算簡便。注：對于及，，型未定式，可通過變形轉化為()或()型，再運用洛必達法則。

2、判定函數(shù)單調性的方法若，，則在上單調增加；若，，則在上單調減少。3、判定曲線凹凸的方法若，，則在上的圖形是凹的；若，，則在上的圖形是凸的。4、極值

可能極值點為：駐點和不可導點。判定極值的方法：(1)第一種充分條件：設為可能極值點，考察兩側導數(shù)是否改變符號。(2)第二種充分條件：若，，則

當時，在處取得極大值；

當時，在處取得極小值。注：當時，方法失效。

5、拐點連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點()?？赡艿墓拯c為：使和不存在時曲線上相應的點()。判定()是拐點的方法：考察左右兩側二階導數(shù)是否改變符號。三問題與思考問題1、下面例題方法對嗎？（1）（2） 不存在。答：均為錯誤。(1)不是未定式.事實上，。(2)應為 （）說明：洛必達法則不是萬能的。問題2、如果在取得極值，是否必有 ？答：不一定。因為函數(shù)還可以在導數(shù)不存在的點取得極值。問題3、如果可導函數(shù)當時，有，則當，有，該結論正確嗎？答：不對。因為當時，，只能說明當時是單調增加的，不能保證。 例如，當時，，但當 時，。問題4、利用導數(shù)證明不等式的常用方法有哪些？(1)利用拉格郎日的中值定理。例(2)利用函數(shù)的單調性,例:當時,(3)利用泰勒公式，同（2）。(4)利用函數(shù)的最大最小值。(5)利用函數(shù)圖形的凹凸性。四典型題目1、求極限(1) (2)(3) (4)2、設在內具有二階導數(shù)，且 ，試求 的導數(shù)？3、證明：當時，