第十一章基于狀態(tài)空間模型的控制系統(tǒng)設計

第十一章基于狀態(tài)空間模型的控制系統(tǒng)設計

11.1概述11.2

極點配置11.3線性二次型最優(yōu)控制11.4解耦控制11.5狀態(tài)觀測器設計11.6包含狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)主要內容11.1概述考慮線性、定常、連續(xù)控制系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為：系統(tǒng)設計問題就是尋找一個控制作用u(t)，使得在其作用下系統(tǒng)運動的行為滿足預先所給出的期望性能指標。設計問題中的性能指標可分為非優(yōu)化型性能指標和優(yōu)化型性能指標兩種類型。11.1概述以一組期望的閉環(huán)極點作為性能指標，相應的設計問題稱為極點配置問題；以使一個多輸入—多輸出系統(tǒng)實現“一個輸入只控制一個輸出”作為性能指標，相應的設計問題稱為解耦控制問題；以使系統(tǒng)的輸出y(t)無靜差地跟蹤一個外部信號yr(t)作為性能指標，相應的設計問題稱為跟蹤（或伺服）問題；以使系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)或輸出y(t)）在外部擾動或其他因素影響下保持其設定值作為性能指標，相應的設計問題稱為調節(jié)問題。優(yōu)化型指標則是一類極值型的指標，設計目標是要使性能指標在所有可能值中取得極?。ɑ驑O大）值；非優(yōu)化型指標是一類不等式型的指標，即只要性能指標值達到或好于期望性能指標就算實現了設計目標。性能指標常取為一個相對于狀態(tài)x(t)和控制u(t)的二次型積分性能指標，其形式為：設計的任務是確定一個控制u*(t)

，使得相應的性能指標J[u*(t)]取得極小值。從線性系統(tǒng)理論可知，許多設計問題所得到的控制規(guī)律常具有狀態(tài)反饋的形式。但是由于狀態(tài)變量為系統(tǒng)的內部變量，通常并不是每一個狀態(tài)變量都是可以直接量測的。這一矛盾的解決途徑是：利用可量測變量構造出不能量測的狀態(tài)，相應的理論問題稱為狀態(tài)重構問題，即狀態(tài)觀測器問題。11.1概述11.2極點配置

在狀態(tài)反饋律作用下的閉環(huán)系統(tǒng)為：狀態(tài)反饋極點配置：通過狀態(tài)反饋矩陣K的選取，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點，即的特征值恰好處于所希望的一組給定閉環(huán)極點的位置上。線性定常系統(tǒng)可以用狀態(tài)反饋任意配置極點的充分必要條件是：該系統(tǒng)必須是完全能控的。所以在實現極點的任意配置之前，必須判別受控系統(tǒng)的能控性。11.2極點配置Bass-Gura算法：設受控系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式分別為：則狀態(tài)反饋陣K為：【調用格式】K=bass_pp(A,b,p)【說明】

:(A,b)為狀態(tài)方程模型,p為包含期望閉環(huán)極點位置的列向量

,返回變量K為狀態(tài)反饋行向量。單輸入系統(tǒng)的極點配置Ackermann算法：狀態(tài)反饋陣為控制系統(tǒng)工具箱中給出了一個acker()函數來實現該算法【調用格式】K=acker(A,b,p)【說明】參數定義與bass_pp()函數相同，值得指出的是：acker()函數可以求解多重極點配置的問題，但不能求解多輸入系統(tǒng)的問題。11.2極點配置多輸入系統(tǒng)的極點配置疋田算法：設，表示閉環(huán)系統(tǒng)的極點及其相對應的特征向量。11.2極點配置假定與A陣的特征值相異，且

有即則 令，于是，對于給定，可以求出一般說來可逆，否則重新選擇。疋田算法的具體步驟：首先，適當選擇，從而計算特征向量再確定狀態(tài)反饋陣說明了多輸入系統(tǒng)極點配置問題中的選擇有較大的任意性。確定狀態(tài)反饋陣K的非唯一性。11.2極點配置選取中每前r列構成r階單位陣，直至到第n列【調用格式】K=pitian(A,B,p)【說明】其參數定義同bass_pp()函數，的選取方法是若假定與A的特征值有相同的，或中有重根時，則可以對特征值相同的一個或幾個加上一定的微小偏量，使之滿足上面第一種情形的條件。然后，再重新進行極點配置。如果效果不夠理想，那么還可重新選擇陣來進行配置?？刂葡到y(tǒng)工具箱中place()函數是基于魯棒極點配置的算法，用來求取狀態(tài)反饋陣K，使得多輸入系統(tǒng)具有指定的閉環(huán)極點P，即。

例11.2.111.2極點配置【調用格式】K=place(A,B,p)[K,prec,message]=place(A,B,p)【說明】

prec為閉環(huán)系統(tǒng)的實際極點與期望極點P的接近程度，prec中的每個量的值為匹配的位數。如果閉環(huán)系統(tǒng)的實際極點偏離期望極點10%以上，那么message將給出警告信息。函數place()不適用于含有多重期望極點的配置問題。例11.2.2

已知一個倒立擺系統(tǒng)的數學模型為：其中，狀態(tài)變量為，輸出變量為，擺的質量，小車的質量，擺的長度。設計要求：對于任意給定的角度和（或）角速度的初始條件，設計一個使倒立擺保持在垂直位置的控制系統(tǒng)。同時要求在每一控制過程結束時，小車返回到參考位置x=0。而指標要求為：閉環(huán)主導極點的阻尼，調整時間秒。11.2極點配置解：1、將給定的的值代入上式，得到：

2、狀態(tài)反饋陣K的求?。簷z驗該系統(tǒng)是否狀態(tài)完全能控。

系統(tǒng)是完全能控的

根據性能指標選擇所期望的閉環(huán)極點位置。3、求閉環(huán)系統(tǒng)對初始條件的響應：假設初始條件為，而閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

擺將返回到參考位置，其結果是令人滿意的。11.2極點配置11.2極點配置含有積分器的I型伺服系統(tǒng)設計假定：r=m=1；前饋通道含有一個積分器；參考輸入v是階躍信號狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)：該閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)特性由來描述。設計I型伺服系統(tǒng)，使得閉環(huán)極點配置到所期望的位置上。所設計的將是一個漸近穩(wěn)定系統(tǒng)，將趨于常值，將趨于零。在穩(wěn)態(tài)時

用極點配置設計伺服系統(tǒng)

I型伺服系統(tǒng)的設計轉化為：對于給定的任意初始條件e(0)，設計一個漸近穩(wěn)定的調節(jié)系統(tǒng)，使得e(t)趨于零。

如果受控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則通過指定的所期望的特征值對陣采用極點配置的方法來確定K陣。x(t)和u(t)的穩(wěn)態(tài)值求法:在穩(wěn)態(tài)時，有所期望的特征值均在[s]復平面的左半部，所以陣可逆。從而，

11.2極點配置例11.2.3

設系統(tǒng)的傳遞函數為：設計一個I型伺服系統(tǒng)使得閉環(huán)極點為，設參考輸入。同理:

11.2極點配置

pp_sifuI()函數可實現含有積分器的I型伺服系統(tǒng)的上述設計?！菊{用格式】 [K,x_ss,y_ss,u_ss]=pp_sifuI(A,B,C,p,v)【說明】

v為參考階躍輸入信號的幅值。而返回的變量K為反饋增益陣，x_ss,y_ss,u_ss分別為穩(wěn)態(tài)值11.2極點配置不含有積分器的I型伺服系統(tǒng)設計如果系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，則I型伺服系統(tǒng)設計的基本原則是在誤差比較器和系統(tǒng)間的前饋通道中插入一個積分器假定：r=m=1；前饋通道不含積分器；受控系統(tǒng)是完全能控的，且其傳遞函數在原點處沒有零點。且狀態(tài)反饋控制方案：設計一個漸近穩(wěn)定系統(tǒng)，使得分別趨于常值。因此，在穩(wěn)態(tài)時當穩(wěn)態(tài)時

11.2極點配置由定義：

設計I型伺服系統(tǒng)的基本思想：設計一個穩(wěn)定的(n+1)階調節(jié)系統(tǒng)，對于給定的任意初始條件e(0)，將使e(t)趨于零。的穩(wěn)態(tài)值的求取：

由于在穩(wěn)態(tài)時，11.2極點配置11.2極點配置pp_sifu0()函數可實現含有積分器的I型伺服系統(tǒng)的上述設計【調用格式】[K,kI,x,y,t,x_ss,y_ss,u_ss,zeta_ss]=pp_sifu0(A,B,C,p,v,t)【說明】t為時間向量，KI為積分增益常數，x,y分別為所設計系統(tǒng)的狀態(tài)、輸出響應向量，zeta_ss為穩(wěn)態(tài)值

例11.2.4

考慮倒立擺系統(tǒng)設計要求：希望盡可能地保持倒立擺垂直，并控制小車的位置。指標要求：在小車的階躍響應中，約有4~5秒的調整時間和15%~16%的最大超調量。解：為控制小車的位置，需建造一個I型伺服系統(tǒng)。由于安裝在小車上的倒立擺系統(tǒng)沒有積分器，因此將位置信號x反饋到輸入端，并且在前饋通道中插入一個積分器，并將小車的位置作為系統(tǒng)的輸出，即。1、根據指標要求確定閉環(huán)主導極點：選擇期望的閉環(huán)極點為：2、確定倒立擺伺服系統(tǒng)的設計參數:在任意的設計問題中，如果響應速度和阻尼不十分滿意，則必須修改所期望的閉環(huán)極點，并確定一個新的矩陣。必須反復進行計算機仿真，直到獲得滿意的結果為止。11.2極點配置11.3線性二次型最優(yōu)控制考慮受控系統(tǒng)，其性能指標為：線性二次型最優(yōu)控制問題，簡稱為LQ（LinearQuadratic）問題。就是尋找一個控制u*(t)，使得系統(tǒng)沿著由指定初態(tài)x0出發(fā)的相應軌線x*(t)，其性能指標J取得極小值。有限時間LQ問題:終端時刻tf是固定的,且為有限值無限時間LQ問題:tf=∞

，調節(jié)問題狀態(tài)調節(jié)問題輸出調節(jié)問題跟蹤問題要求在使系統(tǒng)的輸出y(t)跟蹤已知的或未知的參考信號yr(t)的同時，使某個相應的二次型性能指標J為極小。11.3線性二次型最優(yōu)控制對于受控系統(tǒng),其無限時間LQ狀態(tài)調節(jié)問題中的性能指標為：為能控的為能觀測對于無限時間LQ狀態(tài)調節(jié)問題，u*(t)為其最優(yōu)控制的充分必要條件是其具有形式：是唯一的常數陣。無限時間LQ狀態(tài)調節(jié)問題11.3線性二次型最優(yōu)控制最優(yōu)軌線x*(t)為的解，最優(yōu)性能指標為:為下述Riccati矩陣代數方程的正定對稱解陣：設計所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。關于無限時間LQ狀態(tài)調節(jié)問題的魯棒性有以下結論：對于無限時間定常LQ狀態(tài)調節(jié)問題的最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)，取加權陣則系統(tǒng)的每一個反饋控制回路均具有：（1）至少的相角裕度；（2）從0.5到無窮大的幅值裕度。返回Riccati矩陣代數方程的解P及閉環(huán)系統(tǒng)的特征值e。，當N缺省時，默認取N=0控制系統(tǒng)工具箱還提供了使用Schur法的線性二次型調節(jié)問題設計的函數lqr2() 控制系統(tǒng)工具箱提供了求無限時間LQ狀態(tài)調節(jié)問題的函數lqr()【調用格式】[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R)[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R,N)【說明】[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R,N)設計線性定常、連續(xù)時間系統(tǒng)的最優(yōu)反饋增益矩陣K，將受控達到極小。11.3線性二次型最優(yōu)控制例11.3.1

考慮倒立擺系統(tǒng)，按不含積分器的I型伺服系統(tǒng)設計的方法，倒立擺系統(tǒng)就變成了一個閉環(huán)系統(tǒng)，其誤差方程為：要求：試確定反饋增益陣，使得性能指標取得極小。式中選?。?1.3線性二次型最優(yōu)控制對于受控系統(tǒng),其無限時間LQ輸出調節(jié)問題中的性能指標為：完全能控完全能觀測完全能觀測對于無限時間LQ輸出調節(jié)問題，u*(t)為其最優(yōu)控制的條件是其具有形式：是唯一的常數陣。

11.3線性二次型最優(yōu)控制無限時間LQ輸出調節(jié)問題為Riccati矩陣代數方程的正定對稱解陣：設計所得到的閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 控制系統(tǒng)工具箱也提供了求無限時間LQ輸出調節(jié)問題的函數lqry()【調用格式】[K,P,e]=lqry(sys,Q,R)[K,P,e]=lqry(sys,Q,R,N)【說明】[K,P,e]=lqry(sys,Q,R,N)設計線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)反饋增益矩陣K。最優(yōu)軌線x*(t)為的解，最優(yōu)性能指標為:11.3線性二次型最優(yōu)控制11.3線性二次型最優(yōu)控制例11.3.2

設受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：

而性能指標為：試求使系統(tǒng)的性能指標J為極小值時的最優(yōu)反饋增益矩陣K。最優(yōu)跟蹤問題11.3線性二次型最優(yōu)控制11.3線性二次型最優(yōu)控制lqr_c()函數用來實現上述解法?！菊{用格式】[P,g,K1,K2]=lqr_c(A,B,C,Q,R,yr)【說明】{A，B，C}為受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，Q，R為加權陣，yr為參考輸出向量11.4解耦控制

輸入-輸出動態(tài)解耦decoupling()函數實現動態(tài)解耦控制算法?！菊{用格式】[G,K,L]=decoupling(A,B,C),【說明】

11.4解耦控制11.4解耦控制輸入-輸出靜態(tài)解耦decoupling_s()函數可實現靜態(tài)解耦控制算法?！菊{用格式】[vv,K,L]=decoupling_s(A,B,C,p,dd)【說明】11.4解耦控制11.5狀態(tài)觀測器設計全維狀態(tài)觀測器設計11.5狀態(tài)觀測器設計【調用格式】 [xh,x,t]=simobsv(A,B