博弈論-完全信息靜態(tài)博弈

《博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)》第二章

完全信息靜態(tài)博弈

本章介紹完全信息靜態(tài)博弈。完全信息靜態(tài)博弈即各博弈方同時(shí)決策，且所有博弈方對(duì)各方得益都了解的博弈。囚徒的困境、齊威王田忌賽馬、猜硬幣、石頭剪子布、古諾產(chǎn)量決策都屬于這種博弈。完全信息靜態(tài)博弈屬于非合作博弈最基本的類型。本章介紹完全信息靜態(tài)博弈的一般分析方法、納什均衡概念、各種經(jīng)典模型及其應(yīng)用等。本章分六節(jié)2.1基本分析思路和方法2.2納什均衡2.3無限策略博弈分析和反應(yīng)函數(shù)2.4混合策略和混合策略納什均衡2.5納什均衡的存在性2.6納什均衡的選擇和分析方法擴(kuò)展2.1基本分析思路和方法2.1.1上策均衡2.1.2嚴(yán)格下策反復(fù)消去法2.1.3劃線法2.1.4箭頭法2.1.1上策均衡上策：不管其它博弈方選擇什么策略，一博弈方的某個(gè)策略給他帶來的得益始終高于其它的策略，至少不低于其他策略的策略囚徒的困境中的“坦白”；雙寡頭削價(jià)中“低價(jià)”。上策均衡：一個(gè)博弈的某個(gè)策略組合中的所有策略都是各個(gè)博弈方各自的上策，必然是該博弈比較穩(wěn)定的結(jié)果上策均衡不是普遍存在的-5，-50，-8-8，0-1，-1坦白不坦白坦白不坦白兩個(gè)罪犯的得益矩陣囚徒2囚徒1

2.1.2嚴(yán)格下策反復(fù)消去法嚴(yán)格下策：不管其它博弈方的策略如何變化，給一個(gè)博弈方帶來的收益總是比另一種策略給他帶來的收益小的策略。嚴(yán)格下策反復(fù)消去：1，01，30，10，40，22，0左中右上下1，01，30，40，2左中1，01，3左中2.1.3劃線法1，01，30，10，40，22，0-5，-50，-8-8，0-1，-1囚徒困境-1，11，-11，-1-1，1猜硬幣2，10，00，01，3夫妻之爭(zhēng)2.1.4箭頭法1，01，30，10，40，22，0-5，-50，-8-8，0-1，-1囚徒困境-1，11，-11，-1-1，1猜硬幣2，10，00，01，3夫妻之爭(zhēng)8，81，71，37，14，41，3左中右上下2，23，13，1中請(qǐng)分別用不同方法分析此博弈2.2納什均衡2.2.1納什均衡的定義2.2.2納什均衡的一致預(yù)測(cè)性質(zhì)2.2.3納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法2.2.1納什均衡的定義策略空間：博弈方的第個(gè)策略：博弈方的得益：博弈：納什均衡：在博弈中，如果由各個(gè)博弈方的各一個(gè)策略組成的某個(gè)策略組合中，任一博弈方

的策略，都是對(duì)其余博弈方策略的組合的最佳對(duì)策，也即對(duì)任意都成立，則稱為的一個(gè)納什均衡),(**n1ssL),...,,(**1*1*nii1ssss+-L),...,,,(),...,,,(**1*1***1**1*niiji1iniii1isssssusssssu+-+-3LL),(**n1ssL2.2.2納什均衡的一致預(yù)測(cè)性質(zhì)

一致預(yù)測(cè)：如果所有博弈方都預(yù)測(cè)一個(gè)特定博弈結(jié)果會(huì)出現(xiàn)，所有博弈方都不會(huì)利用該預(yù)測(cè)或者這種預(yù)測(cè)能力選擇與預(yù)測(cè)結(jié)果不一致的策略，即沒有哪個(gè)博弈方有偏離這個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果的愿望，因此預(yù)測(cè)結(jié)果會(huì)成為博弈的最終結(jié)果。只有納什均衡才具有一致預(yù)測(cè)的性質(zhì)一致預(yù)測(cè)性是納什均衡的本質(zhì)屬性一致預(yù)測(cè)并不意味著一定能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，因?yàn)橛卸嘀鼐?，預(yù)測(cè)不一致的可能2.2.3納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法上策均衡肯定是納什均衡，但納什均衡不一定是上策均衡命題2.1：在n個(gè)博弈方的博弈中，如果嚴(yán)格下策反復(fù)消去法排除了除之外的所有策略組合，那么一定是該博弈的唯一的納什均衡。命題2.2：在n個(gè)博弈方的博弈中中，如果是的一個(gè)納什均衡，那么嚴(yán)格下策反復(fù)消去法一定不會(huì)將它消去。

上述兩個(gè)命題保證在進(jìn)行納什均衡分析之前先通過嚴(yán)格下策反復(fù)消去法簡(jiǎn)化博弈是可行的),(**n1ssL),(**n1ssL),(**n1ssL2.3無限策略分析和反應(yīng)函數(shù)2.3.1古諾的寡頭模型2.3.2伯特蘭德寡頭模型2.3.3公共資源問題2.3.4反應(yīng)函數(shù)的問題和局限性2.3.1古諾的寡頭模型寡頭產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)——以兩廠商產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)為例222126qqqq--=4.5，4.55，3.753.75，54，4不突破突破廠商2不突破突破廠商1以自身最大利益為目標(biāo)：各生產(chǎn)2單位產(chǎn)量，各自得益為4以兩廠商總體利益最大：各生產(chǎn)1.5單位產(chǎn)量，各自得益為4.5兩寡頭間的囚徒困境博弈古諾模型的反應(yīng)函數(shù)(3,0)(6,0)(0,3)(0,6)古諾模型的反應(yīng)函數(shù)圖示理性局限和古諾調(diào)整2.3.2伯特蘭德寡頭模型價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)寡頭的博弈模型產(chǎn)品無差別，消費(fèi)者對(duì)價(jià)格不十分敏感相同產(chǎn)品的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)假設(shè)雙寡頭面臨的市場(chǎng)需求函數(shù):P=30-Q;Q=Q1+Q2假設(shè)兩廠商的邊際成本為：MC1=MC2=3古諾均衡:Q1=Q2=9P=12利潤(rùn)各為81假設(shè)這兩個(gè)雙寡頭是通過同時(shí)選擇價(jià)格相互競(jìng)爭(zhēng)。納什均衡就是完全競(jìng)爭(zhēng)的均衡:P1=P2=3=MCQ1=Q2=13.5利潤(rùn)為0差別產(chǎn)品的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)假設(shè)兩廠商的固定成本為都為20，但沒有可變成本。假設(shè)雙寡頭面臨的市場(chǎng)需求函數(shù):廠商1的需求：Q1=12－2P1+P2廠商2的需求：Q2=12－2P2+P1廠商1的反應(yīng)函數(shù):P1=3+0.25P2廠商2的反應(yīng)函數(shù):P2=3+0.25P1納什均衡:P1=P2=4利潤(rùn)各為122.3.3公共資源問題公共草地養(yǎng)羊問題以三農(nóng)戶為例

n=3，c=4,每只羊的產(chǎn)出函數(shù)V=100-Q合作：總體利益最大化競(jìng)爭(zhēng)：個(gè)體利益最大化2.3.4反應(yīng)函數(shù)的問題和局限性在許多博弈中，博弈方的策略是有限且非連續(xù)時(shí)，其得益函數(shù)不是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，無法求得反應(yīng)函數(shù)，從而不能通過解方程組的方法求得納什均衡。即使得益函數(shù)可以求導(dǎo)，也可能各博弈方的得益函數(shù)比較復(fù)雜，因此各自的反應(yīng)函數(shù)也比較復(fù)雜，并不總能保證各博弈方的反應(yīng)函數(shù)有交點(diǎn)，特別不能保證有唯一的交點(diǎn)。2.4混合策略和混合策略納什均衡2.4.1嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)博弈和混合策略的引進(jìn)2.4.2多重均衡博弈和混合策略2.4.3混合策略和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法2.4.4混合策略反應(yīng)函數(shù)2.4.1嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)博弈和混合策略的引進(jìn)一、猜硬幣博弈-1，11，-11，-1-1，1正面反面猜硬幣方蓋硬幣方正面反面（1）不存在前面定義的納什均衡策略組合（2）關(guān)鍵是不能讓對(duì)方猜到自己策略這類博弈很多，引出混合策略納什均衡概念二、混合策略、混合策略博弈

和混合策略納什均衡

混合策略：在博弈中，博弈方的策略空間為，則博弈方以概率分布隨機(jī)在其個(gè)可選策略中選擇的“策略”，稱為一個(gè)“混合策略”，其中對(duì)都成立，且

混合策略擴(kuò)展博弈：博弈方在混合策略的策略空間（概率分布空間）的選擇看作一個(gè)博弈，就是原博弈的“混合策略擴(kuò)展博弈）。

混合策略納什均衡：包含混合策略的策略組合，構(gòu)成納什均衡。三、一個(gè)例子該博弈無純策略納什均衡，可用混合策略納什均衡分析博弈方1的混合策略博弈方2的混合策略2，35，23，11，5CDAB博弈方2博弈方1

策略得益博弈方1（0.8，0.2）2.6博弈方2（0.8，0.2）2.6尋找混合策略納什均衡概率分布的思路：令各個(gè)博弈方隨機(jī)選擇純策略的概率分布，滿足使對(duì)方或其他博弈方采用不同策略的期望得益相同。求此博弈中的混合策略納什均衡2，10，21，23，0左右博弈方2博弈方1上下四、齊威王田忌賽馬3，-31，-11，-11，-1-1，11，-11，-13，-31，-11，-11，-1-1，11，-1-1，13，-31，-11，-11，-1-1，11，-1，1，-13，-31，-11，-11，-11，-11，-1-1，13，-31，-11，-11，-1-1，11，-11，-13，-3上中下上下中中上下中下上下上中下中上上中下上下中中上下中下上下上中下中上田忌齊威王得益矩陣五、小偷和守衛(wèi)的博弈V，-D-P，00，S0，0睡不睡偷不偷守衛(wèi)小偷0-D-D’守衛(wèi)得益((睡)SPt小偷偷的概率1V，-D-P，00，S0，0睡不睡偷不偷守衛(wèi)小偷0-P-P’小偷得益(偷)VPg守衛(wèi)睡的概略1“激勵(lì)悖論”（政策目標(biāo)和政策結(jié)果之間的意外關(guān)系）：加重對(duì)守衛(wèi)的處罰：短期中的效果是使守衛(wèi)真正盡職在長(zhǎng)期中并不能使守衛(wèi)更盡職，但會(huì)降低盜竊發(fā)生的概率。加重對(duì)小偷的懲罰在長(zhǎng)期中并不能抑制盜竊，最多只能抑制短期的盜竊發(fā)生率，它的主要作用是使得守衛(wèi)可以更多地偷懶。2.4.2多重均衡博弈和混合策略一、夫妻之爭(zhēng)的混合策略納什均衡2，10，00，01，3時(shí)裝足球時(shí)裝足球丈夫妻子夫妻之爭(zhēng)妻子的混合策略丈夫的混合策略夫妻之爭(zhēng)博弈的混合策略納什均衡策略得益博弈方1（0.75，0.25）0.67博弈方2（1/3，2/3）0.75二、制式問題1，30，00，02，2ABAB廠商2廠商1制式問題

制式問題混合策略納什均衡

AB得益廠商1：0.40.60.664廠商2：0.670.331.296三、市場(chǎng)機(jī)會(huì)博弈-50，-50100，00，1000，0進(jìn)不進(jìn)進(jìn)不進(jìn)廠商2廠商1市場(chǎng)機(jī)會(huì)

進(jìn)不進(jìn)

得益廠商1：2/31/30廠商2：2/31/302.4.3混合策略和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法3，10，20，23，31，31，1LRUMD博弈方2博弈方1博弈方2采用純策略L時(shí)，博弈方1采用混合策略(1/2,1/2,0)的得益博弈方2采用純策略R時(shí)，博弈方1采用混合策略(1/2,1/2,0)的得益結(jié)論：（1）任何博弈方都不會(huì)采用任何嚴(yán)格下策，不管它們是純策略還是混合策略；（2）嚴(yán)格下策反復(fù)消去法不會(huì)消去任何納什均衡，包括純策略納什均衡和混合策略納什均衡；（3）如果經(jīng)過反復(fù)消去后留下的策略組合是唯一的，那么一定是納什均衡。

2.4.4混合策略反應(yīng)函數(shù)猜硬幣博弈-1，11，-11，-1-1，1正面反面猜硬幣方正面反面猜硬幣博弈蓋硬幣方rq111/21/2(r,1-r)：蓋硬幣方選擇正反面的混合策略概率分布(q,1-q)：猜硬幣方選擇正反面的混合策略概率分布夫妻之爭(zhēng)博弈2，10，00，01，3時(shí)裝足球丈夫時(shí)裝足球妻子夫妻之爭(zhēng)rq111/31/3(r,1-r)：丈夫的混合策略概率分布(q,1-q)：妻子的混合策略概率分布2，11，20，23，0LR2TB12.5納什均衡的存在性納什定理：在一個(gè)由n個(gè)博弈方的博弈中，如果n是有限的，且都是有限集(對(duì))，則該博弈至少存在一個(gè)納什均衡，但可能包含混合策略。(每個(gè)有限博弈都至少有一個(gè)混合策略納什均衡)主要根據(jù)是布魯威爾和角谷的不動(dòng)點(diǎn)定理。納什均衡的普遍存在性正是納什均衡成為非合作博弈分析核心概念的根本原因之一。混合戰(zhàn)略納什均衡純戰(zhàn)略納什均衡重復(fù)剔除占優(yōu)均衡占優(yōu)均衡總結(jié):不同均衡概念之間的關(guān)系2.6納什均衡的選擇和分析方法擴(kuò)展2.6.1多重納什均衡博弈的分析2.6.2共謀和防共謀均衡2.6.1多重納什均衡博弈的分析帕累托上策均衡風(fēng)險(xiǎn)上策均衡聚點(diǎn)均衡相關(guān)均衡一、帕累托上策均衡（鷹鴿博弈）這個(gè)博弈中有兩個(gè)純策略納什均衡，（戰(zhàn)爭(zhēng)，戰(zhàn)爭(zhēng)）和（和平，和平），顯然后者帕累托優(yōu)于前者，所以，（和平，和平）是本博弈的一個(gè)帕累托上策均衡。-5，-5-10，88，-1010，10戰(zhàn)爭(zhēng)和平國(guó)家2戰(zhàn)爭(zhēng)和平國(guó)家1戰(zhàn)爭(zhēng)與和平二、風(fēng)險(xiǎn)上策均衡考慮、顧忌博弈方、其他博弈方可能發(fā)生錯(cuò)誤等時(shí)，帕累托上策均衡并不一定是最優(yōu)選擇，需要考慮：風(fēng)險(xiǎn)上策均衡。下面就是兩個(gè)例子。9，98，00，87，7LR博弈方2UD博弈方1風(fēng)險(xiǎn)上策均衡（D，R）5，53，00，33，3鹿兔子獵人2鹿兔子獵人1獵鹿博弈風(fēng)險(xiǎn)上策均衡（兔子，兔子）三、聚點(diǎn)均衡利用博弈設(shè)定以外的信息和依據(jù)選擇的均衡文化、習(xí)慣或者其他各種特征都可能是聚點(diǎn)均衡的依據(jù)城市博弈（城市分組相同）、時(shí)間博弈（報(bào)出相同的時(shí)間）是聚點(diǎn)均衡的典型例子四、相關(guān)均衡5，14，40，01，5LR博弈方2UD博弈方1相關(guān)均衡例子三個(gè)