第三章 傅立葉變換和系統(tǒng)的頻域分析

Chapter3第三章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析本章要點信號表示為正交函數(shù)集周期信號的頻譜常用信號的傅里葉變換傅立葉變換的性質(zhì)Parseval’s定理與能量頻譜FFFFFFFFFFF連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件理想低通濾波器的沖激響應與階躍響應非周期信號的傅里葉變換調(diào)制與解調(diào)周期信號的傅里葉級數(shù)引言變換域分析——就是選取完備的正交函數(shù)集來最佳逼近信號，或者說，信號用完備的正交函數(shù)集來展開，其展開系數(shù)就是信號的變換表示。不同的變換域的區(qū)別就在于選取不同的正交完備集。采用變換域分析的目的：主要是簡化分析。這章付里葉變換主要從信號分量的組成情況去考察信號的特性。從而便于研究信號的傳輸和處理問題。3.1

信號表示為正交函數(shù)集

信號表示為正交函數(shù)分量的原理與矢量分解為正交矢量的概念類似。一、矢量的分量和矢量的分解矢量在矢量上的分量示意圖圖(a)中

——用分量來近似代表原矢量的誤差矢量。圖中為在上的斜投影，可有無窮多個斜投影，用斜投影近似代表原矢量時，都大于。結(jié)論：若用一矢量的分量去代表原矢量而誤差矢量最小，則這個分量只能是原矢量的垂直投影。圖(a)中從幾何圖上可得：從解析角度：

則令也可導出——是在最小平方誤差的意義上標志著和相互近似程度。例如：和相同時，時，由圖還可看出，其中，與組成一正交矢量。平面矢量分解圖

和是一組模為1的正交矢量空間中的矢量分解圖矢量空間的概念可以引申到n維。設n維正交矢量集為即則二.信號的分量和信號的分解

信號常以時間函數(shù)表示，所以信號的分解指的就是函數(shù)的分解。1、函數(shù)的分量設在區(qū)間內(nèi)，用函數(shù)在另一函數(shù)中的分量來近似的代表原函數(shù)。取何值時，得到最佳近似？選擇誤差函數(shù)的方均值為最小。即方均值為求此值最小時的令解得矢量分解——是在最小方均誤差的意義上代表二函數(shù)

和間的相關(guān)聯(lián)的程度。稱和在區(qū)間內(nèi)為正交，構(gòu)成了一個正交函數(shù)集。稱與正交，組成正交矢量。例1：試用正弦函數(shù)sint

在區(qū)間（0，2

）內(nèi)來近似表示此函數(shù)，使均方誤差最小。1t01所以解：在區(qū)間內(nèi)近似為例2：試用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)近似表示解：也即cost不包含sint分量，或說cost與sint正交。2、正交信號空間

設n個函數(shù)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間內(nèi)滿足下列正交特性：——常數(shù)則稱此函數(shù)集為正交函數(shù)集，這n個構(gòu)成一個n維正交信號空間。任意一個代表信號的函數(shù)f（t），在區(qū)間內(nèi)可以用組成信號空間的n個正交函數(shù)的線性組合來近似。理論上講在使近似式的均方誤差最小條件下，可求得均方誤差3、用完備正交函數(shù)集表示信號如果用正交函數(shù)集，，…在區(qū)間近似表示函數(shù)方均誤差為若令趨于無限大，的極限等于零則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集定義1：定義2：如果在正交函數(shù)集之外，不存在函數(shù)x（t）滿足等式i為任意整數(shù)則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。這有兩層意思：1，如果x（t）在區(qū)間內(nèi)與正交，則x（t）必屬于這個正交集。2，若x（t）與正交，但中不包含x（t），則此集不完備。4、復變函數(shù)的正交特性。

若和是t的復變函數(shù)，則有關(guān)正交特性的描述如下：

若在區(qū)間內(nèi)可由來近似，使均方誤差幅度最小的之最佳值是

兩個復變函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)互相正交的條件是：如果在區(qū)間內(nèi)，復變函數(shù)集，滿足則稱此為正交函數(shù)集例:(1)三角函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例:(2)復指數(shù)函數(shù)集是一個復變函數(shù)集，也是完備正交函數(shù)集。3.2

周期信號的傅里葉級數(shù)

1822年法國數(shù)學家傅里葉（1768——1830）在研究熱傳導理論時發(fā)表了“熱的分析理論”著作，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理。一、三角函數(shù)集、復指數(shù)函數(shù)集是完備正交函數(shù)集1、三角函數(shù)集：representationofsignal:FourierSeries二、周期信號f（t）表示為傅里葉級數(shù)將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合

從信號分析的角度，將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號之間進行比較提供了途徑。

從系統(tǒng)分析角度，已知單頻正弦信號激勵下的響應，利用迭加特性可求得多個不同頻率正弦信號同時激勵下的總響應而且每個正弦分量通過系統(tǒng)后，是衰減還是增強一目了然。

意義：

由數(shù)學分析知，當周期信號f（t）滿足狄氏條件時，可展開為三角付里葉級數(shù)或復指數(shù)傅立葉級數(shù)。狄氏條件：（1）在一周期內(nèi)，間斷點的數(shù)目有限；（2）在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；（3）在一周期內(nèi)，電子技術(shù)中的周期信號大都滿足狄氏條件，當f（t)滿足狄氏條件時，才存在。注意：條件（3）為充分條件但不是必要條件； 條件（1）（2）是必要條件但不是充分條件。

1，周期信號f（t）展開為三角傅里葉級數(shù)設f（t）是周期為T的函數(shù)2、周期信號f（t）展開為復指數(shù)傅里葉級數(shù)證明：三、傅立葉級數(shù)的基本性質(zhì)線性特性

時移特性

卷積性質(zhì)

微分特性

若

f1(t)和

f2(t)均是周期為T0的周期信號，且

對稱特性

(1)若f(t)為實信號對稱特性

(2)縱軸對稱信號f

(t)=f

(-t)

縱軸對稱周期信號其傅立葉級數(shù)展開式中只含有直流項與余弦項。對稱特性

(3)原點對稱信號f

(t)=-f

(-t)

原點對稱周期信號其傅立葉級數(shù)展開式中只含有正弦項。對稱特性

(4)半波重迭信號f

(t)=f

(t±T/2)

半波重疊周期信號只含有正弦與余弦的偶次諧波分量，而無奇次諧波分量。對稱特性

(5)半波鏡像信號f

(t)=-f

(t±T/2)

半波鏡像周期信號只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無直流分量與偶次諧波分量。說明

：某些信號波形經(jīng)上下或左右平移后，才呈現(xiàn)出某種對稱特性

去掉直流分量后，

信號呈奇對稱，只含有正弦各次諧波分量。

因此該信號含有正弦各次諧波分量，直流分量。例4求圖示周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)f(t)=f1(t)

-f2(t)周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)的關(guān)系。FF解:周期三角脈沖信號的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式為解:解:解:例3

求

Fn解:

根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的定義可得例2已知連續(xù)周期信號的頻譜如圖，試寫出實數(shù)形式的Fourier級數(shù)。解：由圖可知3.3周期信號的頻譜

為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。一、頻譜圖的概念由上一節(jié)知周期信號f（t）可用傅里葉級數(shù)來表示。或二、典型周期信號的頻譜周期矩形脈沖信號F（t）TtT：脈沖周期：脈沖寬度A：脈沖幅度第一步：首先展開為三角形式的傅立葉級數(shù)f(t)是偶函數(shù)bn=0T：三角函數(shù)公共周期第二步：展成指數(shù)形式傅里葉級數(shù)FS當時第三步：頻譜分析與之比值有關(guān)，取

與包絡線均為為離散頻率即

Cn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號各正弦諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱頻譜函數(shù)。計算第一個振幅為零的諧波次數(shù)n幅度頻譜圖1抽樣函數(shù)0an>00Cn>0Cn<0即即0相位頻譜圖-第四步：討論頻譜結(jié)構(gòu)與、T的關(guān)系1.當不變，T增大，譜線間隔減小，譜線逐漸密集，幅度減小

當非周期信號連續(xù)頻率非周期信號連續(xù)頻譜

此例中為一實數(shù)。幅度頻譜與相位頻譜可以合畫在一張圖上。對于一般頻譜，常以0頻率開始振幅將為包絡線最大值的1/10的頻率之間的頻帶定義為信號的頻帶寬度2.當T不變，減小時T不變間隔不變振幅為0的諧波頻率3.頻帶寬度的定義對于周期矩形信號，一般或周期矩形信號的時間特性：f(t)變化快

f(t)變化慢頻率特性：變化快的信號必然具有較寬的頻帶三、周期信號的頻譜特點(1)離散性——譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間的間隔為。這種頻譜常稱為離散頻譜。(2)諧波性——譜線在頻譜軸上的位置是基頻的整數(shù)倍。(3)收斂性——各頻譜的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小，當諧波次數(shù)無限增高時，譜線的高度也無限減小當周期信號的幅度頻譜隨著諧波nw0增大時，幅度頻譜|Fn|不斷衰減，并最終趨于零。若信號時域波形變化越平緩，高次諧波成分就越少，幅度頻譜衰減越快；若信號時域波形變化跳變越多，高次諧波成分就越多，幅度頻譜衰減越慢。

f(t)不連續(xù)時，

Fn按1/n的速度衰減

f’(t)不連續(xù)時，F(xiàn)n按1/n2的速度衰減四、周期信號的功率譜

物理意義：任意周期信號的平均功率等于信號所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。

周期信號的功率頻譜：

|Fn|2

隨nw0

分布情況稱為周期信號的功率頻譜，簡稱功率譜。

帕什瓦爾(Parseval)功率守恒定理例3

試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(0~2p

/t)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。

解：

周期矩形脈沖的傅里葉系數(shù)為

將A=1，T=1/4，

=1/20，w0=2p/T=8p

代入上式解：

包含在有效帶寬(0~2p

/t)內(nèi)的各諧波平均功率為信號的平均功率為周期信號的功率譜

例4

求f

(t)的功率。解：1)2)吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象

用有限次諧波分量來近似原信號，在不連續(xù)點出現(xiàn)過沖，過沖峰值不隨諧波分量增加而減少，且

為跳變值的9%

。吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因

時間信號存在跳變破壞了信號的收斂性，使得在間斷點傅里葉級數(shù)出現(xiàn)非一致收斂。

N=5N=15N=50N=500吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象3.4非周期信號的傅里葉變換一、頻譜密度函數(shù)以周期矩形信號為例，當周期（周期信號變?yōu)榉侵芷谛盘枺x散頻譜變成連續(xù)頻譜），即譜線長度趨于零（無窮小）。以上兩節(jié)討論了周期信號的付里葉級數(shù)，并得到周期信號的頻譜具有離散性、諧波性、收斂性三個特點，本節(jié)把上述傅立葉分析方法推廣到非周期信號中，導出非周期信號的傅立葉變換FT。

此時，原分析方法失效，但譜線長度（振幅）雖同為無窮小，但它們的大小并不相同，相對值仍有差別。為了表明無窮小的振幅間的相對差別，有必要引入一個新的量——稱為“頻譜密度函數(shù)”。設周期信號頻譜密度函數(shù)從上式可以看出：非周期信號和周期信號一樣，也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。不同的是，由于非周期信號的于是它包含了從零到無限高的所有頻率分量。同時，三角函數(shù)振幅，故用頻譜不能直接畫出，必須用它的密度函數(shù)作出。最后必須指出，從理論上講，F(xiàn)T也應滿足類似狄氏條件。討論：常用信號的傅里葉變換1t0f(t)(a)0(b)0(c)f(t)0t(a)0(b)3、矩形單脈沖信號（門函數(shù)）(a)(b)(c)(d)常數(shù)頻譜1不滿足絕對可積條件，反變換求解過程見管致中書P120物理意義：在時域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。因此，這種頻譜常稱為“均勻譜“或”白色譜“。01t-2T-T0T2T3Tt(a)周期單位沖激序列

(b)傅里葉變換頻譜

表示在無窮小的頻帶范圍內(nèi)（即諧頻點）取得了無限大的頻譜密度值。例2：付里葉變換付里葉變換付里葉級數(shù)0t-2T–T0T2Tt0t例3：3.5傅立葉變換的性質(zhì)說明：相加信號的頻譜等于各個單獨信號的頻譜之和。FF頻移性質(zhì)F例2試求矩形脈沖信號f(t)與余弦信號cosw0

t相乘后信號的頻譜函數(shù)。

應用頻移特性可得解:

已知寬度為的矩形脈沖信號對應的頻譜函數(shù)為

解:

例3

試利用微分特性求矩形脈沖信號的頻譜函數(shù)。

解：

由上式利用時域微分特性，得

因此有例4

試求單位斜坡信號tu(t)的頻譜。解：

已知單位階躍信號傅里葉變換為:故利用頻域微分特性可得:E例5

求如圖所示信號的頻譜。解：

例6

計算其頻譜Y(jw)。解：

利用Fourier變換的卷積特性可得3.6Parseval’s定理與能量頻譜從能量的角度來考察信號時域和頻域特性間的關(guān)系Parseval’s定理：周期信號的功率等于該信號在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。一般非周期信號屬于能量有限信號Parseval定理：非周期信號在時域中求得的信號能量等于在頻域中求得的信號能量。例7

計算。解：

由

根據(jù)Parseval能量守恒定律，可得LTI系統(tǒng)的全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應本節(jié)只研究零狀態(tài)響應。1.時域分析法即將

分解為無限個

之疊加。即零狀態(tài)響應分解為所有被激勵加權(quán)的之疊加。時域方法缺點：計算復雜。3.7連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析2.頻域分析法（是變換域分析法的一種）由時域卷積定理知：稱為系統(tǒng)函數(shù)（或傳遞函數(shù)）此方法稱為頻域分析法，另外還有復頻域分析法、Z域分析法等都是屬于變換域分析法。3、連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應H(jw)的定義與物理意義幅度響應相位響應

H(jw)的物理意義：

系統(tǒng)把頻譜為F(jw)

的輸入改變成頻譜為H(jw)

F(jw)的響應，改變的規(guī)律完全由H(jw)

決定。H(jw)反映了系統(tǒng)對輸入信號不同頻率分量的傳輸特性。

H(jw)稱為系統(tǒng)的頻率響應，定義為或Yf

(jw)=

H(jw)

F(jw)將任意激勵信號分解為無窮多項信號的疊加（或無窮多項正弦分量的疊加）將無窮多項信號分量作用于系統(tǒng)所得的響應取和（疊加）2頻域分析法：也是建立在線性系統(tǒng)具有疊加性、齊次性基礎上，與時域分析法不同處在于信號分解的單元函數(shù)不同?？偨Y(jié)：在線性時不變系統(tǒng)的分析中，無論時域、頻域的方法都可按信號分解、求響應再疊加的原則來處理。5、求H(jw)的方法

由系統(tǒng)的動態(tài)方程式直接計算；

由系統(tǒng)的沖激響應的傅里葉變換計算；

由電路的零狀態(tài)頻域電路模型計算。解：利用Fourier變換的微分特性，微分方程的頻域表示式為由定義可求得例1

已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程為

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，

求系統(tǒng)的頻率響應H(jw)。例2

已知某LTI系統(tǒng)的沖激響應為

h(t)=(e-t-e-2t)u(t)，求系統(tǒng)的頻率響應H(jw)。解：利用H(jw)與h(t)的關(guān)系例3圖示RC電路系統(tǒng)，激勵電壓源為f(t)，輸出電壓

y(t)為電容兩端的電壓vc(t)，電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應H(jw)和沖激響應h(t)。解：RC電路的頻域(相量)模型如圖，由Fourier反變換，得系統(tǒng)的沖激響應h(t)為由電路的基本原理有RC電路系統(tǒng)的幅度響應

隨著頻率的增加，系統(tǒng)的幅度響應|H(jw)|不斷減小，說明信號的頻率越高，信號通過該系統(tǒng)的損耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把wc=1/RC稱為該系統(tǒng)的3db截頻。低通濾波器有始信號通過線性電路的瞬態(tài)分析

例1：已知，求零狀態(tài)響應。時域電路模型（RC低通網(wǎng)絡）頻域電路模型解：電壓傳輸比例題說明+-RC11￠22￠+-2OttEOttOwOwtEOw122急速變化處意味著有很高的頻率分量

從以上分析可以看出，利用從頻譜改變的觀點解釋激勵與響應波形的差異，物理概念比較清楚，但求傅立葉逆變換的過程比較煩瑣，因此，在求解一般非周期信號作用于具體電路的響應時，用更方便，很少利用。這節(jié)引出的重要意義在于研究信號傳輸?shù)幕咎匦?、建立濾波器的基本概念并理解頻響特性的物理意義。結(jié)論

連續(xù)信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析

連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析

連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析正弦信號通過系統(tǒng)的響應任意周期信號通過系統(tǒng)的響應一、連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析1.

已知描述系統(tǒng)的微分方程方程兩邊進行Fourier變換，并利用時域微分特性，有解此代數(shù)方程即可求得零狀態(tài)響應的頻譜Yf

(jw)。一、連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析2.

已知系統(tǒng)的頻域響應對Yf

(jw)進行Fourier反變換，可得

系統(tǒng)零狀態(tài)響應頻域分析方法與卷積積分法的關(guān)系：1)

兩種分析方法實質(zhì)相同，只不過是采用單元信號不同。2)分析域不同，卷積積分法

——時域，

頻域分析法

——頻域。Fourier變換的時域卷積定理是聯(lián)系兩者的橋梁。例1

已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程為

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3f

'(t)+4

f(t)，系統(tǒng)的輸入激勵

f(t)=e-3tu(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf

(t)。解：

由于輸入激勵f(t)的頻譜函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應由微分方程可得故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf

(t)的頻譜函數(shù)Yf

(jw)為二、連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析1.

正弦信號通過系統(tǒng)的響應由Euler公式可得

利用虛指數(shù)信號ejwt作用在系統(tǒng)上響應的特點及系統(tǒng)的線性特性，可得零狀態(tài)響應y(t)為二、連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析1.正弦信號通過系統(tǒng)的響應同理

結(jié)論：正、余弦信號作用于線性時不變系統(tǒng)時，其輸出的零狀態(tài)響應y(t)仍為同頻率的正、余弦信號。

輸出信號的幅度y(t)由系統(tǒng)的幅度響應|H(jw0)|確定

輸出信號的相位相對于輸入信號偏移了f(w0)例2

已知一連續(xù)時間系統(tǒng)的頻響特性如圖所示，輸入信號時，試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應y(t)。

解：

利用余弦信號作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應的特點，即

可以求出信號f(t)作用在系統(tǒng)上的穩(wěn)態(tài)響應為

二、連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析2.

任意周期信號通過系統(tǒng)的響應將周期為T0的周期信號f(t)用Fourier級數(shù)展開為利用虛指數(shù)信號ejwt作用在系統(tǒng)上響應的特點及線性特性可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為若f(t)、h(t)為實函數(shù)，則有例3求圖示周期方波信號通過系統(tǒng)H(jw)=1/(a+jw)的響應y(t)。解：對于周期方波信號，其Fourier系數(shù)為可得系統(tǒng)響應y(t)為由

優(yōu)點：求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應時，可以直觀地體現(xiàn)信號通過系統(tǒng)后信號頻譜的改變，解釋激勵與響應時域波形的差異，物理概念清楚。不足： （1）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，系統(tǒng)的零輸入響應仍按時域方法求解。（2）若激勵信號不存在傅里葉變換，則無法利用頻域分析法。（3）頻域分析法中，傅立葉反變換常較復雜。解決方法：采用拉普拉斯變換系統(tǒng)響應頻域分析小結(jié)信號分析

傅里葉變換應用于通信系統(tǒng)歷史悠久、范圍寬廣。現(xiàn)代通信系統(tǒng)的發(fā)展處處伴隨著付里葉變換方法的精心運用。從本章開始介紹這些應用中最主要的幾個方面——調(diào)制、濾波、失真、抽樣。系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件由前面舉例（例1）知：失真：系統(tǒng)的響應波形與激勵波形不相同，稱信號在傳輸過程中產(chǎn)生了失真。一.線性系統(tǒng)引起信號失真的原因1.幅度失真：系統(tǒng)對信號中各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減，引起幅度失真。2.相位失真：系統(tǒng)對各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，造成各頻率分量在時間軸上的相對位置變化，引起相位失真。由延時特性知：在實際應用中，有時需要有意識地利用系統(tǒng)的失真進行波形變換有時希望傳輸過程中使用信號失真最小。二.線性系統(tǒng)無失真條件波形無改變則稱為無失真實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，應滿足的條件一、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅度和相位響應

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應滿足兩個條件：1)

系統(tǒng)的幅頻響應|H(jw)|在整個頻率范圍內(nèi)應為常數(shù)K，即系統(tǒng)的帶寬為無窮大；2)

系統(tǒng)的相位響應f(w)在整個頻率范圍內(nèi)應與成正比。信號通過系統(tǒng)時諧波的相移比需與其頻率成正比。例：基波二次諧波為了使基波與二次諧波得到相同的延遲時間，以保證不產(chǎn)生相位失真，應有例1

已知一LTI系統(tǒng)的頻率響應為

(1)求系統(tǒng)的幅度響應|H(jw)|和相位響應f(w)，

并判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)

當輸入為f(t)=sint+sin3t(-<t<)時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。解：(1)因為所以系統(tǒng)的幅度響應和相位響應分別為

系統(tǒng)的幅度響應|H(jw)|為常數(shù)，但相位響應f(w)不是w的線性函數(shù)，所以系統(tǒng)不是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)解：

顯然，輸出信號相對于輸入信號產(chǎn)生了失真。輸出信號的失真是由于系統(tǒng)的非線性相位引起的。輸入和輸出信號的波形

理想低通

理想高通

理想帶通

理想帶阻二、理想濾波器的頻響特性

濾波器是指能使信號的一部分頻率通過，而使另一部分頻率通過很少的系統(tǒng)。一、理想低通濾波器的頻域特性

為截止頻率(Cutofffrequency)相移特性是過原點直線理想低通濾波器的沖激響應與階躍響應阻帶通帶阻帶幅頻響應|H(jw)|在通帶0~wc

恒為1，在通帶之外為0。相頻響應f(w)在通帶內(nèi)與成線性關(guān)系二、理想低通濾波器的沖激響應由圖知t<0時，，而輸入

在t=0時加入，這是反因果規(guī)律的，所以理想低通濾波器是無法實現(xiàn)的。01.理想低通濾波器的沖激響應

分析：1)

h(t)的波形是一個取樣函數(shù)，不同于輸入信號d(t)的波形，有失真。

原因：理想低通濾波器是一個帶限系統(tǒng)，而沖激信號d(t)的頻帶寬度為無窮大。

減小失真方法：增加理想低通截頻wc。

h(t)的主瓣寬度為2p/wc，wc越小，失真越大。當wc

時，理想低通變?yōu)闊o失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，

h(t)也變?yōu)闆_激函數(shù)。三、理想低通濾波器的階躍響應設理想低通濾波器的階躍響應為令，

則，于是有上式第一項積分第二項積分是正弦積分函數(shù)

它的函數(shù)值可從正弦積分函數(shù)表中查得，于是可得理想低通濾波器的階躍響應為xxsinx1Op2pp3p4()xSixO2p2p-式中稱為正弦積分函數(shù)1tO210ttOBAA點處：B點處：查表得：故可求得：響應電壓的建立時間與通頻帶成反比。2.理想低通濾波器的階躍響應

分析：1)階躍響應g(t)比輸入階躍信號u(t)延遲td

。td是理想低通濾波器相位特性的斜率。

2)

階躍響應的建立需要一段時間。

階躍響應從最小值上升到最大值所需時間稱為階躍響應的上升時間tr。tr=2p/wc，即上升時間tr與理想低通截頻wc成反比。wc越大，上升時間就越短，當wc

時，tr

0。3)存在

Gibbs現(xiàn)象

即在間斷點的前后出現(xiàn)了振蕩，其振蕩的最大峰值約為階躍突變值的9%左右，且不隨濾波器帶寬的增加而減小。四、理想低通濾波器的物理可實現(xiàn)條件給定一個網(wǎng)絡數(shù)學模型，什么樣的可以物理實現(xiàn)，什么樣的不行？這是一個網(wǎng)絡綜合問題。網(wǎng)絡分析：已知網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)和參數(shù)，求系統(tǒng)在一定輸入下的響應。網(wǎng)絡綜合：在給定網(wǎng)絡特性的情況下，確定網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。1.物理可實現(xiàn)的時域條件：這一條件也稱為“因果條件”2.物理可實現(xiàn)的頻域條件：物理可實現(xiàn)的必要條件是：

其中滿足這一條件稱為佩利－維納準則

例如：理想低通濾波器違反了佩利－維納準則，則系統(tǒng)不可實現(xiàn)。舉例：一個簡單的低通濾波器。分析：可看出，與理想低通濾波器有些相似，不同在于以圖示電路為例，設，則網(wǎng)絡系統(tǒng)函數(shù)：例題分析例題分析

與理想低通濾波器有些相似，不同在于“佩利－維納準則”是系統(tǒng)物理可實現(xiàn)的必要條件，而不是充分條件。

結(jié)論1.

輸出響應的延遲時間取決于理想低通濾波器的相位特性的斜率。2.

輸入信號在通過理想低通濾波器后，輸出響應在輸入信號不連續(xù)點處產(chǎn)生逐漸上升或下降的波形，上升或下降的時間與理想低通濾波器的通頻帶寬度成反比。3.

理想低通濾波器的通帶寬度與輸入信號的帶寬不相匹配時，輸出就會失真。系統(tǒng)的通帶寬度越大于信號的帶寬，則失真越小，反之，則失真越大。例2求帶通信號f(t)=Sa(t)cos2t，-<

t<，通過線性相位理想低通濾波器

的響應。解：因為利用Fourier變換的頻移特性，可得解：y(t)=f(t-td)=Sa(t-td)cos[2(

t-td)]，

-<t<

2)

當wc

<1時，輸入信號的所有頻率分量都不能通過系統(tǒng)，即y(t)=0，

-<t<

1)

當wc

>3時，輸入信號的所有頻率分量都能通過系統(tǒng)，即解：3)

當1<wc

<3時，只有1wc范圍內(nèi)的頻率分量能通過系統(tǒng)，故由抽樣信號頻譜及Fourier變換的時域和頻域位移特性可得連續(xù)信號的數(shù)字化3.8抽樣信號與抽樣定理問題：

1是否保留了原信號

的全部信息？

2在什么條件下，可以從

中無失真地恢復出原連續(xù)信號？當時1由頻域卷積定理理想抽樣實際中無法實現(xiàn)由時域卷積定理抽樣函數(shù)（由此引出了著名的香農(nóng)抽樣定理：對于一個有限頻寬（最高頻率為或）信號進行理想抽樣，當抽樣頻率）時，抽樣值唯一確定；當此抽樣信號通過截止頻率（）的理想低通濾波器后，原信號能完全重建。時域抽樣定理：一個頻譜受限的信號，如果頻譜只占據(jù)的范圍，則信號可以用等間隔的抽樣值唯一的表示。而抽樣間隔必須不大于或者說，最低抽樣頻率為。最低抽樣頻率稱為“奈奎斯特頻率”。（其中)F1、信號抽樣的理論分析1、信號抽樣的理論分析

若連續(xù)信號f(t)的頻譜函數(shù)為F(jω)，則抽樣信號

其中：

T

為抽樣間隔，ws=2p

/T為抽樣角頻率。

理想抽樣信號的頻譜分析的頻譜函數(shù)Fs(jw)為且序列f[k]的頻譜等于抽樣信號的頻譜，即有1、信號抽樣的理論分析

理想抽樣信號的頻譜分析

抽樣信號fs(t)頻譜與抽樣間隔T關(guān)系：1、信號抽樣的理論分析

理想抽樣信號的頻譜分析

抽樣信號fs(t)頻譜與抽樣間隔T關(guān)系：1、信號抽樣的理論分析

理想抽樣信號的頻譜分析

抽樣信號fs(t)頻譜與抽樣間隔T關(guān)系：

混疊(aliasing)2、時域取樣定理

若帶限信號f(t)的最高角頻率為ωm，則信號f(t)可以用等間隔的抽樣值唯一地表示。而抽樣間隔T需不大于1/2fm，或最低抽樣頻率fs不小于