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等腰直角三角形手拉手模型的補(bǔ)全例:如圖1,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,D是△ABC內(nèi)部一點(diǎn),∠ADC=135°,將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°獲得線段CE,連接DE.1)①依題意補(bǔ)全圖形;②請判斷∠ADC和∠CDE之間的數(shù)目關(guān)系,并直接寫出答案.2)在(1)的條件下,連接BE,過點(diǎn)C作CM⊥DE,請判斷線段CM,AE和BE之間的數(shù)目關(guān)系,并說明原由.3)如圖2,在正方形ABCD中,AB=2,假如PD=1,∠BPD=90°,請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離.PCADDABBC圖1圖2剖析:(1)②∠ADC+∠CDE=180°.依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解答2)依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可證明A、D、E三點(diǎn)在同一條直線上,獲得AE=AD+DE,再依據(jù)旋轉(zhuǎn),實(shí)質(zhì)獲得兩個等腰直角三角形手牽手相似,則可證明△ACD≌△BCE,獲得AD=BE,又CD=CE,∠DCE=90°,CM⊥DE,獲得DE=2CM,∴AE=BE+2CM.(3)作AF⊥BP于F,此圖可看作不圓滿的等腰直角三角形手牽手,則相當(dāng)于△ADP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,∴作AH⊥BP于H,如圖,形成三角形△ABD和△AHP手牽手,∴△ABH≌△ADP,∴BP=BH+HP=PD+2AF,在Rt△BPD中借助勾股定理可得31AF2解:(1)①依題意補(bǔ)全圖形(以以以下圖);②∠ADC+∠CDE=180°.2)線段CM,AE和BE之間的數(shù)目關(guān)系是AE=BE+2CM,原由以下:線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°獲得線段CE,CD=CE,∠DCE=90°.∴∠CDE=∠CED=45°.又∵∠ADC=135°,∴∠ADC+∠CDE=180°,A、D、E三點(diǎn)在同一條直線上.AE=AD+DE.又∵∠ACB=90°,∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE.又∵AC=BC,CD=CE,∴△ACD≌△BCE.∴AD=BE.CD=CE,∠DCE=90°,CM⊥DE.∴DE=2CM.∴AE=BE+2CM.(3)點(diǎn)A到BP的距離為31.2總結(jié):在等腰直角三角形頂角極點(diǎn)的基礎(chǔ)上,出現(xiàn)了一個利用腰形成的三角形時,常常借助等線段、共端點(diǎn)考慮用旋轉(zhuǎn)的思路構(gòu)造此三角形旋轉(zhuǎn)90°利用等腰三角形另一腰形成三角形解決問題練習(xí):(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A、D、E在同向來線上,連接BE.填空:①∠AEB的度數(shù)為_______;②線段AD、BE之間的數(shù)目關(guān)系為______________.(2)拓展研究如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°點(diǎn)A、D、E在同向來線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE,請判斷∠AEB的度數(shù)及線段AM、AE、BE之間的數(shù)目關(guān)系,并說明原由.(3
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