定稿：一次函數(shù)教材分析-周淑玲

一次函數(shù)教材分析北京農(nóng)業(yè)大學附屬中學周淑玲提綱對本章教學的整體認識對一次函數(shù)教材的理解函數(shù)概念學習困難的原因分析課例介紹具體教學建議提綱對本章教學的整體認識對一次函數(shù)教材的理解函數(shù)概念學習困難的原因分析課例介紹具體教學建議中學傳統(tǒng)代數(shù)內(nèi)容大致分為四大部分(或五大部分)：數(shù)的概念、式的運算、方程、函數(shù)(以及排列組合與概率初步)。這里數(shù)的概念是一切運算的基礎，也是討論函數(shù)的基礎；式子本身就是函數(shù)，而數(shù)的運算又是變形的工具，這樣中學代數(shù)是以方程與函數(shù)為中心的課題，其中方程又可用函數(shù)觀點來處理，于是，從某種意義上來說，中學傳統(tǒng)代數(shù)內(nèi)容，是以函數(shù)為中心的代數(shù)。___________曹才翰曹才翰：

北京師范大學教授。著名的數(shù)學教育家，初中數(shù)學教學大綱的主要起草人……函數(shù)某些現(xiàn)實問題中變量之間相互聯(lián)系一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象：一條直線性質(zhì)：k>0，y隨x的增大而增大k<0，y隨x的增大而減小建立數(shù)學模型變量間具有線性關系應用一元一次方程二元一次方程組一元一次不等式我們看到的知識結(jié)構(gòu)一目了然，是否能將其建立在學生的頭腦中才是關鍵！知識結(jié)構(gòu)整式、分式、二次根式二元一次方程整體結(jié)構(gòu)6一次函數(shù)函數(shù)概念一次函數(shù)知識技能應用求解析式思想方法數(shù)形結(jié)合函數(shù)思想運動變化思想能力素養(yǎng)分析、推理、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合……運動變化觀點、聯(lián)系對應、應用意、……情感態(tài)度……解決實際問題函數(shù)與方程、不等式建模思想圖形問題對應思想特殊與一般思想提綱對本章教學的整體認識對一次函數(shù)教材的理解函數(shù)概念學習困難的原因分析課例介紹具體教學建議一.學習目標二.課時安排三.教材編寫的考慮一、課標指導下的學習目標的確立1.以探索簡單實際問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律為背景，經(jīng)歷“找出常量和變量，建立函數(shù)模型表示變量之間的單值對應關系，討論函數(shù)模型，解決實際問題”的過程，體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的重要的數(shù)學模型.2.結(jié)合實例，了解常量、變量的意義函數(shù)的概念，體會“變化與對應”的思想，了解函數(shù)的三種表示方法，能結(jié)合圖象數(shù)形結(jié)合地分析簡單的函數(shù)關系.3.能確定簡單的實際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會求函數(shù)值.學生在列代數(shù)式、列方程時已經(jīng)對實際問題中的數(shù)量關系有經(jīng)驗，但是那時的數(shù)量關系是在靜態(tài)下關注的.是否真正的讓學生經(jīng)歷，過程性時間給的夠不夠，學生是被動的，能否達到目標要求的“體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的重要的數(shù)學模型.”的主動權(quán)在老師手中，否則函數(shù)思想、建模思想的建立更是空中樓閣.深挖函數(shù)概念“對于x的每一個確定的取值”就會發(fā)現(xiàn)，自變量的取值范圍始終應該是函數(shù)概念的一部分，建議教學中始終關注函數(shù)的自變量的取值..4.結(jié)合具體情境體會和理解正比例函數(shù)和一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定它們的表達式，會畫它們的圖象，能結(jié)合圖象討論這些函數(shù)的增減變化，能利用這些函數(shù)分析解決簡單的實際問題.5.通過討論一次函數(shù)與二元一次方程等的關系，從運動變化的角度，用函數(shù)的觀點加深對已經(jīng)學習的方程等內(nèi)容的進一步認識，構(gòu)建和發(fā)展相互聯(lián)系的知識體系.6.進行探究性課題學習，以選擇方案為問題情境，進一步體會建立數(shù)學模型的方法與作用，提高綜合運用函數(shù)知識分析和解決實際問題的能力.

一次函數(shù)是一種最基本的初等函數(shù).對它的討論中函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化能發(fā)揮重要的作用，這是數(shù)形結(jié)合的思想方法的體現(xiàn).二、課時安排19.1函數(shù)

6課時19.2一次函數(shù)

6課時19.3課題學習選擇方案

2課時小結(jié)與復習1課時

第1課時：19.1.1變量與函數(shù)(1)第2課時：19.1.1變量與函數(shù)(2)第3課時：19.1.1變量與函數(shù)(3)第4課時：19.1.2函數(shù)的圖象(1)第5課時：19.1.2函數(shù)的圖象(2)第6課時：19.1.2函數(shù)的圖象(3)在充分體會運動變化過程中數(shù)量變化的基礎上，領會變量與常量的含義．在上一節(jié)課學習變量與常量的基礎上，進一步研究運動變化過程中變量之間的對應關系，在觀察具體問題中變量之間對應關系的基礎上，抽象出函數(shù)的概念．在學習了函數(shù)概念的基礎上，進一步討論函數(shù)的自變量取值范圍，用解析法和列表法表示函數(shù)關系，初步體會用函數(shù)描述和分析運動變化規(guī)律．P73例1此課時才給出.了解函數(shù)圖象的意義；會觀察函數(shù)圖象獲取信息，根據(jù)圖象初步分析函數(shù)的對應關系和變化規(guī)律；經(jīng)歷畫函數(shù)圖象的過程，體會函數(shù)圖象建立數(shù)形聯(lián)系的關鍵是分別用點的橫、縱坐標表示自變量和對應的函數(shù)值．會用描點法畫出函數(shù)圖象，能說出畫函數(shù)圖象的步驟；會判斷一個點是否在函數(shù)的圖象上；能初步通過分析圖象中變量的對應關系、變化規(guī)律和變化趨勢，體會數(shù)形結(jié)合思想．了解函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點；能用適當?shù)姆绞奖硎竞唵螌嶋H問題中的變量之間的函數(shù)關系；能對函數(shù)關系進行分析，對變量的變化情況進行初步討論,

綜合運用三種表示法表示函數(shù)關系，研究運動變化過程．

P80例4要用好.第7課時：19.2.1正比例函數(shù)(1)第8課時：19.2.1正比例函數(shù)(2)第9課時：19.2.2一次函數(shù)(1)第10課時：19.2.2一次函數(shù)(2)第11課時：19.2.2一次函數(shù)(3)第12課時：19.2.3一次函數(shù)與方程不等式估計更多的老師認為在這一節(jié)上應該多一到兩個課時，而是把前面的課時縮減.第13課時：19.3課題學習選擇方案(1)第14課時：19.3課題學習選擇方案(2)第15課時：小結(jié)與復習看看這樣的課時安排是否有點不舍得！粥煮的好不好需要的是時間而不是火大!2015中考傳遞給我們什么？我們教學過程的著力點是操作，還是過程的真正經(jīng)歷？需要我們的思考和調(diào)整？對于數(shù)學學科而言就是要突出主干，加強基礎考查以及數(shù)學應用意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，在注重數(shù)學自身演繹的內(nèi)容考查的基礎之上，更加凸顯用數(shù)學解釋生活中的現(xiàn)象和用數(shù)學解釋生活中的實際問題。關于“主干”：重要概念、知識、方法、思想。關于“基礎”：必備的、可持續(xù)發(fā)展的“四基”，即：基礎知識、基本方法、基本技能、基本活動經(jīng)驗。關于“應用意識”：突出數(shù)學的實用性，把理論的數(shù)學與生產(chǎn)生活結(jié)合起來。兩個“注重”是注重試題素材與生活實踐的緊密結(jié)合，注重靈活運用所學知識解決簡單的生活實際問題的能力。會員年卡類型辦卡費用（元）每次游泳收費（元）A類5025B類20020C類400159．（3分）一家游泳館的游泳收費標準為30元/次，若購買會員年卡，可享受如下優(yōu)惠：例如，購買A類會員年卡，一年內(nèi)游泳20次，消費50+25×20=550元，若一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)介于45～55次之間，則最省錢的方式為（）解答：解：設一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)為x次，消費的錢數(shù)為y元，根據(jù)題意得：yA=50+25x，yB=200+20x，yC=400+15x，yD=30x，當45≤x≤50時，1175≤yA≤1300；1100≤yB≤1200；1075≤yC≤1150；1350≤yD≤1500；由此可見，C類會員年卡消費最低，所以最省錢的方式為購買C類會員年卡．故選：C．

A．購買A類會員年卡B．購買B類會員年卡

C．購買C類會員年卡D．不購買會員年卡

如果改為解答題，學生又該如何解答如何表述？傳遞給我們的教學應該注意什么？(4）該函數(shù)的其它性質(zhì)：①該函數(shù)沒有最大值；②該函數(shù)在x=0處斷開；③該函數(shù)沒有最小值；④該函數(shù)圖象沒有經(jīng)過第四象限．結(jié)論相對開放，是學習過程的考查、歸納總結(jié)能力的考查.三、教材編寫時考慮的問題1.重視數(shù)學概念中蘊含的思想，引導學生從“運動變化和聯(lián)系對應”的角度認識函數(shù).逐步認識函數(shù)本質(zhì)，對于運動變化與聯(lián)系對應的思想的認識也是需要逐步理解，教科書在不同部分對這一思想的滲透采取了不同的做法，以達到逐步深化的目的，希望能幫助學生從具體到抽象，從特殊到一般的認識這一思想.2.借助實際問題情境，引導學生由具體到抽象地認識函數(shù)；通過函數(shù)的應用舉例，體現(xiàn)數(shù)學建模思想.首先明確現(xiàn)在學習的函數(shù)都是刻畫同一個變化過程中兩個變量之間的單值對應關系的模型，課本提供了大量的素材要用好，而且很多素材多次出現(xiàn)，就是為理解抽象的內(nèi)容服務的，（不建議用生疏的例子），真正體會和理解一個實際問題是如何被利用建立數(shù)學模型的，學生自然就有了遷移能力.3.引導學生重視數(shù)形結(jié)合的研究方法.一些能夠用解析式表達的函數(shù)，我們從式子變量依存的關系就可以研究出函數(shù)具有的性質(zhì)，為什么非要利用圖象來進一步研究函數(shù)呢？(在講正比例函數(shù)或一次函數(shù)時，可以先從解析式得出函數(shù)所有的性質(zhì)).圖象只是直觀的展示其性質(zhì).教材在體現(xiàn)函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的結(jié)合方面，有細致的安排設計，注意了數(shù)與形的互補作用，體現(xiàn)兩者的聯(lián)系，突出兩者間的轉(zhuǎn)化對分析問題、解決問題的特殊作用.不斷體會函數(shù)圖象的作用和數(shù)形結(jié)合的方法，為后續(xù)學習打下牢固的基礎.提綱對本章教學的整體認識對一次函數(shù)教材的理解函數(shù)概念學習困難的原因分析課例介紹具體教學建議函數(shù)概念學習困難的原因分析

教學實踐表明，函數(shù)概念是中學生感到最難學的數(shù)學概念之一。盡管在實際教學中采取了適當滲透、螺旋上升的方法，分段而有循環(huán)地安排函數(shù)知識，但學生的函數(shù)概念水平仍然較低。初三學生頭腦中的函數(shù)概念……；大學生頭腦中的函數(shù)概念……1．函數(shù)概念本身的原因。數(shù)學發(fā)展史表明，函數(shù)概念從產(chǎn)生到完善，經(jīng)歷了漫長而曲折的過程。這不但因為函數(shù)概念系統(tǒng)復雜、涉及因素眾多，更重要的是伴隨著函數(shù)概念的不斷發(fā)展，數(shù)學思維方式也發(fā)生了重要轉(zhuǎn)折：思維從靜止走向了運動、從離散走向了連續(xù)、從運算轉(zhuǎn)向了關系，實現(xiàn)了數(shù)與形的有機結(jié)合，在符號語言與圖、表語言之間可以靈活轉(zhuǎn)換。在函數(shù)的研究中，思維超越了形式邏輯的界限，進入了辯證邏輯思維。與常量數(shù)學相比，函數(shù)概念的抽象性更強、形式化程度更高。2.“變量”概念的復雜性和辯證性原因

“變量”被當成不定義的原名而引入，是函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。有的教師將“變量”解釋為“變化的量”，顯然這是同義反復，于學生理解“變量”的意義并沒有幫助。實際上，“變量”的關鍵在于“變”，而“變”在現(xiàn)實中與時、空相關，但數(shù)學中對時、空是沒有定義的。另外，數(shù)學中的“變量”與日常生活經(jīng)驗有差異。從日常經(jīng)驗看，變量的形式表示之間沒有可替代性（例如，“牛吃草”中的變量“?！迸c“學生吃飯”中的變量“學生”是不可替代的）。但數(shù)學中的“變量”具有形式的可替代性，即y＝2x+1與n＝2m+1并沒有本質(zhì)上的不同，而且它既有可變性又有確定性。函數(shù)概念學習困難的原因分析

3.函數(shù)概念表示方式的多樣性函數(shù)概念表示的多樣性，一方面表現(xiàn)在定義域、值域表示的多樣性，可以用集合、區(qū)間、不等式等不同形式表示；另一方面表現(xiàn)在它可以用圖像、表格、對應、解析式等方法表示，從每一種表示中都可以獨立地抽象出函數(shù)概念來。與其他數(shù)學概念相比，由于函數(shù)概念需要同時考慮幾種表示，并要協(xié)調(diào)各種表示之間的關系，常常需要在各種表示之間進行轉(zhuǎn)換，因此容易造成學習上的困難。能否正確地使用函數(shù)的不同表示形式，靈活地對不同的表示進行轉(zhuǎn)換，是考察函數(shù)概念形成水平的重要標準。函數(shù)概念學習困難的原因分析

4.函數(shù)概念表述的抽象性函數(shù)表示在一個變過程中的兩個量之間的關系，一種特殊的對應關系，其中每一個字母都有特定的含義。x是自變量，y是x的函數(shù)，僅從字面上我們不能想象對應關系的的具體內(nèi)容，也不能通過x（或y）來想象x的取值范圍(定義域)和y的取值（值域）到底是什么。這種抽象性大大增加了函數(shù)學習的難度。函數(shù)概念學習困難的原因分析

5.學生思維發(fā)展水平方面的原因。

函數(shù)概念的學習中，要求學生進行符號語言與圖形語言的靈活轉(zhuǎn)換，進行數(shù)形結(jié)合的思維運算。但在學生的認知結(jié)構(gòu)中，數(shù)與形基本上是割裂的。理解函數(shù)概念時，需要學生在頭腦中建構(gòu)一個情景（解析式的、表格的或圖形的），學生應當領會變量之間的相互制約關系，需要學生的思維在靜止與運動、離散與連續(xù)之間進行轉(zhuǎn)化。但是，學生的思維發(fā)展水平還處于辯證思維很不成熟的階段，他們看問題往往是局部的、靜止的、割裂的，還不善于把抽象的概念與具體事例聯(lián)系起來，還不能夠完全勝任這種需要用辯證的思想、運動變化的觀點才能理解的學習任務?？傊瑢W生的辯證邏輯思維處于發(fā)展的初級階段，與函數(shù)概念的運動、變化、聯(lián)系的特點非常不適應，這是構(gòu)成函數(shù)概念學習困難的主要根源。不過，正因為函數(shù)概念所具有的這種特性，才使它在促進學生思維發(fā)展中起著別的數(shù)學內(nèi)容所無法替代的作用，成為從形式邏輯思維向辯證邏輯思維轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)折點。函數(shù)概念學習困難的原因分析

要重視函數(shù)圖象一節(jié)的教學，處理的好會是學生數(shù)形結(jié)合的一次成長，否則通過后期的操作，也無法解決割裂的狀態(tài).提綱對本章教學的整體認識對一次函數(shù)教材的理解函數(shù)概念學習困難的原因分析課例介紹具體教學建議很多實例都給學生以距離感、陌生感；抽象的圖表讓學生感到眼花繚亂，大量的文字符號讓學生感到恐懼；消除這些的途徑之一必然是走近課本，親近課本，用好每一個實例，把那些陌生抽象的實例解釋好用好.親近課本，引導閱讀，承認學生之間差距，為形成函數(shù)概念、掌握函數(shù)本質(zhì)做準備……一、親近教材感受本質(zhì)在函數(shù)的起始課中，引導學生體會，不論是在數(shù)學體系內(nèi)部還是在包羅萬象的宇宙中，一個量隨另一個量變化而變化的現(xiàn)象大量存在.函數(shù)是刻畫運動變化現(xiàn)象的重要數(shù)學模型，要從數(shù)學的角度研究變化現(xiàn)象，把握變化規(guī)律，首先要關注變化過程中量的變化，這就是變量，本節(jié)課在充分體會運動變化過程中數(shù)量變化的基礎上，領會變量與常量的含義．二、讓學生認真消化每一個實際問題（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛時間為t

h，行駛路程為skm．（2）每張電影票的售價為10元，設某場電影售出x張票，票房收入為y元．（3）圓形水波慢慢地擴大，在這一過程中，當圓的半徑r分別為10cm，20cm，30cm時，圓的面積S分別為多少？在這個過程中，哪些量是變化的？

（4）用10m長的繩子圍一個矩形，當矩形的一邊長

x分別為3m，3.5m，4m，4.5m時，它的鄰邊長y分別為多少？在矩形改變形狀的變化過程中，哪些量是變化的？哪些量是固定不變的？（7）用長為40cm的繩子圍矩形，圍成的矩形一邊長為

xcm，其面積為

S

cm2．（5）汽油的價格是7.4元/升，加油

x

L，車主加油付油費

y元；（6）小明看一本200頁的小說，看完這本小說需要t天，平均每天所看的頁數(shù)為

n；二、讓學生認真消化每一個實際問題函數(shù)定義比較抽象，學生掌握起來比較困難，同時這個定義在表面上掩蓋了運動變化的觀點.為了解決這樣的矛盾，一方面我們要重視引入函數(shù)概念前的準備工作，過去大家也曾經(jīng)提到過在講述像一個加數(shù)一定，另一個加數(shù)變化引起和的變化，一個乘數(shù)一定，另一個乘數(shù)的變化引起積的變化，在代數(shù)式的求值中，給予一些值求出對應值；在一些幾何計算公式中(如三角形面積，長方形面積等)，給予一些值，求出對應的值……這樣一些內(nèi)容時可以貫串函數(shù)的樸素思想：在一個問題中，一個量變化會引起另一個量的變化，然后在這個樸素思想的基礎上再進一步貫串一些“對應”的思想，最后還可以結(jié)合分式求值，貫串一些集合的思想，即不是在任何式子中給予一個量一個任意值都能求出另一個量的對應值，而是有范圍的。經(jīng)過這樣有意識的準備，估計可以減少些學生在接受函數(shù)概念的困難.另一方面，在講授函數(shù)概念時，既要防止學生認為只有能用解析式表示的才是函數(shù)關系，但又要把研究用解析式表示的函數(shù)作為重點，并且很好的把建立在“對應”與“集合”基礎上的函數(shù)概念與用運動變化過程中變量相互關系來描述函數(shù)概念結(jié)合起來.______曹才翰大家風范，溫暖中肯，腳踏實地調(diào)查發(fā)現(xiàn)，初三學生頭腦中的函數(shù)……三、如何引入函數(shù)函數(shù)的引入要關注與前面所學知識的聯(lián)系，抓我們知道但沒研究的知識現(xiàn)象．從用一個字母的值代入代數(shù)式到若干個值都代入代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)之間的對應關系，一種一個字母與一個整體之間的關系．這個關系就是函數(shù)關系，法則就是字母參于運算得到的代數(shù)式（或者稱之為變化過程）.這種整體性的認識是關鍵所在．三、如何引入函數(shù)在我們已經(jīng)學習的知識中，你能列舉出，在一個問題中，一個量變化會引起另一個量的變化的實例嗎？為學生函數(shù)概念的形成做切實的努力！三、如何引入函數(shù)三、如何引入函數(shù)最終學生頭腦中的函數(shù)概念還是與這些函數(shù)分離的.（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛時間為t

h，行駛路程為skm．（2）每張電影票的售價為10元，設某場電影售出x張票，票房收入為y元．（3）圓形水波慢慢地擴大，在這一過程中，當圓的半徑r分別為10cm，20cm，30cm時，圓的面積S分別為多少？在這個過程中，哪些量是變化的？

多次使用教材實例，熟悉才有感受（4）用10m長的繩子圍一個矩形，當矩形的一邊長

x分別為3m，3.5m，4m，4.5m時，它的鄰邊長y分別為多少？在矩形改變形狀的變化過程中，哪些量是變化的？哪些量是固定不變的？（7）用長為40cm的繩子圍矩形，圍成的矩形一邊長為

xcm，其面積為

S

cm2．（5）汽油的價格是7.4元/升，加油

x

L，車主加油付油費

y元；（6）小明看一本200頁的小說，看完這本小說需要t天，平均每天所看的頁數(shù)為

n；三、如何引入函數(shù)函數(shù)：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，

y是x的函數(shù).如果當x=a時，y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值.（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛時間為t

h，行駛路程為skm．在汽車以60km/h的速度勻速行駛的過程中，有兩個變量t與s，對于t的每一個確定的值，

s都有唯一確定的值與其對應，我們就說t是自變量，

s是t的函數(shù).

當t=5時，

s=300，那么300是自變量的值為5時的函數(shù)值.對應實例一次次的重復就是抽象、建模的經(jīng)歷！四、幫助學生建立函數(shù)概念體現(xiàn)y與xS與t的對應、聯(lián)系、依存關系.函數(shù)：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，

y是x的函數(shù).如果當x=a時，y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值.在電影票售價為10元的某場電影的售票過程中，有兩個變量售票數(shù)量x與票房收入y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，我們就說x是自變量，

y是x的函數(shù).

當x

=2000時，

y=20000，那么20000是自變量的值為2000時的函數(shù)值.（2）每張電影票的售價為10元，設某場電影售出x張票，票房收入為y元．四、幫助學生建立函數(shù)概念函數(shù)：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，

y是x的函數(shù).如果當x=a時，y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值.在圓形水波慢慢地擴大的過程中，有兩個變量圓的半徑r與圓的面積s，對于r的每一個確定的值，s都有唯一確定的值與其對應，我們就說r是自變量，

s是r的函數(shù).

當r=10時s=100π，那么100π是自變量r的值為10時的函數(shù)值.當r=20時

s=400π，那么400π是自變量r的值為20時的函數(shù)值.當r=30時s=900π，那么900π是自變量r的值為30時的函數(shù)值.（3）圓形水波慢慢地擴大，在這一過程中，當圓的半徑r分別為10cm，20cm，30cm時，圓的面積S分別為多少？在這個過程中，哪些量是變化的？

函數(shù)：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，

y是x的函數(shù).如果當x=a時，y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值.在用10m長的繩子圍一個矩形的過程中，有兩個變量矩形一邊x與矩形另一邊y，對于x的每一個確定的值，

y都有唯一確定的值與其對應，我們就說y是自變量，

y是x的函數(shù).

當x=3時y=6，那么6是自變量x的值為3時的函數(shù)值.當x=3.5時y=5.25，那么5.25是自變量x的值為3.5時的函數(shù)值.當r=4.5時y=2.25，那么2.25是自變量x的值為4.5時的函數(shù)值.（4）用10m長的繩子圍一個矩形，當矩形的一邊長

x分別為3m，3.5m，4m，4.5m時，它的鄰邊長y分別為多少？在矩形改變形狀的變化過程中，哪些量是變化的？哪些量是固定不變的？對應實例一次次的重復就是感知、就是理解！在人口數(shù)隨年份變化過程中，有兩個變量年份x與人口數(shù)y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說年份x是自變量，

人口數(shù)y是年份x的函數(shù).當x=1984時，

y=10.34，那么10.34是自變量x的值為1984時的函數(shù)值.……在某人的心臟部位的生物電流隨時間的變化過程中，有兩個變量時間x與心臟部位的生物電流y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說時間x是自變量，此人心臟部位的生物電流y是時間x的函數(shù).……五、自變量是函數(shù)概念的一部分函數(shù)：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，

y是x的函數(shù).如果當x=a時，y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值.對于x的每一個可取的確定值五、自變量是函數(shù)概念的一部分五、自變量是函數(shù)概念的一部分深刻體會函數(shù)概念“對于x的每一個可取的確定值”所以在能用解析式表示的函數(shù)中，應始終關注自變量的取值范圍，這對初高中函數(shù)概念的銜接都有很重要的意義.始終關注自變量的取值范圍！五、自變量是函數(shù)概念的一部分練習冊P57,9題某市出租車的價格是這樣規(guī)定的：不超過3km，付車費13元，超過的部分按每千米2.4元收費.已知某人乘坐出租車行駛了xkm，付車費y元.請寫出出租車行駛的路x(km)與付費用y之間的關系式.(2)小明坐完出租車后付費25元，則出租車行駛了多少千米.五、自變量是函數(shù)概念的一部分五、自變量是函數(shù)概念的一部分課本P99,11題從A地向B地打長途電話，通話時間不超過3min收費2.4元，超過3min后每分鐘加收1元，寫出通話費用y(單位：元)關于通話時間x(單位：min)的函數(shù)解析式.有10元錢時，打一次電話最多可以通話多長時間？(本題中的x取整數(shù)，不足1min的通話時間按1min計費).六、關于函數(shù)圖象的教學

1.首先要明確有些問題中的兩個變量之間的對應關系很難用具體的解析式表示，但是可以用圖來直觀反映，如心電圖中的生物電流與時間的關系，氣溫與時間的關系等，即使對于能列式表示的函數(shù)關系，如果能畫圖表示，那么能使函數(shù)關系更直觀.2.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學中一種重要的思想方法，而在函數(shù)的教學中把刻畫數(shù)量關系的數(shù)和具體直觀的圖形有機結(jié)合，用代數(shù)的語言揭示幾何要素及其關系，同時將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，揚數(shù)之長，取數(shù)之優(yōu)，使抽象的思想與形象思維珠聯(lián)璧合.六、關于函數(shù)圖象的教學3.另外直角坐標系的工具性為數(shù)形結(jié)合提供了可能，為揭示函數(shù)的運動變化提供了直觀展示的平臺，在研究函數(shù)問題時需要我們把這個功能揭示的到位．一旦形成圖形此時就不單單是個數(shù)形結(jié)合的問題了，往往轉(zhuǎn)化為圖形之間的關系問題，同時又為用數(shù)量研究圖形提供了可能．六、關于函數(shù)圖象的教學讓學生經(jīng)歷列表、描點、連線的繪制函數(shù)圖象的過程，這樣既可以加深對圖象的意義的認識，了解圖象上的點的橫、縱坐標與自變量值、函數(shù)值之間的對應關系，又為學習如何畫函數(shù)圖象及后面對描點法畫函數(shù)圖象做準備，利用一些畫圖工具可以很方便的畫出某些函數(shù)的圖象，但是使用這些工具無法得到經(jīng)歷用描點法畫圖象的感受，要對函數(shù)的圖象形成正確的理解，離不開親歷描點法畫函數(shù)圖象的過程.建議去掉x>0的條件！首先體會關注自變量取值對解決問題的影響，其次通過列表發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的不連續(xù)性.用好典型例題，揭示函數(shù)圖象的本質(zhì)！六、關于函數(shù)圖象的教學用好典型例題，揭示函數(shù)圖象的本質(zhì)！六、關于函數(shù)圖象的教學一個尋寶游戲的尋寶通道如圖1所示，通道由在同一平面內(nèi)的AB，BC，CA，OA，OB，OC組成．為記錄尋寶者的行進路線，在BC的中點M處放置了一臺定位儀器．設尋寶者行進的時間為x，尋寶者與定位儀器之間的距離為y，若尋寶者勻速行進，且表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示，則尋寶者的行進路線可能為()用好典型例題，揭示函數(shù)圖象的本質(zhì)！六、關于函數(shù)圖象的教學小翔在如圖1所示的場地上勻速跑步，他從點A出發(fā)，沿箭頭所示方向經(jīng)過點B跑到點C，共用時30秒，他的教練選擇了一個固定的位置觀察小翔的跑步過程.設小翔跑步的時間為t(單位：秒)，他與教練的距離為y(單位：米)，表示y與t的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的（

）A.點MB.點NC.點PD.點Q用好典型例題，揭示函數(shù)圖象的本質(zhì)！六、關于函數(shù)圖象的教學已知：正方形的邊長為1.（1）如圖（a），可以計算出正方形的對角線長為.如圖（b）,求兩個并排成的矩形的對角線的長.n個呢？（2）若把（c）（d）兩圖拼成如下“L”形，過C作直線交DE于A，交DF于B.若DB=，求DA的長度.代數(shù)問題幾何化解決幾何問題代數(shù)化解決七、真正領會函數(shù)的三種表示方法本例題是關于水庫水位變化的問題，設計意圖是體現(xiàn)函數(shù)三種不同表示方法之間的互相轉(zhuǎn)化.本題中沒有給出函數(shù)的解析式，而是要求學生根據(jù)給出的表格發(fā)現(xiàn)變量之間的對應規(guī)律，根據(jù)規(guī)律寫出函數(shù)解析式，這對學生的發(fā)現(xiàn)能力很有益，此外本例還含有關于預測未來的問題，這可以培養(yǎng)學生利用所學函數(shù)知識推測未來事物的變化趨勢的能力.八、關于正比例函數(shù)與一次函數(shù)的教學1.我們知道，在小學階段就學習過正比例關系：即兩個相關聯(lián)的量，一種量變化另一種量也隨著變化，如果這兩個量中相對應的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。它與正比例函數(shù)的本質(zhì)是一致的，僅僅是表達方式的不同，另外就是，正比例關系中的比值不涉及負數(shù)，而正比例函數(shù)中的比例系數(shù)k可以是正數(shù)也可以是負數(shù).2.教科書的“思考”欄目用了多個例子說明一次函數(shù)的實際背景，用學生熟悉的實際問題來加深他們對一次函數(shù)的理解.如果有更貼近學生的實際問題具有這樣的函數(shù)關系，那么可以采取哪些問題替換，但不要找生僻的例子.八、關于正比例函數(shù)與一次函數(shù)的教學3.我們知道，能用解析式表達的函數(shù)的函數(shù)，其性質(zhì)是由運算決定的，這時利用表格的形式研究其性質(zhì)最好，它體現(xiàn)的這種關系最明確．為什么我們要強調(diào)這個問題原因在于，提示大家不要把性質(zhì)與圖象當一件事，不能認為性質(zhì)就是圖象，函數(shù)的性質(zhì)只與它參與的運算相關．圖象只是直觀的展示其性質(zhì)．

九、一次函數(shù)與方程、不等式

用函數(shù)的觀點看方程(組)與不等式，關鍵是換一個角度看問題的思維方式的轉(zhuǎn)變，這與學生的慣性思維有一定的沖突，所以學生學習這一部分知識時會有一定的困惑，教材設計這一節(jié)的內(nèi)容，意圖就是要引領學生學會多角度的理解問題，尋找到知識之間本質(zhì)的聯(lián)系.使學生理解，當我們學習了一次函數(shù)后，站在這個高度看一次方程和一次不等式時，發(fā)現(xiàn)一次方程和一次不等式只不過是一次函數(shù)的變化過程中的一個特殊的狀態(tài)。他們之間是不可分割的統(tǒng)一體.通過觀察和分析，整體上把握函數(shù)與方程、不等式的內(nèi)在關系，深刻理解變與不變，整體與個別，整體與局部的本質(zhì)關系。真正能用函數(shù)的觀點對以前學過的一元一次方程、一元一次不等式有重新認識，為解決問題提供新的思路和新的方式.提綱對本章教學的整體認識對一次函數(shù)教材的理解函數(shù)概念學習困難的原因分析課例介紹具體教學建議課例介紹1：19.2.2一次函數(shù)的圖象______物理實驗室的一節(jié)數(shù)學課設計背景：學習一次函數(shù)，雖然學生從形式上知道了一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是圖象是直線,如果給出直線上的一個點的坐標和k的值，或者給出兩個點的坐標叫學生寫出直線方程，學生不會覺得太費力的代入公式，得到相應的解析式，但是學生并不明白它的真實意義，學生會問已知條件中的兩個點，或者一個點和k值是從哪里來的？為什么要求這些方程？有什么作用？我們該如何回答？這表明數(shù)學教學上脫離實際的嚴重性，學生只是抽象地玩弄一些概念和公式，而對它們的來歷和實際意義卻一無所知.要使學生知道直線方程的“滋味”，能否也讓學生親自動手