專題10三角化簡的技巧參考模板范本

專題10三角化簡的技巧專題10三角化簡的技巧13/1313/13專題10三角化簡的技巧專題10三角化簡的技巧一．三角化簡的技巧1.角的范圍問題2.角的一致性問題3.三角化簡形式、名稱、角的一致原則4.角成倍角的余弦之積問題5.“1”的妙用6.輔助角的替換作用7.角的范圍對函數(shù)性質的影響8.用已知角表示未知角問題二．三角化簡方法總結：1.三角函數(shù)的求值主要有三種類型，即給角求值、給值求值、給值求角.2.三角函數(shù)式的證明應從消去等式兩端的差異去思考，或“從左證到右”或“從右證到左”或“從兩邊到中間”去具體操作.3.證明三角函數(shù)式恒等式，首先觀察條件與結論的差異，從解決差異入手，確定從結論開始，通過變換將已知表達式代入得出結論，或變換已知條件得出結論，常用消去法等.三典例分析（一）“1”的妙用例1．已知，則的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關系把原式的分母“1”變?yōu)閟in2α+cos2α，然后給分子分母求除以cos2α，把原式化為關于tanα的關系式，把tanα的值代入即可求出值．因為tanα＝3，所以．故選：C．練習1．已知角的終邊在函數(shù)的圖象上,則的值為()A．B．C．－2D．【答案】A【解析】依題意可知,故原式,故選.練習2．已知，則的值為（）A．0B．1C．-1D．【答案】C【解析】由平方得：，得..故選C.練習3．若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，則故選A（二）與的關系例2．已知，則的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，則即故選D.練習1．已知θ為△ABC的一個內角，且sinθ＋cosθ＝m，若m∈(0，1)，則關于△ABC的形狀的判斷，正確的是()A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．三種形狀都有可能【答案】B【點睛】本題主要考查了利用同角平方關系的應用，其關鍵是變形之后從sinθcosθ的符號中判斷θ的取值范圍，屬于三角函數(shù)基本技巧的運用．練習2.【2019高考熱點題型】若sinθ，cosθ是方程4x2+2mx+m=0的兩根，則m的值為（）A．.B．C．D．【答案】B【解析】由sinθ、cosθ是關于x的方程4x2+2mx+m=0的兩個實根，利用判別式求出滿足條件的m取值范圍；再根據韋達定理和同角三角函數(shù)基本關系，求出對應m的值．sinθ，cosθ是方程4x2+2mx+m=0的兩根，∴，∴（sinθ+cosθ）2﹣2sinθcosθ=﹣2×=1，解得m=1±；又方程4x2+2mx+m=0有實根，則△=（2m）2﹣16m≥0，解得m≤0，或m≥4；綜上，m的值為1﹣．故選：B．（三）用已知角表示未知角例3．已知，，且，則（）A．-2B．2C．D．【答案】A【分析】觀察角之間的關系，拆角，，利用差角公式展開，可以求得.【解析】因為sin，，所以；又所以，，，故選A.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，一般求解思路是先觀察已知角和所求角的關系，再利用三角恒等變換公式求解.注意積累常見的拆角方法.練習1．已知在銳角△ABC中，角α＋的終邊過點P(sinB－cosA，cosB－sinA)，且cos，則cos2α的值為A．B．C．D．【答案】D【分析】在銳角三角形中分析可得sinB－cosA>0，cosB－sinA<0，得α＋為第四象限角，由的展開即可得，利用余弦的二倍角公式即可得解.【解析】∵△ABC是銳角三角形，∴，即sinB－cosA>0，同理，cosB－sinA<0，∴角α＋為第四象限角，∴sin＝－，∴，∴，故選D.【點睛】給值求值問題一般是應用公式將所求“復角”展開，看需要求相關角的哪些三角函數(shù)值，然后根據角的范圍求出相應角的三角函數(shù)值，代入展開式即可．（五）特殊角的替換作用例5.等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，故選C。練習1．A.B.-1C.D.1【答案】D【解析】，故選：D.（六）.角的一致性例6.的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】故選D.【防陷阱措施】三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則（1）一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）而看“函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用公式，常見的有“切化弦”；（3）三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等.練習1=______________【答案】-1練習2__________.【答案】【解析】故答案為練習3．__________．【答案】【解析】由，及，可得，所以.練習4．__________．【答案】【解析】，.故答案為：練習5.求值：________．【答案】4【解析】故答案為4練習6__________．【答案】【解析】，應填答案。點睛：解答本題的關鍵是借助題設中角度的特征，先將切化弦，再運用三角變換公式及二倍角的正弦余弦公式進行運算，進而達到化簡的目的。練習7．化簡的值為__________．【答案】【解析】原式，故答案為.練習8求的值.【答案】2.【解析】利用題意結合所給三角函數(shù)式的特征構造兩角和差正余弦公式計算可得三角函數(shù)式的值為2.原式7.輔助角公式的靈活應用例7.已知，則的最大值為（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】由得。由輔助角公式可得，所以最大值為2.故選C?！痉老葳宕胧壳蠛瘮?shù)的最值問題，利用輔助角公式將解析式化成一個角的三角函數(shù)形式，即，利用三角函數(shù)的性質求最值。練習1．已知函數(shù)，在上單調，且．若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據三角函數(shù)的二倍角公式與輔助角公式，化簡得，再利用在上單調，且，即可確定f（x）=，再通過圖象變換與偶函數(shù)得到的最小值.【詳解】=+=-==2sin（），又，可知的一個對稱中心為（），代入化簡的式子得=k（k），得=6k+2（k），當=2時，在上單調，當時，在上有一個或多個周期，不滿足題意，舍去，所以，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為=為偶函數(shù)，所以=+k（k）,+（k）,又所以的最小值為，故選B.【點睛】本題考查了利用二倍角公式、三角恒等變換公式將函數(shù)f（x）的表達式化簡，借助于三角函數(shù)的圖象與性質等知識確定和，屬于中檔題．練習2．將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，所得到的函數(shù)圖象關于軸對稱，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先將已知函數(shù)通過二倍角的正弦公式和余弦公式，以及兩角和的正弦公式，轉化為，再根據題意求得平移后的三角函數(shù)，進而利用三角函數(shù)的對稱性求解.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，考查了三角函數(shù)的圖象性質；平移原則：左加右減，上加下減.練習3．若函數(shù)在處取得最大值4，則（）A．1B．C．2D．3【答案】B【解析】對于函數(shù)f(x)有解得a=2,b=2,所以=,故選B.練習4．設函數(shù)，，若直線，分別是曲線與的對稱軸，則A．2B．0C．D．【答案】C【解析】利用輔助角公式以及降冪公式，化簡函數(shù)的解析式，，再利用三角函數(shù)的圖象的對稱軸求得的值，從而可得的值．【詳解】函數(shù)，，若直線，分別是曲線與的對稱軸，則，，．即，，，則，故選C．【點睛】本題主要考查輔助角公式與降冪公式以及三角函數(shù)圖象的對稱性，屬于中檔題．函數(shù)的稱軸方程可由求得；函數(shù)的稱軸方程可由求得.（八）.正切公式的靈活應用例7.A.B.C.D.【答案】D【解析】所以所以原式等于．故選D【防陷阱措施】巧妙應用兩角和差的正切公式，找到和與乘積的關系．練習1在數(shù)1和2之間插入個正數(shù)，使得這個數(shù)構成遞增等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記為，令，，______．【答案】【解析】設在數(shù)和之間插入個正數(shù)，使得這個數(shù)構成遞增等比數(shù)列為，則，即為此等比數(shù)列的公比，，，由，又，，，，故答案為.練習2________．【答案】【解析】,，，故答案為.練習3．__________．【答案】8