新世紀(jì)版數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)

新世紀(jì)（版）數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)

問題討論

wang_yong_604@

新世紀(jì)（版）數(shù)學(xué)教材編寫組問題討論1：算法多樣化在實(shí)施算法多樣化的計(jì)算教學(xué)中，出現(xiàn)如下兩種傾向：

（1）為算法多樣化而多樣化（2）算法自由化，喜歡怎么算就可以怎么算這些傾向表明，對(duì)算法多樣化的理解還有誤區(qū)，對(duì)算法多樣化的教學(xué)要克服盲目性

問題：什么是算法多樣化？算法多樣化是指群體中的多樣化，不是個(gè)體的多樣化，不是要求一個(gè)學(xué)生有多種方法。算法多樣化的實(shí)質(zhì)是教師鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，從這一點(diǎn)推廣開來就是思考策略的多樣化。問題：算法多樣化與一題多解有什么區(qū)別？一題多解的含義是指一個(gè)學(xué)生用不同的方法解同一個(gè)問題算法多樣化是指一個(gè)學(xué)生用他自己的方法解這個(gè)問題，算法多樣化是以算法個(gè)性化為基礎(chǔ)的問題：為什么倡導(dǎo)算法多樣化？在計(jì)算教學(xué)中給學(xué)生思考、探索、創(chuàng)新的機(jī)會(huì)引入算法多樣化有助于改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式有助于理解算理：寓于多樣化算法之中的共性，便是算理所在問題：算法多樣化的歸宿是什么呢？學(xué)習(xí)計(jì)算的開始階段，學(xué)生探索算法的認(rèn)知水平存在客觀差異：如，9+5=？算法1：借助小棒，“指物數(shù)數(shù)”，數(shù)出結(jié)果（操作水平）算法2：擺小棒或畫圖，直觀地表示結(jié)果（表象水平）算法3：9+1=10，10+4=14

或5+5=10，10+4=14

或10+5=15，9+5=14（抽象水平）這個(gè)階段的算法多樣化，必須促進(jìn)學(xué)生發(fā)展抽象思維水平，早日擺脫對(duì)動(dòng)作與圖形的依賴。為此，要揭示算法2與算法3的聯(lián)系，體會(huì)算法3是算法2的抽象表示形式。當(dāng)學(xué)生的思維都達(dá)到了抽象水平以后，算法多樣化要“存異求同”，發(fā)現(xiàn)各種算法的聯(lián)系，以弄清算理，理解算理（做到知其然，知其所以然）。問題討論2：估算

（1）來自學(xué)生和教師的“疑惑”：

——只在您上課時(shí)才用到估算。

——都能精確算出來，還有必要估算嗎？

問題：估算的價(jià)值是什么？（2）來自教學(xué)的片段：——“388”可以怎么估？（380，390，400，300）——在388+120，388+110中，你打算分別怎樣估“388”，才能不僅快，而且與實(shí)際結(jié)果相差最小？生1：388+110，388估成390，因?yàn)?0+90是100，結(jié)果湊成整百。師：這個(gè)方法的結(jié)果是不是最接近實(shí)際結(jié)果（似乎叫“精確結(jié)果”更好）呢？生1：是，因?yàn)?90離388最近。生2：用四舍五入法。（師再次強(qiáng)調(diào)題目要求：又快又與實(shí)際結(jié)果相差最少）生3：388+120，388估成380最方便，因?yàn)橄嗉訛檎贁?shù)。師：不是離實(shí)際結(jié)果最近，可以估成390。生4：用四舍五入法，不能湊成整百數(shù)。問題：（1）估算的標(biāo)準(zhǔn)是什么？（2）有沒有統(tǒng)一的估算方法？（一）估算的價(jià)值

1.估算在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用.2.有利于人們事先把握運(yùn)算結(jié)果的范圍，是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的重要方面.3.為判斷計(jì)算器、心算和筆算結(jié)果是否合理提供了工具。

4.有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)之間的規(guī)律，提高判斷、選擇的能力。另一方面：對(duì)六和八年級(jí)學(xué)生的研究發(fā)現(xiàn)，能求出準(zhǔn)確答案的能力并不會(huì)自動(dòng)遷移到估算能力或判斷答案是否合理上來（《美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》P141）（二）首先注重培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)那榫?，使學(xué)生體會(huì)到估算的必要性。

1.教師要重視估算及估算教學(xué)（從小培養(yǎng)，持之以恒）。

2.提出好的問題，體現(xiàn)估算的必要性。比如：P36，估計(jì)你們學(xué)校大約有學(xué)生多少人。

（3）利用估算檢驗(yàn)答案，澄清錯(cuò)誤。（201╳

6=126）（4）總結(jié)自己什么時(shí)候用估算的例子。（三）估算的標(biāo)準(zhǔn)1.根據(jù)實(shí)際問題選擇合理的估算策略。

43x4（帶200塊錢夠不夠？42估成50）2.純式子的估算。——確定一個(gè)范圍？——既容易估，又盡量與實(shí)際結(jié)果接近？——估計(jì)出數(shù)量級(jí)是重要的。85x2583結(jié)果大約是200000

（四）估算的策略

1.“分部分”估計(jì)2.取首進(jìn)尾法（769+308可以估成700+300，和至少1000；也可以估成770+310，和最多1080）3.四舍五入法4.中間數(shù)法（32+37+30+39可以估成35x4）5.一個(gè)估大，一個(gè)估?。?69+308可以做成770+300，和約等于1070）6.從前往后：243+479（200+400=600，43+79比100大，結(jié)果比700多一點(diǎn)）教學(xué)中要注意：

1.鼓勵(lì)學(xué)生解釋估算的思路和理由。

2.估算與精確結(jié)果的比較（反思）

3.靈活使用不同策略，合理都應(yīng)肯定。

238+158個(gè)學(xué)生，399個(gè)座位夠嗎？問題討論3：如何面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤師：請(qǐng)你想辦法先算一算24×3等于多少，行嗎？有困難的同學(xué)可以互相商量一下。（學(xué)生嘗試計(jì)算，計(jì)算后反饋結(jié)果）生1：24乘3等于92。生2：我不同意，24乘3應(yīng)該等于72。生3：我算出來的結(jié)果是612。

問題：你的學(xué)生也犯過這樣的錯(cuò)誤嗎？你是如何處理的？還有沒有其他的錯(cuò)誤？師：現(xiàn)在有三個(gè)不同的答案，究竟哪一個(gè)是對(duì)的呢？先請(qǐng)大家說說你們是怎樣想的，好嗎？（允許學(xué)生解釋自己的想法，暴露錯(cuò)誤的原因）生3：我是想，先算2乘3得6，再算4乘3得12，所以24乘3等于612。（立刻有學(xué)生舉手表示反對(duì)）生4：我認(rèn)為612肯定是錯(cuò)的，因?yàn)榧词故?00乘3才等于300，而24乘3的積應(yīng)該比300小得多，所以根本不可能是612。（利用估算來澄清錯(cuò)誤；引起自我“認(rèn)知沖突”；錯(cuò)誤是引起深入思考和討論的“資源”；生3還在矛盾中，還沒有“自我反省”。）……師請(qǐng)結(jié)果是72的學(xué)生（生2）說說自己的想法，生2先用連加，其他同學(xué)覺得太麻煩，生2繼續(xù)回答筆算過程（師板書）。又一生提出將24分解為8乘3的方法。（提供正確示范，希望引起“自我反省”）師：剛才哪位同學(xué)算出結(jié)果得92？能說說你是怎么算的嗎？生3：我是想3乘4等于12，個(gè)位上寫2進(jìn)1，十位上2加進(jìn)上來的1等于3，3乘3得9，所以結(jié)果是92。（錯(cuò)誤也有“合理”的成分——“綠色”的數(shù)學(xué)教育）師：噢，你是先把十位上的2加上進(jìn)上來的1，再乘3。那么究竟應(yīng)該先加1再乘，還是先乘再加上進(jìn)上來的1呢？（重復(fù)、確認(rèn)學(xué)生的意思，引起更多人的思考）（學(xué)生爭論，但說不出道理）師：我們不妨請(qǐng)小棒來幫幫忙。教師邊說邊演示，提問為什么是7捆，學(xué)生回答是6捆加上1捆。教師指出進(jìn)上來的1捆就相當(dāng)于豎式中進(jìn)位寫的1，所以應(yīng)該先乘后加進(jìn)位1。（提供高水平的示范；直觀材料的作用——換一個(gè)角度；多種形式（語言、直觀材料、算式）的對(duì)應(yīng)，以滿足學(xué)生的多種需求，加深理解）存在的疑問：不知?jiǎng)偛佩e(cuò)誤的學(xué)生，現(xiàn)在是否能理解了。（還需要反思——自我反省；在后來的練習(xí)中關(guān)注他們；等待）學(xué)生“錯(cuò)”了嗎？一位教師的設(shè)計(jì)：鑒于學(xué)生受口算除法的定勢影響會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的算式

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因此，先讓學(xué)生探究42除以3，在學(xué)生建立了正確豎式的基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生做42除以2，這樣學(xué)生的豎式書寫錯(cuò)誤率會(huì)大大降低。另一位教師的處理：師：如果要用豎式來計(jì)算，你們打算怎么列？試試看。生1：“錯(cuò)誤”的方法。生2：正確的方法。師：還有其他方法嗎？（學(xué)生表示沒有）比較一下，你喜歡哪一種？說說你的理由。生3：喜歡第一種，因?yàn)楹唵?，豎式可以短一些。生4：我也喜歡第一種，本子還可以省一點(diǎn)呢。（有學(xué)生笑了，很少有學(xué)生喜歡第二種）問題：（1）你認(rèn)為在計(jì)算42÷2時(shí)，學(xué)生們的方法錯(cuò)了嗎？你的學(xué)生也有這個(gè)現(xiàn)象嗎？（2）兩位老師的處理，你更喜歡哪種？為什么？師：其實(shí)第二種方法有自己的優(yōu)勢，它能讓大家很清楚地看到計(jì)算過程。邊用電腦演示，邊講解：……生反駁：我們的豎式也能清楚地看到計(jì)算過程。4除以2得2，商2，二二得四，寫4；2除以2得1，一二得二，寫2。師：你們都這樣認(rèn)為？（學(xué)生點(diǎn)頭）（出示32÷2）那就用你喜歡的方法列豎式算一算這一題。反饋。生1：仿前面的第一種。生2：仿前面的第二種。師：你們同意他們的做法嗎？生3：同意第二種。不同意第一種。師：為什么？生3：因?yàn)榈谝环N，先是口算出16的。師：什么意思？大家聽明白了嗎？生4：第一種豎式里“3”下面的應(yīng)該是“2”。師生共同討論第二種方法的意義……問題討論4：如何尊重學(xué)生的已有基礎(chǔ)問題：（1）關(guān)于年月日，學(xué)生已經(jīng)知道了什么？（課前評(píng)估）如何了解學(xué)生的已有基礎(chǔ)？

（2）閱讀下面的教學(xué)案例，你有什么感想：

師：同學(xué)們，你知道一年有幾月，一月有幾天嗎？（生匯報(bào)略）

師：真好！繼北京申辦奧運(yùn)成功后，上海申辦世博會(huì)又取得成功，全中國人都在期盼著2008年和2010年的到來，你能把2008年或2010年的年歷卡提前設(shè)計(jì)出來嗎？想想看，應(yīng)注意些什么？

（老師提供出2008年和2010年的元月1日是星期幾的數(shù)據(jù)。）這位教師的思考：學(xué)生頭腦中已有很多關(guān)于年、月、日的知識(shí)，與其讓他們?cè)賹?duì)著年歷去觀察、去發(fā)現(xiàn)，還不如讓他們先把已有的知識(shí)運(yùn)用起來，在創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)活動(dòng)中去感悟、去體驗(yàn)很多新的知識(shí)點(diǎn)。

教師要求學(xué)生們寫下三個(gè)關(guān)于周長的問題：

第一個(gè)問題要求他們說明周長的定義；第二個(gè)問題要求他們描述周長的測量過程；第三個(gè)問題要求他們介紹周長概念在實(shí)際生活中的應(yīng)用。問題討論5：學(xué)生對(duì)周長的理解三年級(jí)學(xué)生的結(jié)果：共28人

第一個(gè)問題：大部分同學(xué)都表示出對(duì)周長基本理解（24）。學(xué)生答案的形式（1）語言描述：如一個(gè)圖形的一圈的長度；一個(gè)平面圖形從一個(gè)小角繞一周，再回到那個(gè)小角，就是周長。（2）用圖形表示。（3）舉例說明。

不準(zhǔn)確的地方：（1）等同于直線形圖形的周長，如一個(gè)平面圖形的邊長加起來就是它的周長；（2）將邊框、平面圖形等同于周長；（3）周長的意義等同于長方形、正方形周長公式。（4）不知道。第二個(gè)問題：學(xué)生大都能正確回答出長方形、正方形周長的測量和計(jì)算方法（27）學(xué)生的錯(cuò)誤：（1）單位與面積單位混淆。（2）不知道。

第三個(gè)問題：很少的學(xué)生能正確舉出例子。學(xué)生的錯(cuò)誤：（1）不是周長的應(yīng)用：如去買窗簾測長度。（2）周長與面積的混淆：如比較彩紙的大小。（3）不明確：如買床、買畫時(shí)需要用周長。（4）不是真正的應(yīng)用：如量了一個(gè)漂亮盒子的周長。（5）舉例時(shí)將實(shí)物與周長等同：如桌子等都是我們生活中的周長。

現(xiàn)象1：大多數(shù)學(xué)生能運(yùn)用自己的語言描述周長的含義，但卻不能正確舉例。

原因：周長確實(shí)用得不多？教學(xué)中側(cè)重計(jì)算，忽視應(yīng)用？受“面積”的影響？理解的不穩(wěn)定性？能解決問題才是真正的理解？

教學(xué)上的建議：呈現(xiàn)多種圖形（包括曲邊圖形）的周長的例子；總結(jié)應(yīng)用的例子?，F(xiàn)象2：學(xué)生對(duì)正方形、長方形面積計(jì)算方法印象很深刻，理解也并不困難。思考：真的需要一節(jié)課嗎？

教學(xué)上的建議：挑戰(zhàn)性、綜合性的數(shù)學(xué)活動(dòng)（如測量與探索相結(jié)合；探索正多邊形周長的計(jì)算方法）問題討論6有必要做概率實(shí)驗(yàn)嗎？問題：（1）概率實(shí)驗(yàn)的價(jià)值是什么？（2）如何讓學(xué)生愿意做概率實(shí)驗(yàn)。（一）概率實(shí)驗(yàn)的價(jià)值：1.實(shí)驗(yàn)是獲取概率的更一般的方法?！坝?jì)算”的方法只能處理古典概型（所有基本結(jié)果是有限且等可能的），大量事件發(fā)生的概率是不能依靠計(jì)算得出的（如圖釘釘尖著地的概率）。2.對(duì)于不那么顯然的計(jì)算結(jié)果，尤其是與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)不符的結(jié)果，學(xué)生不能信服。案例：擲兩個(gè)均勻的硬幣，兩面都是正、兩面都是反、一反一正的概率各為1/3？3.

澄清學(xué)生對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。對(duì)話1:兩學(xué)生用“石頭,剪刀,布”的方式?jīng)Q定輸贏.

師:為什么你一定會(huì)贏他?

生:因?yàn)槲矣行判?(對(duì)概率可能的誤解:不承認(rèn)偶然性.例如:我喜歡紅色,所以我能摸出紅球.)對(duì)話2:盒里有4個(gè)紅球,分別編號(hào)為1,2,3,4;還有1個(gè)白球,編號(hào)為5.在前面的實(shí)驗(yàn)中,已經(jīng)摸到2次3號(hào)球,1次1號(hào)球,1次5號(hào)球.教師摸出一球,讓學(xué)生猜他手里是幾號(hào)球.

生1:是2號(hào)球,因?yàn)閯偛艣]摸到.

生2:是3號(hào)球,因?yàn)閯偛琶?次3號(hào)球.