隨機信號通過線性系統(tǒng)分析

第四章

隨機信號通過線性系統(tǒng)分析

1時不變線性系統(tǒng)若任意常數(shù)a,b,輸入信號x1(t),x2(t),有L[ax1(t)+bx2(t)]=aL[x1(t)]+bL[x2(t)]若輸入信號x(t)時移時間C,輸出y(t)也只引起一個相同的時移，即y(t-C)=L[x(t-C)]L[.]x(t)y(t)=L[x(t)]4.1線性系統(tǒng)的基本理論什么是線性系統(tǒng)？2連續(xù)時不變線性系統(tǒng)若任意常數(shù)a,b,輸入信號x1(t),x2(t),有L[ax1(t)+bx2(t)]=aL[x1(t)]+bL[x2(t)]h(t)x(t)y(t)=x(t)*h(t)4.1線性系統(tǒng)的基本理論什么是線性系統(tǒng)？34.2.1時域分析法

1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距4.2隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析?輸入為隨機信號X(t)的某個實驗結(jié)果的一個樣本函數(shù)，則輸出為：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)一個確定性函數(shù)一個確定性函數(shù)44.2.1時域分析法

1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距4.2隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析對于隨機信號任意一個樣本函數(shù)均成立。：

那么對于所有的試驗結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機過程54.2.1時域分析法

1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距4.2隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析證明

若為平穩(wěn)SP，則64.2.1時域分析法

1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距4.2隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

結(jié)論：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為74.2.1時域分析法

1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距4.2隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

結(jié)論：已知系統(tǒng)輸入隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)

84.2.1時域分析法

1、輸出表達式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距4.2隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

系統(tǒng)輸出的n階矩的一般表達式為

94.2.1時域分析法

系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性（各態(tài)歷經(jīng)）

4.2隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析前提:系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時。在這種情況下，t=0系統(tǒng)輸出響應(yīng)在已處于穩(wěn)態(tài)結(jié)論1：若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。結(jié)論2：若輸入是嚴平穩(wěn)的，則輸出也是嚴平穩(wěn)的。結(jié)論3：若輸入是廣義各態(tài)歷經(jīng)的，則輸出也是廣義各態(tài)歷經(jīng)的。且兩者聯(lián)合平穩(wěn)。104.2.2頻域分析法

4.2隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系114.2.2頻域分析法

4.2隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系由，兩邊取付氏變換得：

表示，有：

124.2.2頻域分析法

4.2隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系134.2.2頻域分析法

4.2隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系當不可積時，可積。因此對于隨機信號，通常情況下其拉氏變換存在。

144.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.1

白噪聲通過線性系統(tǒng)分析設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為或，其輸入白噪聲功率譜密度為＝，那么系統(tǒng)輸出的功率譜密度為

或物理譜密度為154.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.1

白噪聲通過線性系統(tǒng)分析輸出自相關(guān)函數(shù)為

輸出平均功率為

注意：上式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出端隨機信號的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性決定，不再保持常數(shù)。這是因為無線電系統(tǒng)都具有一定的選擇性，系統(tǒng)只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過的原因。

164.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.23dB帶寬174.33dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬當系統(tǒng)比較復(fù)雜時，計算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計特性是困難的。在實際中為了計算方便，常常用一個幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實際系統(tǒng)，在等效時要用到一個非常重要的概念——等效噪聲帶寬，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。184.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.3

等效噪聲帶寬19等效的原則

理想系統(tǒng)與實際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵下,兩個系統(tǒng)的輸出平均功率相等理想系統(tǒng)的增益等于實際系統(tǒng)的最大增益4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.3

等效噪聲帶寬20計算實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜密度為白噪聲激勵

消耗在1電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為

理想線性系統(tǒng)對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.3

等效噪聲帶寬21實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為

對于一般的低通濾波器的最大值出現(xiàn)在＝0處，即對于中心頻率為帶通系統(tǒng)(如單調(diào)諧回路)

的最大值出現(xiàn)在處，即4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.3

等效噪聲帶寬22實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為

拉氏變換

代入

系統(tǒng)輸出平均功率

4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.3

等效噪聲帶寬23小結(jié)：由系統(tǒng)的等效噪聲帶寬可求出系統(tǒng)的輸出噪聲功率，當系統(tǒng)輸入白噪聲時，僅使用參數(shù)和就可以描述非常復(fù)雜的線性系統(tǒng)及其噪聲響應(yīng)。

4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.3

等效噪聲帶寬24A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

25A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

26A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

27A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

28A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

29A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

該式表明：輸出隨機信號的相關(guān)時間與系統(tǒng)的帶寬成反比。這就是說，系統(tǒng)帶寬越寬，相關(guān)時間越小，輸出隨機信號隨時間變化(起伏)越劇烈；反之，系統(tǒng)帶寬越窄，則越大，輸出隨機信號隨時間變化就越緩慢。

30A|H

(w)|0系統(tǒng)的中心頻率遠大于系統(tǒng)的帶寬，則稱這樣的系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

314.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

若輸入白噪聲的物理，則輸出的物理譜為

324.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

輸出相關(guān)函數(shù)為

33輸出自相關(guān)函數(shù)等于與的乘積，其中只包含的成分。當滿足時，與相比，是的慢變化函數(shù)，而是的快變化函數(shù)?？梢娛荝Y()的慢變化部分是RY()的包絡(luò)。而是RY()的快變化部分．

理想帶通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)等于其相應(yīng)的低通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)與的乘積。4.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

344.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

354.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

輸出的相關(guān)系數(shù)為

帶通系統(tǒng)輸出的平均功率為

帶通系統(tǒng)的相關(guān)時間是由相關(guān)系數(shù)的慢變部分定義的，因此帶通系統(tǒng)的相關(guān)時間與低通系統(tǒng)的相關(guān)時間一致：364.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜系統(tǒng)輸出功率譜為

374.33dB帶寬和等效噪聲帶寬4.3.4

白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜輸出相關(guān)函數(shù)

384.