拉普拉斯變換

工程控制原理第2章拉普拉斯變換主講：楊墨

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2.1

拉普拉斯變換系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以微分方程的形式表達(dá)輸出與輸入的關(guān)系。經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)分析方法：時(shí)域法、頻域法。2.拉普拉斯變換時(shí)域分析法求解數(shù)學(xué)模型微分方程，獲得系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的規(guī)律。

借助于系統(tǒng)頻率特性分析系統(tǒng)的性能，拉普拉斯變換是其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。頻域分析法頻域分析法是經(jīng)典控制理論的核心，被廣泛采用，該方法間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)響應(yīng)。2.1.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)

復(fù)數(shù)的概念

復(fù)數(shù)s=+j

（有一個(gè)實(shí)部和一個(gè)虛部，和均為實(shí)數(shù)）兩個(gè)復(fù)數(shù)相等：當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等。一個(gè)復(fù)數(shù)為零：當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)為零。

2.1

拉普拉斯變換稱為虛數(shù)單位

復(fù)數(shù)的表示法

對于復(fù)數(shù)s=+j

復(fù)平面：以為橫坐標(biāo)(實(shí)軸)、為縱坐標(biāo)(虛軸)所構(gòu)成的平面稱為復(fù)平面或[s]平面。復(fù)數(shù)s=+j可在復(fù)平面[s]中用點(diǎn)(,)表示：一個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)于復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)。2.1.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)o復(fù)平面[s]12j12s1=1+j1s2=2+j2③

復(fù)變函數(shù)、極點(diǎn)與零點(diǎn)的概念

以復(fù)數(shù)s=+j為自變量構(gòu)成的函數(shù)F(s)稱為復(fù)變函數(shù)：

F(s)

=u+jv式中：u、v分別為復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部。2.1.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)當(dāng)s=-zi時(shí)，F(xiàn)(s)=0，則si=-zi稱為F(s)的零點(diǎn)；分子為零分母為零通常，在線性控制系統(tǒng)中，復(fù)變函數(shù)F(s)是復(fù)數(shù)s的單值函數(shù)。即：對應(yīng)于s的一個(gè)給定值，F(xiàn)(s)就有一個(gè)唯一確定的值與之相對應(yīng)。當(dāng)復(fù)變函數(shù)表示成(b)當(dāng)s=-pj時(shí)，F(xiàn)(s)→∞，則sj=-pj稱為F(s)的極點(diǎn)。例：

當(dāng)s=+j時(shí)，求復(fù)變函數(shù)G(s)

=s2+1的實(shí)部u和虛部v。2.1.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的實(shí)部復(fù)變函數(shù)的虛部解：

G(s)＝s2+1＝(+j)2+1

＝2+

j(2

)-

2+1＝(2

-

2+1)+

j(2

)

2.2拉普拉斯變換的定義微分方程式是描述線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的一種基本形式的數(shù)學(xué)模型。通過對它求解，就可以得到系統(tǒng)在給定輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。然而，用微分方程式表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中一般會(huì)遇到一些困難。2.2

拉普拉斯變換拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）是分析研究線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的有力數(shù)學(xué)工具。通過拉氏變換將時(shí)域的微分方程變換為復(fù)數(shù)域的代數(shù)方程，這不僅運(yùn)算方便，也使系統(tǒng)的分析大為簡化。2.2.1拉普拉斯變換的定義拉氏變換是控制工程中的一個(gè)基本數(shù)學(xué)方法，其優(yōu)點(diǎn)是能將時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)拉氏變換后，變成復(fù)變量s的乘積，將時(shí)間表示的微分方程，變成以s表示的代數(shù)方程。2.2

拉普拉斯變換復(fù)變量原函數(shù)象函數(shù)拉氏變換符號拉普拉斯變換：在一定條件下，把實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)f(t)變換到復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)F(s)

。

設(shè)有時(shí)間函數(shù)f(t)，當(dāng)t<0

時(shí)，f(t)＝0；在t≥0時(shí)定義函數(shù)f(t)

的拉普拉斯變換為：

拉氏變換是否存在取決于定義的積分是否收斂。拉氏變換存在的條件：

①當(dāng)t≥0時(shí)，f(t)分段連續(xù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；

②當(dāng)t→∞時(shí)，f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即2.2.1拉普拉斯變換的定義式中：M、a為實(shí)常數(shù)。2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換

(1)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)定義：2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換其拉普拉斯變換為：At(2)單位脈沖函數(shù)

單位脈沖函數(shù)定義：2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換且：其拉普拉斯變換為：(3)單位速度函數(shù)（單位斜坡函數(shù)）

單位速度函數(shù)定義：2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換其拉普拉斯變換為：t(4)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)表達(dá)式：2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換式中：a是常數(shù)。其拉普拉斯變換為：(5)正弦信號函數(shù)正弦信號函數(shù)定義：2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換由歐拉公式，正弦函數(shù)表達(dá)為：兩式相減其拉普拉斯變換為：(6)余弦信號函數(shù)余弦信號函數(shù)定義：2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換由歐拉公式，余弦函數(shù)表達(dá)為：兩式相加其拉普拉斯變換為：拉普拉斯變換簡表(待續(xù))2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]11(單位階躍函數(shù))1s2

(t)(單位脈沖函數(shù))13K(常數(shù))Ks4t

(單位斜坡函數(shù))1s2拉普拉斯變換簡表(續(xù)1)2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]5tn(n=1,2,…)n!sn+16e

-at1s+a7tn

e

-at(n=1,2,…)n!(s+a)n+181

T1Ts+1tTe拉普拉斯變換簡表(續(xù)2)2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]9sints2+210costss2+211e

-atsint(s+a)2+212e

-atcosts+a(s+a)2+2拉普拉斯變換簡表(續(xù)3)2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]13(1-e

-at

)1s(s+a)14(e

-at

-e

-bt

)1(s+a)

(s+b)15(be

-bt

-ae

–at)s(s+a)

(s+b)16sin(t+

)cos+ssins2+21a1b-a1b-a拉普拉斯變換簡表(續(xù)4)2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]17

e

-nt

sinn

1-2tn2s2+2ns+n218

e

-nt

sinn

1-2t1s2+2ns+n219

e

-nt

sin(n

1-2t

-

)ss2+2ns+n2=

arctann1-21n1-211-21-2拉普拉斯變換簡表(續(xù)5)2.2.2典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]20

1-

e

-nt

sin(n

1-2t

+

)n2s(s2+2ns+n2)=

arctan211-cost

2s(s2+2)22t

-

sint2s(s2+2)23tsint2s(s2+2)211-21-22.2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

(1)疊加定理

2.2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)(2)比例定理

(3)線性定理若、是任意兩個(gè)復(fù)常數(shù)，且：2.2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)證明：則：(4)平移定理(位移定理)若：2.2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)證明：則：(5)延遲定理(延時(shí)定理)

2.2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)若，則

(6)唯一定理

(7)微分定理若：2.2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)證明：則：f(0)是t=0時(shí)的f(t)值同理，對于二階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：(7)微分定理推廣到n階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：2.2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)如果：函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零，即則：(8)積分定理若：2.2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：證明：函數(shù)f(t)積分的初始值(8)積分定理同理，對于n重積分的拉普拉斯變換：2.2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)若：函數(shù)f(t)各重積分的初始值均為零，則有注：利用積分定理，可以求時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換；利用微分定理和積分定理，可將微分-積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程。(9)終值定理若：2.2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有由于，上式可寫成寫出左式積分注：終值定理不適用于周期函數(shù)，因?yàn)橹芷诤瘮?shù)沒有終值。(10)初值定理若：2.2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有由于，上式可寫成或者2.4拉普拉斯反變換

(1)拉普拉斯反變換的定義將象函數(shù)F(s)變換成與之相對應(yīng)的原函數(shù)f(t)的過程，稱之為拉普拉斯反變換。其公式：2.2.4

拉普拉斯變換拉氏反變換的求算有多種方法，如果是簡單的象函數(shù)，可直接查拉氏變換表；對于復(fù)雜的，可利用部分分式展開法。簡寫為：2.4拉普拉斯反變換

(2)拉普拉斯反變換的計(jì)算方法2.2.4

拉普拉斯變換拉氏反變換的求算有多種方法，常用的有兩種：在工程應(yīng)用中，如果是簡單的象函數(shù)，可直接查拉氏變換表；對于復(fù)雜的，不能直接查表時(shí)，可利用部分分式展開法。注：工程中常見的時(shí)域信號f(t)的拉氏變換F（s）都是s的有理函數(shù)。如果把f(t)的拉氏變換F(s)分成各個(gè)部分之和，即2.4拉普拉斯反變換假若F1(s)、F2(s)，…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換很容易由拉氏變換表查得，那么當(dāng)F(s)

不能很簡單地分解成各個(gè)部分之和時(shí)，可采用部分分式展開將F(s)

分解成各個(gè)部分之和，然后對每一部分查拉氏變換表，得到其對應(yīng)的拉氏反變換函數(shù)，其和就是要得的F(s)

的拉氏反變換f(t)

函數(shù)。

部分分式展開法在系統(tǒng)分析問題中，F(xiàn)(s)常具有如下形式：2.4拉普拉斯反變換式中A(s)和B(s)是s的多項(xiàng)式，

B(s)的階次較A(s)階次要高。對于這種稱為有理真分式的象函數(shù)F(s)，分母B(s)

應(yīng)首先進(jìn)行因子分解，才能用部分分式展開法，得到F(s)

的拉氏反變換函數(shù)。將分母B(s)

進(jìn)行因子分解，寫成：2.4拉普拉斯反變換式中，p1，p2，…，pn稱為B(s)的根，或F(s)的極點(diǎn)，它們可以是實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)。如果是復(fù)數(shù)，則一定成對共軛的。當(dāng)A(s)的階次高于

B(s)時(shí)，則應(yīng)首先用分母B(s)去除分子A(s)，由此得到一個(gè)s的多項(xiàng)式，再加上一項(xiàng)具有分式形式的余項(xiàng)，其分子s多項(xiàng)式的階次就化為低于分母s多項(xiàng)式階次了。

(1)分母B(s)無重根此時(shí)，F(xiàn)(s)總可以展成簡單的部分分式之和。即式中，ak(k=1,2,…,n)是常數(shù)，系數(shù)ak稱為極點(diǎn)s=

-pk處的留數(shù)。2.4拉普拉斯反變換ak

的值可以用在等式兩邊乘以(s+pk)，并把s=

-pk代入的方法求出。即2.4拉普拉斯反變換在所有展開項(xiàng)中，除去含有ak的項(xiàng)外，其余項(xiàng)都消失了，因此留數(shù)ak可由下式得到因?yàn)閒(t)是時(shí)間的實(shí)函數(shù)，如p1和p2是共軛復(fù)數(shù)時(shí)，則留數(shù)1和2也必然是共軛復(fù)數(shù)。這種情況下，上式照樣可以應(yīng)用。共軛復(fù)留數(shù)中，只需計(jì)算一個(gè)復(fù)留數(shù)1(或2)，而另一個(gè)復(fù)留數(shù)2(或1)，自然也知道了。2.4拉普拉斯反變換例題1

求F(s)的拉氏反變換，已知解由留數(shù)的計(jì)算公式，得2.4拉普拉斯反變換因此查拉氏變換表，得2.4拉普拉斯反變換方法一解：分母多項(xiàng)式可以因子分解為進(jìn)行因子分解后，可對F(s)展開成部分分式2.4拉普拉斯反變換例題2

求L-1[F(s)]，已知2.4拉普拉斯反變換由留數(shù)的計(jì)算公式，得由于2與1共軛，故所以2.4拉普拉斯反變換2.4拉普拉斯反變換查拉氏變換表，得2.4拉普拉斯反變換當(dāng)存在共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，可以將共軛復(fù)數(shù)當(dāng)作單根（互不相同）來看待，但分解計(jì)算時(shí)，涉及到的復(fù)數(shù)運(yùn)算，太繁瑣，可以利用如下變換對。原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]sints2+2costss2+2e

-atsint(s+a)2+2e

-atcosts+a(s+a)2+2方法二解：進(jìn)行因子分解后，可對F(s)展開成部分分式2.4拉普拉斯反變換例題2